基于隨機機動模型和落點預測的制導律設計

楊庶

（西北工業大學 自動化學院，西安710072）

對于非自旋彈體的制導武器，比例制導律是一種有效且廣泛使用的制導律［1-2］。但對于自旋彈體而言，該制導律有可能出現制導性能下降、落點誤差增大等問題［3］。為了提高自旋彈體的制導性能，迫擊炮彈［4］、制導炮彈［5-8］、火箭彈［9-11］等自旋彈體采用了基于落點預測的制導律。這種制導律一般需要根據彈體的氣動參數和運動方程，通過常微分方程數值求解方法在線求解落點預測值，通過落點預測值與目標間的偏差生成制導指令。顯然，氣動參數和彈體運動方程的精度和復雜程度越高，落點預測值的精度越高，在線計算的成本也越大［12］。

國內學者在基于落點預測的制導律設計方面開展了大量的研究。普承恩等［13］根據彈箭質點模型，考慮氣動參數對彈道的影響，采用擴展卡爾曼濾波方法預測落點偏差并生成制導指令。楊泗智等［14］針對高旋火箭彈，采用保留彈體滾轉動力學方程的四自由度修正質點模型，預測火箭彈落點并生成彈道修正控制量。鐘揚威等［15］基于擴展質點彈道模型，通過2次落點預測（即一次彈體無控狀態的落點預測和一次彈體有控狀態的落點預測），設計了一種用于旋轉穩定彈體的二維落點預測制導方法。何子達等［16］根據彈體氣動參數，建立了二維彈道修正彈的有控濾波模型，采用擴展卡爾曼濾波方法預測落點，進而生成彈道修正指令。趙江等［17］考慮了禁飛區對航跡的約束條件，根據飛行器三自由度運動方程，采用落點誤差預測和指令校正相結合的方法，修正飛行器縱向航跡。王青等［18］根據飛行器氣動參數，建立了以能量為自變量的飛行器再入模型，設計了滿足再入約束條件的在線預測校正制導方法。梁子璇和任章［19］采用飛行器氣動參數在線修正的方法，根據再入滑翔飛行器的三自由度運動方程預測飛行器落點，通過落點偏差生成制導指令。王俊波等［20］采用飛行器平面再入段運動方程，基于模糊邏輯預測飛行器落點，生成飛行器制導指令。

根據上述討論可以看出，現有基于落點預測的制導律均依賴于彈體/飛行器的氣動參數和簡化運動方程，需要通過常微分方程在線求解或運動狀態估計方法預測落點。顯然，用于落點預測的數學模型越精確，落點預測結果也越精確，可以提高制導律的性能，但是制導律在線計算成本將隨之提高。

本文提出了一種基于落點預測的新型制導律設計方法，采用目標跟蹤問題中常用的隨機機動模型和自適應卡爾曼濾波器估計彈體的飛行狀態，根據代數方程的解析解預測彈體落點，進而生成制導律。該制導律不依賴于彈體氣動參數和運動方程，避免了在線求解常微分方程所帶來的計算成本。通過數值仿真檢驗了所提制導律的制導性能，根據自旋火箭彈的非線性數學模型，研究了所提制導律在標稱參數條件下的落點誤差，檢驗了在參數受擾條件下的火箭彈落點散布，并與比例制導律進行制導性能對比。

1 基于落點預測的制導律設計

本文研究基于落點預測的制導律設計，采用隨機機動模型和自適應卡爾曼濾波器估計彈體的平動運動狀態，在不依賴于彈體氣動參數和彈體運動常微分方程在線求解的條件下預測彈體落點，根據落點與目標間的偏差設計制導律。

1.1 隨機機動模型

考慮圖1所示的彈體和目標，為了提高彈體的精度，可以通過預測彈體落點與目標間的偏差，設計用于控制和修正彈體軌跡的制導律。對于射程較近的彈體，地球曲率和地球自轉對彈體飛行的影響較小，可以采用平面地球假設，并將地面上任意一點視為慣性原點。本文采用的慣性參考系O-x1x2x3如圖1所示原點選在彈體的發射點，Ox1軸指向彈體發射方向，Ox3軸垂直于地面向下，Ox2軸根據右手定則確定。

