考慮阻尼性能的復合結構多尺度拓撲優化設計

倪維宇,張橫,姚勝衛

1. 上海理工大學 公共實驗中心,上海 200093 2. 上海理工大學 機械工程學院,上海 200093

薄壁板殼結構由于其高剛輕質特性而廣泛應用于航空航天領域結構中。然而,由于板殼結構本身阻尼小、輻射面積大、輻射效率高,在外部激勵下更易引起振動,產生噪聲,振動需要較長時間才能衰減,板殼振動問題變得尤為突出[1]。因此,對板殼結構進行振動控制設計一直是近年來研究的熱點問題。

對板殼結構進行減振設計,一種行之有效的措施是在結構上施加阻尼材料,通過提高結構阻尼達到減振目的。傳統的通過施加諸如橡膠等單一阻尼材料的設計方案由于阻尼材料本身模量較低,為了達到設計要求,材料施加量較多,不可避免會增加結構的質量,與航空航天結構高剛輕質的設計要求背道而馳,產生這樣后果的主要原因是阻尼材料的材料屬性和敷設方案不合理,從本質上說阻尼材料的設計與高剛輕質結構的設計要求不匹配。阻尼復合結構的振動特性不僅與結構宏觀構型有關,還與阻尼材料自身的材料性能相關,因此為設計和制造具有高剛度、高阻尼和輕質特性的阻尼復合結構,在結構設計階段就要對阻尼材料的微結構設計、復合結構的宏觀幾何形態設計等關鍵問題進行研究。輕量化要求阻尼材料具有高剛度和高阻尼的特性,使用較少的材料即可達到設計要求。單一阻尼材料的剛度和阻尼往往不能兼顧,若剛度大則往往阻尼較小,難以達到減振設計的目的；若阻尼材料阻尼大則往往剛度又較小,會使結構剛度減小,結構質量增加較多。復合材料可通過不同阻尼材料組合,兼顧每一相基材料的優點,實現具有高剛度和高阻尼特性的復合材料的設計。

目前針對阻尼復合結構的設計研究多集中于宏觀結構或微觀結構,在宏觀設計方面,Kang[2]、Kim[3]、Yamamoto[4]、鄭玲[5]等對板結構的約束阻尼層進行了分布優化設計,提高了結構的阻尼性能。Takezawa[6]、EI-Sabbagh[7]、Zhang[8]、Yun[9-10]等對阻尼材料在結構上的宏觀分布形態進行了深入研究,而Yi[11-12]、Andreassen[13]、Chen[14-15]、Andreasen[16]、Huang[17]、Liu[18]等對阻尼材料微結構構型進行了研究。事實上,最優的阻尼復合結構應該在宏觀和微觀上均是最優的,即阻尼材料自身的材料性能和阻尼材料在板殼結構上的分布形態均是最優的。但是目前對于阻尼材料分布的多尺度拓撲優化設計研究的文獻十分罕見。Andreassen和Jakob[19]提出了一種阻尼結構的多尺度設計方法,包括兩個設計步驟：① 最大化阻尼復合材料微結構的阻尼性能,得到最優的阻尼復合材料微結構構型；② 使用第 ① 步優化得到的阻尼復合材料進行宏觀分布設計,得到阻尼材料在宏觀上的分布形態。這種設計方法從嚴格意義上講還是單尺度設計方法,并不是真正的多尺度設計方法。在多尺度設計問題上,對于結構基體的多尺度設計問題研究較多,Rodrigues等[20]首先提出了材料與結構的多尺度設計問題,并以宏觀結構最小柔順性為目標得到了宏觀結構和材料微結構的設計。同樣Zhang和Sun[21]也對該問題進行了研究,但是他們研究的微結構中每一個單胞的構型都是不同的,這就使得優化后的結構難以制造。其他類型的多尺度設計方法則是將微結構單胞構型的種類進行了限定,如Niu[22]和Zuo[23]等研究了最大化結構頻率的兩尺度設計問題,其設計模型中,微結構僅包含有一種形態。Vicente等[24]研究了頻率響應問題下的多尺度設計問題,使優化后整體結構的動態性能提升明顯。

