基于隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

楊庶

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安710072）

對(duì)于非自旋彈體的制導(dǎo)武器，比例制導(dǎo)律是一種有效且廣泛使用的制導(dǎo)律［1-2］。但對(duì)于自旋彈體而言，該制導(dǎo)律有可能出現(xiàn)制導(dǎo)性能下降、落點(diǎn)誤差增大等問(wèn)題［3］。為了提高自旋彈體的制導(dǎo)性能，迫擊炮彈［4］、制導(dǎo)炮彈［5-8］、火箭彈［9-11］等自旋彈體采用了基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律。這種制導(dǎo)律一般需要根據(jù)彈體的氣動(dòng)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)常微分方程數(shù)值求解方法在線求解落點(diǎn)預(yù)測(cè)值，通過(guò)落點(diǎn)預(yù)測(cè)值與目標(biāo)間的偏差生成制導(dǎo)指令。顯然，氣動(dòng)參數(shù)和彈體運(yùn)動(dòng)方程的精度和復(fù)雜程度越高，落點(diǎn)預(yù)測(cè)值的精度越高，在線計(jì)算的成本也越大［12］。

國(guó)內(nèi)學(xué)者在基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方面開(kāi)展了大量的研究。普承恩等［13］根據(jù)彈箭質(zhì)點(diǎn)模型，考慮氣動(dòng)參數(shù)對(duì)彈道的影響，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法預(yù)測(cè)落點(diǎn)偏差并生成制導(dǎo)指令。楊泗智等［14］針對(duì)高旋火箭彈，采用保留彈體滾轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程的四自由度修正質(zhì)點(diǎn)模型，預(yù)測(cè)火箭彈落點(diǎn)并生成彈道修正控制量。鐘揚(yáng)威等［15］基于擴(kuò)展質(zhì)點(diǎn)彈道模型，通過(guò)2次落點(diǎn)預(yù)測(cè)（即一次彈體無(wú)控狀態(tài)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)和一次彈體有控狀態(tài)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)），設(shè)計(jì)了一種用于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈體的二維落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法。何子達(dá)等［16］根據(jù)彈體氣動(dòng)參數(shù)，建立了二維彈道修正彈的有控濾波模型，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法預(yù)測(cè)落點(diǎn)，進(jìn)而生成彈道修正指令。趙江等［17］考慮了禁飛區(qū)對(duì)航跡的約束條件，根據(jù)飛行器三自由度運(yùn)動(dòng)方程，采用落點(diǎn)誤差預(yù)測(cè)和指令校正相結(jié)合的方法，修正飛行器縱向航跡。王青等［18］根據(jù)飛行器氣動(dòng)參數(shù)，建立了以能量為自變量的飛行器再入模型，設(shè)計(jì)了滿足再入約束條件的在線預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法。梁子璇和任章［19］采用飛行器氣動(dòng)參數(shù)在線修正的方法，根據(jù)再入滑翔飛行器的三自由度運(yùn)動(dòng)方程預(yù)測(cè)飛行器落點(diǎn)，通過(guò)落點(diǎn)偏差生成制導(dǎo)指令。王俊波等［20］采用飛行器平面再入段運(yùn)動(dòng)方程，基于模糊邏輯預(yù)測(cè)飛行器落點(diǎn)，生成飛行器制導(dǎo)指令。

根據(jù)上述討論可以看出，現(xiàn)有基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律均依賴于彈體/飛行器的氣動(dòng)參數(shù)和簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程，需要通過(guò)常微分方程在線求解或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)方法預(yù)測(cè)落點(diǎn)。顯然，用于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型越精確，落點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果也越精確，可以提高制導(dǎo)律的性能，但是制導(dǎo)律在線計(jì)算成本將隨之提高。

本文提出了一種基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的新型制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，采用目標(biāo)跟蹤問(wèn)題中常用的隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和自適應(yīng)卡爾曼濾波器估計(jì)彈體的飛行狀態(tài)，根據(jù)代數(shù)方程的解析解預(yù)測(cè)彈體落點(diǎn)，進(jìn)而生成制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律不依賴于彈體氣動(dòng)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)方程，避免了在線求解常微分方程所帶來(lái)的計(jì)算成本。通過(guò)數(shù)值仿真檢驗(yàn)了所提制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能，根據(jù)自旋火箭彈的非線性數(shù)學(xué)模型，研究了所提制導(dǎo)律在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件下的落點(diǎn)誤差，檢驗(yàn)了在參數(shù)受擾條件下的火箭彈落點(diǎn)散布，并與比例制導(dǎo)律進(jìn)行制導(dǎo)性能對(duì)比。