圖1 參考系定義Fig.1 Definition of reference frames

由于彈體落點與彈體在參考系O-x1x2x3中的平動運動有關，本文采用“當前”隨機機動模型和自適應卡爾曼濾波器估計彈體當前的平動運動狀態［21］。該模型采用Rayleigh密度函數對彈體在慣性參考系Oxi軸的平動加速度ai（t）（i=1，2，3）進行建模，ai（t）的期望和方差分別為E（ai）和，彈體在Oxi軸的平動運動方程可寫為

式中：αi為機動時間常數，用于衡量彈體的機動能力，一般而言，對于機動能力較高的彈體，αi可取為αi=1/20，對于機動能力較低的彈體，αi可取為αi=1/60［22］；為平均加速度，在一個采樣周期內認為是常數；wi（t）為零均值且方差為的白噪聲信號。

當采樣周期為T，每個采樣時刻僅測量彈體在Oxi軸的位置xi（t），式（1）的離散形式可表達為

式中：vi（k）代表測量噪聲，為零均值且方差為ri（k）的白噪聲信號；yi（k）為測量輸出；Wi（k）為激勵輸入［21-22］；狀態變量Zi（k）和矩陣Hi分別為

矩陣Φi和向量Ui分別定義為

根據式（2）中的離散狀態方程，可根據如下所示的自適應卡爾曼濾波器確定彈體平動運動狀態的估計值。

矩陣Qi（k）的每個元素可分別定義為

1.2 落點預測與制導律設計

2 數值仿真

圖2 火箭彈構型Fig.2 Configuration of an artillery rocket

采用自旋火箭彈的非線性數學模型，通過數值仿真檢驗本文所提出的制導律在標稱參數條件和參數受擾條件下的制導性能。火箭彈的前端裝有4個對稱分布的控制舵面，每個舵面的舵偏角為δi（i=1，2，3，4），火箭彈構型和舵面偏轉角正方向定義如圖2所示。

控制和制導過程中，主要測量火箭彈的位置和滾轉角，火箭彈的當前位置根據GPS接收器測量，火箭彈的滾轉角通過磁傳感器和加速度計的綜合測量得到。該自旋火箭彈是動穩定的，可采用開環控制方式控制火箭彈軌跡，舵面偏轉規律為

式中：φ為火箭彈滾轉角；δc和δs分別為縱向和橫向等效舵偏角，分別用于火箭彈法向和橫向過載控制。針對該火箭彈的開環控制方式，式（17）中的制導律可改寫為

表1 火箭彈仿真參數Table 1 Parameters for artillery rocket simulation

2.1 標稱參數條件下的制導性能

圖3 制導和非制導火箭彈軌跡對比Fig.3 Trajectory comparison between guided and unguided artillery rockets

在標稱參數條件下的制導火箭彈和非制導火箭彈軌跡對比結果如圖3所示。可以看出，非制導火箭彈的落點明顯偏離目標，而式（19）中的制導律能夠顯著減小制導火箭彈落點與目標之間的偏差。非制導火箭彈的落點誤差為91.27m，而制導火箭彈的落點誤差可降低至1.94m。顯然，本文提出的制導律在標稱參數條件下具有良好的制導性能。

圖4為火箭彈縱向和橫向等效舵偏角。可以看出，縱向等效舵偏角δc在制導階段的初期存在相對較大的偏轉，但最大舵偏角未超過25°；在制導階段末期，δc的偏轉較小，最大舵偏角小于10°。產生該現象的原因在于制導階段初期火箭彈距落點較遠，隨機機動模型給出的落點估計值的精度較低，制導律將給出相對較大的舵偏角以修正火箭彈軌跡。