針對板殼阻尼復合結構的設計問題,本文提出了一種基于變密度法的阻尼復合結構多尺度設計方法,以期通過同時對阻尼材料的分布及阻尼材料微結構進行設計,使優化后的阻尼復合結構具有最優的性能。

1 兩尺度阻尼復合結構

為實現阻尼復合結構的兩尺度拓撲優化設計,需要首先建立阻尼復合結構的計算模型,并進行有限元分析。

1.1 兩尺度阻尼復合結構的組成

圖1所示為兩尺度自由阻尼層結構,圖1(a)為阻尼復合結構示意圖,對其進行兩尺度設計,圖1(b) 為阻尼材料在宏觀上的分布形態,圖1(c)為周期性阻尼復合材料,圖1(d)為阻尼復合材料的微結構構型。在兩尺度優化設計模型中,阻尼復合材料微結構設計及其在基板上的分布是同時進行的。

圖1 兩尺度阻尼復合結構示意圖Fig.1 Diagram of two scale damping composite structure

1.2 結構模態阻尼比的計算

為準確描述阻尼材料的變化對結構阻尼的影響,阻尼材料的阻尼特性使用復模量表示,如式(1)所示,不考慮阻尼材料性能隨溫度和頻率改變特性。

E=E′+jE″=E′(1+jη)

(1)

式中：E′、E″和η分別是黏彈性材料的儲能模量、損耗模量和材料損耗因子；j為虛數單位。

結構自由振動的運動微分方程為

(2)

式中：u為結構的位移；M和K分別是結構質量矩陣和剛度矩陣,由于阻尼材料模量的復數形式,可知結構剛度矩陣K為復剛度矩陣：

K=Kp+Kv=KR+jKI

(3)

式中：Kp和Kv分別為基體和阻尼層的剛度矩陣,下標“p”和“v”分別代表金屬層和阻尼層；KR和KI分別為剛度矩陣的實部和虛部,上標“R”和“I”分別代表實部和虛部。KR和KI為

(4)

(5)

基于模態應變能法[25]計算結構的第k階模態阻尼比可近似表達為

(6)

2 優化數學模型及靈敏度分析

2.1 需優化的數學模型

為最大化結構的阻尼性能,以結構的模態阻尼因子為目標對結構進行優化設計,多尺度優化的數學模型為

Find:X(xi,yj)

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

0

(7e)

0

(7f)

2.2 靈敏度分析

在雙尺度模型中,對于單元的靈敏度分析要建立在對結構在兩個尺度(微觀和宏觀)下分析的基礎上。在宏觀尺度上對結構進行有限元分析可以計算出整體結構的性能,基于均勻化法[26]在微觀尺度上對復合阻尼材料單胞進行有限元分析可以得到單胞的等效材料性能。

在微觀結構的有限元分析過程中,通過對單胞施加周期性邊界條件,求解可得到微結構的廣義位移：

ku=fMI

(8)

式中：k和u分別為微結構單胞的剛度矩陣和位移矩陣；fMI為載荷矩陣。微結構單胞的剛度矩陣k為

(9)

式中：ki為單胞上第i個單元的剛度矩陣；Y為微結構的設計域；Yi為單胞上第i個單元的體積；b為應變位移矩陣；DMI為微結構上第i個單元的彈性矩陣。

因此式(8)中的載荷矩陣fMI為

(10)

基于均勻化法求解阻尼復合材料微結構單胞的等效復彈性矩陣DH為

(11)

式中：ui為微結構中第i個單元的位移場,可通過式(8)求得；|Y|為微結構單胞的體積；I為單位矩陣。

為獲得清晰的設計結果,基于SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization method)插值方法,微結構上第i個單元彈性矩陣的插值模型為

(12)

式中：p為懲罰系數,p取3；D1和D2分別為剛度材料和阻尼材料的彈性矩陣。

(13)