1 基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文研究基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，采用隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和自適應(yīng)卡爾曼濾波器估計(jì)彈體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在不依賴于彈體氣動(dòng)參數(shù)和彈體運(yùn)動(dòng)常微分方程在線求解的條件下預(yù)測(cè)彈體落點(diǎn)，根據(jù)落點(diǎn)與目標(biāo)間的偏差設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。

1.1 隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型

考慮圖1所示的彈體和目標(biāo)，為了提高彈體的精度，可以通過(guò)預(yù)測(cè)彈體落點(diǎn)與目標(biāo)間的偏差，設(shè)計(jì)用于控制和修正彈體軌跡的制導(dǎo)律。對(duì)于射程較近的彈體，地球曲率和地球自轉(zhuǎn)對(duì)彈體飛行的影響較小，可以采用平面地球假設(shè)，并將地面上任意一點(diǎn)視為慣性原點(diǎn)。本文采用的慣性參考系O-x1x2x3如圖1所示原點(diǎn)選在彈體的發(fā)射點(diǎn)，Ox1軸指向彈體發(fā)射方向，Ox3軸垂直于地面向下，Ox2軸根據(jù)右手定則確定。

圖1 參考系定義Fig.1 Definition of reference frames

由于彈體落點(diǎn)與彈體在參考系O-x1x2x3中的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，本文采用“當(dāng)前”隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和自適應(yīng)卡爾曼濾波器估計(jì)彈體當(dāng)前的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)［21］。該模型采用Rayleigh密度函數(shù)對(duì)彈體在慣性參考系Oxi軸的平動(dòng)加速度ai（t）（i=1，2，3）進(jìn)行建模，ai（t）的期望和方差分別為E（ai）和，彈體在Oxi軸的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為

式中：αi為機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)，用于衡量彈體的機(jī)動(dòng)能力，一般而言，對(duì)于機(jī)動(dòng)能力較高的彈體，αi可取為αi=1/20，對(duì)于機(jī)動(dòng)能力較低的彈體，αi可取為αi=1/60［22］；為平均加速度，在一個(gè)采樣周期內(nèi)認(rèn)為是常數(shù)；wi（t）為零均值且方差為的白噪聲信號(hào)。

當(dāng)采樣周期為T(mén)，每個(gè)采樣時(shí)刻僅測(cè)量彈體在Oxi軸的位置xi（t），式（1）的離散形式可表達(dá)為

式中：vi（k）代表測(cè)量噪聲，為零均值且方差為ri（k）的白噪聲信號(hào)；yi（k）為測(cè)量輸出；Wi（k）為激勵(lì)輸入［21-22］；狀態(tài)變量Zi（k）和矩陣Hi分別為

矩陣Φi和向量Ui分別定義為

根據(jù)式（2）中的離散狀態(tài)方程，可根據(jù)如下所示的自適應(yīng)卡爾曼濾波器確定彈體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)值。

矩陣Qi（k）的每個(gè)元素可分別定義為

1.2 落點(diǎn)預(yù)測(cè)與制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2 數(shù)值仿真

圖2 火箭彈構(gòu)型Fig.2 Configuration of an artillery rocket

采用自旋火箭彈的非線性數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值仿真檢驗(yàn)本文所提出的制導(dǎo)律在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件和參數(shù)受擾條件下的制導(dǎo)性能。火箭彈的前端裝有4個(gè)對(duì)稱(chēng)分布的控制舵面，每個(gè)舵面的舵偏角為δi（i=1，2，3，4），火箭彈構(gòu)型和舵面偏轉(zhuǎn)角正方向定義如圖2所示。