圖4中的橫向等效舵偏角δs在制導階段呈現先增后降的變化趨勢。產生該現象的原因在于制導律是在火箭彈在達到彈道最高點后開始工作的，在彈道最高點處彈體與目標之間已存在較為明顯的橫向偏差（見圖3所示的火箭彈軌跡）。因此，在制導階段的初期，隨機機動模型給出的預測落點與目標之間也會出現較大的橫向偏差，導致δs的偏轉增大，用以修正火箭彈軌跡。隨著制導律的持續工作，火箭彈軌跡與目標之間的橫向偏差逐步減小，所以δs偏轉也隨之減小。總體而言，δs的偏轉較小，最大舵偏角未超過1°。顯然，式（19）中制導律所生成的舵偏角指令是合理的，能夠避免制導過程中火箭彈舵面的大幅偏轉。

圖4 制導火箭彈等效舵偏角Fig.4 Equivalent canard deflections of guided artillery rocket

圖5 制導火箭彈位置的估計誤差Fig.5 Estimation errors of guided artillery rocket locations

圖5為隨機機動模型和自適應卡爾曼濾波器給出的火箭彈位置估計誤差。可以看出，火箭彈在Ox1軸位置的估計誤差ex1和高度的估計誤差eh較小，分別在±2 m和±5 m 以內。火箭彈在Ox2軸位置的估計值較為準確，估計誤差ex2在±0.5m以內。這些估計誤差是可接受的，對制導火箭彈落點預測和制導性能的影響較小。

2.2 參數受擾條件下的制導性能

為了檢驗本文提出的制導律在參數受擾條件下的制導性能，分別對制導火箭彈和非制導火箭彈進行100次Monte Carlo仿真，對比落點分布和相對于目標的圓概率偏差（CEP）。對于每個受擾的參數，擾動誤差服從均值為零的正態分布，即對于參數v，擾動誤差為Δv且Δv～N（0，σ），其中σ為均方差。Monte Carlo仿真的初始參數標稱值采用表1中所示的參數，仿真所采用的受擾參數和對應的均方差如表2所示。

落點分布結果如圖6所示，圖中Δx1和Δx2分別為火箭彈在Ox1軸和Ox2軸的落點誤差。非制導火箭彈的CEP為219.05 m，制導火箭彈的CEP可降低至8.91m。同時，式（19）中的制導律使得制導火箭彈的落點更加密集，絕大多數落點集中在邊長為40m的正方形區域內。顯而易見，本文提出的制導律在參數受擾的條件下具有良好的制導性能，能夠明顯提高制導火箭彈的命中精度。

表2 受擾參數的誤差Table 2 Errors of perturbed parameters

圖6 制導火箭彈和非制導火箭彈落點分布Fig.6 Impact point distributions of guided and unguided artillery rockets

2.3 與比例制導律的性能對比

本節將式（19）中的落點預測制導律的制導性能與典型的比例制導律的制導性能進行對比。針對圖2所示的自旋火箭彈，比例制導律可表達為

落點誤差的對比結果如圖7所示。可以看出，在絕大多數情況下，本文提出的制導律給出的落點誤差小于式（20）中的比例制導律給出的落點誤差。落點預測制導律給出的最小落點誤差為0.76m，小于比例制導律給出的最小落點誤差3.69m。

圖7 本文制導律與比例制導律的性能對比Fig.7 Performance comparison between proposed guidance law and proportional navigation guidance law

3 結 論

本文提出了一種基于落點預測的新型制導律設計方法，該方法以隨機機動模型和自適應卡爾曼濾波器為基礎，估計彈體在各個時刻的位置、速度、加速度，采用彈體預測軌跡的解析解得到落點預測值。具體結論如下：

1）針對20 km處的目標，在標稱參數條件下的數值仿真中，該制導律可將火箭彈落點誤差從91.27m降低至1.94m。

2）針對20 km處的目標，在參數受擾條件下的數值仿真中，制導火箭彈的CEP為8.91m，遠低于非制導火箭彈的CEP，即219.05m。

3）與比例制導律的性能對比中，該制導律的最小落點誤差小于比例制導律的最小落點誤差。

4）該制導律不依賴于彈體氣動參數，無需在線進行彈體運動方程的數值求解，可用于低成本制導武器的制導律設計。