根據式(12)和式(13),可得優化過程中復合阻尼材料的等效復彈性矩陣DH為

(I-bui)dY

(14)

對式(7b)目標函數的靈敏度分析可分別對兩項進行求導再相加即可。第1項對設計變量靈敏度可通過式(6)對設計變量X求導得到：

(15)

(16)

式中：kv,j為第j個單元的剛度矩陣；B為應變位移矩陣；Ω為單元積分域。

(17)

(18)

通過式(14)可得等效彈性矩陣對設計變量xi的靈敏度計算為

(19)

(20)

將式(19)和式(20)分別代入式(17)和式(18),復合阻尼材料剛度矩陣虛部和實部對設計變量的靈敏度計算公式為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入式(15),可得到結構第k階模態阻尼因子對微觀結構設計變量的靈敏度。

考慮阻尼復合材料在宏觀上的分布設計問題,通過式(13)插值公式,式(15)中結構剛度矩陣對宏觀結構設計變量在單元上的靈敏度分別為

(23)

(24)

將式(23)和式(24)代入式(15),即可得到結構的第k階模態阻尼比對宏觀結構設計變量的靈敏度。

2.3 優化流程

考慮阻尼性能的阻尼復合結構多尺度拓撲優化設計方法的主要設計步驟如圖2所示,包括如下幾個設計步驟：

1) 初始宏觀微觀結構構型的建立

對宏觀結構進行網格劃分,宏觀結構的每一個網格都為一個微結構單胞,因此再把每個宏觀網格假想為一個設計域,并進行網格劃分,建立兩尺度優化的模型,基板設置為非設計域,阻尼層設置為可設計域。

（2）階段二。橋梁中間設置隔離墩，將左幅橋梁封閉，右幅實現雙向車道通行，同時設置合理的通行時速。此階段進行施工的過程中，對左幅需要進行拼接施工，同時橋面需要進行鋪裝施工。

2) 微結構有限元分析

對單胞進行網格劃分,建立單胞的有限元模型,單胞所有的單元均設置為設計變量。通過均勻化方法對單胞進行有限元分析,得到單胞的等效復彈性矩陣DH。

3) 結構宏觀性能有限元分析

使用第2)步得到的單胞的等效復彈性矩陣DH,代入式(16)得到每個宏觀單元的剛度矩陣,再進行組裝得到宏觀結構的整體剛度矩陣并進行有限元分析,計算得到整體結構的性能,主要包括目標函數和約束函數值的計算。

4) 兩個尺度上的靈敏度分析

使用式(15)計算設計變量xi和yj的靈敏度。

5) 通過移動漸近線算法更新設計變量xi

使用移動漸近線算法[27](Method of Moving Asymptotes,MMA)更新設計變量。MMA通過引入移動漸近線,將隱式的優化問題轉化成一系列顯式的可分離嚴格凸近似子優化問題。每一步迭代中,通過用梯度類算法求解凸近似子問題更新設計變量,適用于處理目標函數復雜且具有約束的拓撲優化問題。

6) 收斂判斷

如果優化迭代的目標函數連續兩次的差值小于收斂容差,或者迭代次數到達設定的最大值N,則退出循環；否則返回第2步,繼續迭代,直到達到收斂條件。

圖2 優化設計流程Fig.2 Process of optimization design

3 算 例

通過幾個算例驗證所提設計方法的有效性。算例中基板為鋁合金,阻尼層由周期性復合阻尼材料構成,復合阻尼材料由兩相組成,一相為低剛度高阻尼材料(橡膠),另一相為高剛度低阻尼材料(樹脂),材料具體參數如表1所示。結構劃分為四節點Mindlin板單元,微結構優化中初始構型選取如圖3所示,初始密度為微結構中體積分數設定值,四角點初始密度設置為0.001(樹脂)。宏觀和微觀設計中的過濾半徑均設置為2倍的單元尺寸。