控制和制導(dǎo)過(guò)程中，主要測(cè)量火箭彈的位置和滾轉(zhuǎn)角，火箭彈的當(dāng)前位置根據(jù)GPS接收器測(cè)量，火箭彈的滾轉(zhuǎn)角通過(guò)磁傳感器和加速度計(jì)的綜合測(cè)量得到。該自旋火箭彈是動(dòng)穩(wěn)定的，可采用開(kāi)環(huán)控制方式控制火箭彈軌跡，舵面偏轉(zhuǎn)規(guī)律為

式中：φ為火箭彈滾轉(zhuǎn)角；δc和δs分別為縱向和橫向等效舵偏角，分別用于火箭彈法向和橫向過(guò)載控制。針對(duì)該火箭彈的開(kāi)環(huán)控制方式，式（17）中的制導(dǎo)律可改寫(xiě)為

表1 火箭彈仿真參數(shù)Table 1 Parameters for artillery rocket simulation

2.1 標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件下的制導(dǎo)性能

圖3 制導(dǎo)和非制導(dǎo)火箭彈軌跡對(duì)比Fig.3 Trajectory comparison between guided and unguided artillery rockets

在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件下的制導(dǎo)火箭彈和非制導(dǎo)火箭彈軌跡對(duì)比結(jié)果如圖3所示。可以看出，非制導(dǎo)火箭彈的落點(diǎn)明顯偏離目標(biāo)，而式（19）中的制導(dǎo)律能夠顯著減小制導(dǎo)火箭彈落點(diǎn)與目標(biāo)之間的偏差。非制導(dǎo)火箭彈的落點(diǎn)誤差為91.27m，而制導(dǎo)火箭彈的落點(diǎn)誤差可降低至1.94m。顯然，本文提出的制導(dǎo)律在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件下具有良好的制導(dǎo)性能。

圖4為火箭彈縱向和橫向等效舵偏角。可以看出，縱向等效舵偏角δc在制導(dǎo)階段的初期存在相對(duì)較大的偏轉(zhuǎn)，但最大舵偏角未超過(guò)25°；在制導(dǎo)階段末期，δc的偏轉(zhuǎn)較小，最大舵偏角小于10°。產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因在于制導(dǎo)階段初期火箭彈距落點(diǎn)較遠(yuǎn)，隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型給出的落點(diǎn)估計(jì)值的精度較低，制導(dǎo)律將給出相對(duì)較大的舵偏角以修正火箭彈軌跡。

圖4中的橫向等效舵偏角δs在制導(dǎo)階段呈現(xiàn)先增后降的變化趨勢(shì)。產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因在于制導(dǎo)律是在火箭彈在達(dá)到彈道最高點(diǎn)后開(kāi)始工作的，在彈道最高點(diǎn)處彈體與目標(biāo)之間已存在較為明顯的橫向偏差（見(jiàn)圖3所示的火箭彈軌跡）。因此，在制導(dǎo)階段的初期，隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型給出的預(yù)測(cè)落點(diǎn)與目標(biāo)之間也會(huì)出現(xiàn)較大的橫向偏差，導(dǎo)致δs的偏轉(zhuǎn)增大，用以修正火箭彈軌跡。隨著制導(dǎo)律的持續(xù)工作，火箭彈軌跡與目標(biāo)之間的橫向偏差逐步減小，所以δs偏轉(zhuǎn)也隨之減小。總體而言，δs的偏轉(zhuǎn)較小，最大舵偏角未超過(guò)1°。顯然，式（19）中制導(dǎo)律所生成的舵偏角指令是合理的，能夠避免制導(dǎo)過(guò)程中火箭彈舵面的大幅偏轉(zhuǎn)。

圖4 制導(dǎo)火箭彈等效舵偏角Fig.4 Equivalent canard deflections of guided artillery rocket

圖5 制導(dǎo)火箭彈位置的估計(jì)誤差Fig.5 Estimation errors of guided artillery rocket locations

圖5為隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和自適應(yīng)卡爾曼濾波器給出的火箭彈位置估計(jì)誤差。可以看出，火箭彈在Ox1軸位置的估計(jì)誤差ex1和高度的估計(jì)誤差eh較小，分別在±2 m和±5 m 以內(nèi)。火箭彈在Ox2軸位置的估計(jì)值較為準(zhǔn)確，估計(jì)誤差ex2在±0.5m以內(nèi)。這些估計(jì)誤差是可接受的，對(duì)制導(dǎo)火箭彈落點(diǎn)預(yù)測(cè)和制導(dǎo)性能的影響較小。

2.2 參數(shù)受擾條件下的制導(dǎo)性能

為了檢驗(yàn)本文提出的制導(dǎo)律在參數(shù)受擾條件下的制導(dǎo)性能，分別對(duì)制導(dǎo)火箭彈和非制導(dǎo)火箭彈進(jìn)行100次Monte Carlo仿真，對(duì)比落點(diǎn)分布和相對(duì)于目標(biāo)的圓概率偏差（CEP）。對(duì)于每個(gè)受擾的參數(shù)，擾動(dòng)誤差服從均值為零的正態(tài)分布，即對(duì)于參數(shù)v，擾動(dòng)誤差為Δv且Δv～N（0，σ），其中σ為均方差。Monte Carlo仿真的初始參數(shù)標(biāo)稱(chēng)值采用表1中所示的參數(shù)，仿真所采用的受擾參數(shù)和對(duì)應(yīng)的均方差如表2所示。

落點(diǎn)分布結(jié)果如圖6所示，圖中Δx1和Δx2分別為火箭彈在Ox1軸和Ox2軸的落點(diǎn)誤差。非制導(dǎo)火箭彈的CEP為219.05 m，制導(dǎo)火箭彈的CEP可降低至8.91m。同時(shí)，式（19）中的制導(dǎo)律使得制導(dǎo)火箭彈的落點(diǎn)更加密集，絕大多數(shù)落點(diǎn)集中在邊長(zhǎng)為40m的正方形區(qū)域內(nèi)。顯而易見(jiàn)，本文提出的制導(dǎo)律在參數(shù)受擾的條件下具有良好的制導(dǎo)性能，能夠明顯提高制導(dǎo)火箭彈的命中精度。

表2 受擾參數(shù)的誤差Table 2 Errors of perturbed parameters

圖6 制導(dǎo)火箭彈和非制導(dǎo)火箭彈落點(diǎn)分布Fig.6 Impact point distributions of guided and unguided artillery rockets

2.3 與比例制導(dǎo)律的性能對(duì)比

本節(jié)將式（19）中的落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能與典型的比例制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能進(jìn)行對(duì)比。針對(duì)圖2所示的自旋火箭彈，比例制導(dǎo)律可表達(dá)為

落點(diǎn)誤差的對(duì)比結(jié)果如圖7所示。可以看出，在絕大多數(shù)情況下，本文提出的制導(dǎo)律給出的落點(diǎn)誤差小于式（20）中的比例制導(dǎo)律給出的落點(diǎn)誤差。落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)律給出的最小落點(diǎn)誤差為0.76m，小于比例制導(dǎo)律給出的最小落點(diǎn)誤差3.69m。

圖7 本文制導(dǎo)律與比例制導(dǎo)律的性能對(duì)比Fig.7 Performance comparison between proposed guidance law and proportional navigation guidance law

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于落點(diǎn)預(yù)測(cè)的新型制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，該方法以隨機(jī)機(jī)動(dòng)模型和自適應(yīng)卡爾曼濾波器為基礎(chǔ)，估計(jì)彈體在各個(gè)時(shí)刻的位置、速度、加速度，采用彈體預(yù)測(cè)軌跡的解析解得到落點(diǎn)預(yù)測(cè)值。具體結(jié)論如下：

1）針對(duì)20 km處的目標(biāo)，在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)條件下的數(shù)值仿真中，該制導(dǎo)律可將火箭彈落點(diǎn)誤差從91.27m降低至1.94m。

2）針對(duì)20 km處的目標(biāo)，在參數(shù)受擾條件下的數(shù)值仿真中，制導(dǎo)火箭彈的CEP為8.91m，遠(yuǎn)低于非制導(dǎo)火箭彈的CEP，即219.05m。

3）與比例制導(dǎo)律的性能對(duì)比中，該制導(dǎo)律的最小落點(diǎn)誤差小于比例制導(dǎo)律的最小落點(diǎn)誤差。

4）該制導(dǎo)律不依賴于彈體氣動(dòng)參數(shù)，無(wú)需在線進(jìn)行彈體運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值求解，可用于低成本制導(dǎo)武器的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。