表1 材料屬性Table 1 Parameters of materials

圖3 初始微結構構型Fig.3 Configuration of initial microstructure

3.1 算例1：四點固支板

圖4所示為四點固支板結構,其長度L=360 mm,寬度W=250 mm,金屬基板和阻尼層的厚度均為2 mm。宏觀結構劃分為36×25個Mindlin板單元,則微結構的尺寸為10 mm×10 mm,劃分為40×40個四節點Mindlin板單元。為進一步驗證結果,對結構進行頻率響應分析,采用原點激勵原點響應方式,頻率響應測試點為圖4中黃色點。

圖4 四點固支結構示意圖Fig.4 Diagram of four point fixed support structure

考慮兩種不同的目標函數,第1種為單目標設計,分別考慮3種算例：算例1——最大化結構的第1階模態阻尼比、算例2——最大化結構的第2階模態阻尼比、算例3——最大化結構的第3階模態阻尼比；第2種為多目標設計,考慮算例4——最大化結構的前3階模態阻尼比加權和,加權系數相等。所有算例的體積分數均相同,fMA=0.5,fMI=0.5。當fMI=0.5時,低剛度高阻尼材料的體積分數為0.5,即VMI,1=50%,而另外一相高剛度低阻尼材料的體積分數也為0.5,即VMI,2=50%,VMI,1+VMI,2=100%。由于微結構設計多為局部解問題,不同的初始微結構構型會得到不同的微結構形態。因此,為在相同的宏觀體積約束下得到最優的微結構設計結果,設計人員需要調整微結構的初始構型,即微結構的體積分數值,以便得到具有最優性能的多尺度結構,本文中僅給出了體積分數為0.5時對應的設計結果。

圖5～圖7為單目標優化設計結果,分別對應算例1、2和3；圖8為多目標設計結果；圖9為迭代歷程圖,可以看出這4種目標函數對應的設計都收斂。

從圖5～圖8的設計結果可知,當目標函數不同時,設計結果的宏觀和微觀構型不同。結構的第1階模態振型為中間位置的上下振動,當最大化第1階模態阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于中間位置,即分布于結構第1階模態應變能最大處。結構的第2階模態振型為結構長邊的扭動,當最大化第2階模態阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于結構長邊兩側,即分布于結構第2階模態應變能最大處。結構的第3階模態振型為短邊中間位置的振動,當最大化第3階模態阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于結構短邊兩側,即分布于結構第3階模態應變能最大處。可以總結為阻尼材料在宏觀上主要分布于結構應變能較大的區域,以抵制結構的變形,增加結構的阻尼。當最大化前3階模態阻尼比之和時,阻尼材料分布為算例1、2、3的綜合結果。在微結構構型圖中,不同目標函數復合阻尼材料的微結構構型不同,但是都有一個共同的特點,即微結構構型中低剛度高阻尼材料的分布相互連接。從微結構的等效復彈性模量可知微結構呈現出負泊松比。同時其損失模量(微結構復彈性矩陣的虛部)絕對值相對較大,其阻尼因子(微結構復彈性矩陣的虛部比實部)也相對較高。

圖5 算例1：最大化第1階模態阻尼比設計結果Fig.5 Example 1: Design results of maximizing first modal damping ratio

圖6 算例2：最大化第2階模態阻尼比設計結果Fig.6 Example 2: Design results of maximizing second modal damping ratio

圖7 算例3：最大化第3階模態阻尼比設計結果Fig.7 Example 3: Design results of maximizing third modal damping ratio

圖8 算例4：最大化前3階模態阻尼比之和設計結果Fig.8 Example 4: Design reslts of maximizing sum of first three modal damping ratios

圖9 迭代歷程Fig.9 Iteration history

表2為各設計結果對應的模態頻率和模態阻尼比,為說明設計結果的優異性,添加兩個對比設計例,分別為宏觀全部涂敷橡膠或全部涂敷樹脂。圖10為各設計結果的頻率響應曲線圖,頻率范圍為0～120 Hz,圖10(a)為各設計結果的頻率響應對比,圖10(b)～圖10(d)分別為頻響函數曲線在第1、2和3階模態頻率處的局部放大圖。

綜合圖5～圖8、圖10和表2可得,當最大化結構的第1階模態阻尼比時,設計結果與目標函數一致,結構的第1階模態阻尼比最大,同時結構在第1階模態頻率處的頻率響應最小。當最大化結構的第2階或第3階模態阻尼比時,設計結論與最大化結構的第1階模態阻尼比時相似；在最大化結構前3階模態阻尼比的加權值時,結構在每一階模態處的阻尼比要小于以對應階數模態阻尼比為目標時得到的設計結果,但是就前3階的總體性能而言,以前3階加權值為目標得到的設計結果更優。與基板結構相比,涂敷阻尼材料后結構的頻率有所降低,但是其阻尼大幅增加。與僅涂敷橡膠等高阻尼材料相比,提出的涂敷阻尼復合材料結構的頻率、阻尼都變大,同時結構頻率響應變小；與僅涂敷樹脂等高剛度類阻尼材料的情況相比,提出的涂敷阻尼復合材料結構的頻率雖然略有降低,但是結構的阻尼增大,頻率響應變小。由此可得與全涂敷某一種單一的阻尼材料相比,使用兩尺度優化設計得到的設計結果的動態性能有顯著提高。

表2 兩邊固支結構設計結果性能對比

圖10 優化后結構的頻率響應圖Fig.10 Frequency response diagrams of optimized structure

3.2 算例2：航天器儀器安裝板

圖11為某型號航天器儀器安裝板，結構長度為400 mm,寬度為300 mm,厚度為2.5 mm,儀表簡化為盒狀,其尺寸為100 mm×60 mm×75 mm,質量為200 g。儀表位于安裝板正中心位置,假設儀表質量均勻分布于接觸面。安裝板四周固定。

以結構的第1階模態阻尼比為目標對安裝板進行優化設計,結果如圖12所示。對安裝板中間部位進行頻率響應分析,采用原點激勵原點響應方式,添加兩個對比算例,分別為全部涂敷橡膠或環氧樹脂,圖13為分析結果。可見多尺度設計結構、全部涂敷橡膠和全部涂敷樹脂對應的最大響應分別為2.15×10-3mm、6.32×10-3mm和3.17×10-3mm,相較于全部涂敷橡膠材料,多尺度阻尼層結構的響應降低了約65.9%,相較于全部涂敷樹脂材料則降低了32.1%。可見使用所提多尺度設計方法的設計結果振動性能明顯提高。

圖11 航天器儀器安裝板結構Fig.11 Structure of spacecraft instrument mounting plate

圖12 儀器安裝板阻尼層的多尺度設計結果Fig.12 Multi-scale design results of instrument mounting plate with damping layer

圖13 儀器安裝板的頻率響應分析Fig.13 Frequency response analyses of instrument mounting plate

4 結 論

1) 提出了一種基于非比例阻尼模型的阻尼復合結構兩尺度拓撲優化方法,實現了阻尼材料在宏微觀兩尺度上的協同設計,同時獲得最優的阻尼材料宏觀分布形態和微觀構型。且本文的設計方法還可擴展應用于三維結構的設計,為阻尼層復合結構的優化設計提供一種有效的設計方法。

2) 在以結構阻尼為目標的設計中,研究了不同目標函數對設計結果的影響,設計結果表明,當最大化結構的某一階模態阻尼比時,優化后結構的該階模態阻尼比最大,同時該階的頻率響應最小；當以前3階模態阻尼比之和為目標時,結構前3階模態阻尼比的總體性能更優。

3) 在微結構構型圖中,不同目標函數復合阻尼材料的微結構構型不同,但是都有一個共同的特點,即微結構構型中低剛度高阻尼材料的分布相互連接。從微結構的等效復彈性模量可知微結構呈現負泊松比。同時其損失模量(微結構復彈性矩陣的虛部)絕對值相對較大,其阻尼因子(微結構復彈性矩陣的虛部比實部)也相對較高。