把握歸納推理，培養數學思維
——以《倍的認識》一課為例

石迎春

（東北師范大學附屬小學，吉林長春130000）

“倍”是一個比較抽象的概念，古文中“倍”表示“在原數的基礎上增加相等的數”。例如“嘗以十倍之地，百萬之師，叩關而攻秦”，這里的“倍”就比較接近數學中“倍”的概念了。數學中的“倍”代表著兩個數量間的比較關系，“一個數量包含了幾個另一個數量”，我們就說這個數是另一個數的幾倍。它的產生源于比較，代表著一種關系，這種關系卻是看不到、摸不著的，因此對于低年級兒童來說“倍”的學習是一個難點。

一、歸納式教學對“倍”概念教學的價值分析

“倍”是從“加法結構”到“乘法結構”的過渡。“乘法結構”是一個概念體系，其中基本概念是乘法和除法，另外還包括與之相關的“倍、最大公因數、最小公倍數”等。從“加法結構”到“乘法結構”的轉變，是學生認知結構一次“質”的變化，而“倍”的學習是認知結構的第一次轉變。歸納式教學，尤其是注重過程的歸納式教學將兒童的原有認知結構作為教學的起點，要求學生在特定的學習主題和情境下，通過合情合理的推測、探究、體驗等操作，經歷知識原初產生的過程、經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論。注重過程的歸納式教學對兒童認知結構的轉變，對“倍”概念的學習具有重要的價值和意義。

（一）從特殊到一般，建立“倍”概念的表象

在傳統教學中，教師一般采用“概念同化”的方式來進行教學，即使在教學中重視了圖示的運用、豐富的情境以及多種表征的配合，也都是通過演繹的思維方式來理解“倍”。注重過程的歸納式教學強調另一種概念學習的方式，即“概念形成”，通過歸納的思維方式得到“倍”的概念內涵，讓學生在多種情境、多種數據關系的比較中，發現一般的規律和特征，進而建立“倍”概念的表象。

（二）從直觀到抽象，經歷用“實物→模型→算式”表示“倍”的過程

注重過程的歸納式教學要求兒童經歷知識完整的形成過程，通過對具象的抽象，對個別的概括來學習新知。“倍”概念的建構需要兒童實現從絕對數量比較到相對數量比較的飛躍，具有一定的抽象性和概括性。兒童的思維具有具體、形象的特點，教學中可以遵循兒童數學思維發展的規律，引導學生經歷“實物→模型→算式”表示“倍”的過程，幫助學生建立數學思維。首先從直觀操作入手，通過實物來“擺倍”，進而用圖形來“畫倍”，最后通過算式來“算倍”。通過畫圖和列式來表示和計算“倍”是理解“倍”概念的核心，在此基礎上抽象出“倍”的模型，理解“倍”概念的本質。

二、學情調研與教材分析

（一）學情調研

兒童擁有對客觀世界的獨特見解和自發的概念結構。維果斯基（L.S.Vygosky）將兒童在日常生活經驗中獲得的自然而發的概念稱為“生活概念”，也有學者稱之為“前概念”。注重過程的歸納式教學在進行教學設計時要了解兒童已有的生活概念是怎樣的，要在此基礎上進行教學。學生在認識“倍”之前已經積累了很多“平均分”、“數量比較”的經驗，在正式上課之前，筆者對學生進行了訪談，通過調查發現：

1.學生聽說到過“倍”，但是不理解“倍”的真正含義

“你聽說過‘倍’這個概念嗎？”對于這個問題，大多數學生都說聽過，只有兩個人說沒聽過。“我在書中見過這個詞，例如倍感欣慰。”“我在數學課外班做題的時候，遇到過倍數問題”。當教師追問“你能具體講一講‘倍’是什么意思嗎？”幾乎沒有人能夠順利來解釋。“我猜和‘很’是一個意思吧，倍感欣慰，就是很欣慰的意思。”“可能是表示越來越多吧，我聽媽媽說過今年掙的錢翻倍了。”通過對學生的訪談發現大部分學生聽說過倍，但是對于倍的理解還是停留在初級的層面，沒有理解倍的真正含義。

2.學生描述“兩個數量之間的關系”，還只是停留在“比多、比少”上

給出一幅關系圖，你能說一說方形和三角形在數量上有什么關系嗎？

圖1

學生的回答都是：方形比三角形少4個，三角形比方形多4個。教師追問“還有其他的方式來描述它們數量之間的關系嗎？”所有學生都搖頭說不知道。教師繼續追問“仔細觀察這幅圖，你知道誰是誰的幾倍嗎？”

生1：（撓頭）是3倍吧。師：誰是誰的3倍？

生1：方形是三角的3倍。

生2：不對，是多3倍，三角比方形多3倍。

生3：同意，是多3倍。也可以說是方形比三角少3倍。

通過以上對話可以發現，學生在描述兩個數量的關系上，還是停留在“比多、比少”上，當教師提示可以用“倍”來描述時，學生對于“誰是一倍量，誰是多倍量”是比較模糊的，另外，學生認為比較兩個數量就一定要用“多少”來描述，例如“多3倍，少3倍”。對于三角形的數量有3個方形那么多，學生是有直觀感知（數學直覺）的，但是對于絕對數量的比較也就是“差比”到相對數量的比較“倍比”，也就是加法結構到乘法結構的轉變，學生在理解上是有困難的。

“倍”的相關知識和后續的“比”的知識聯系比較密切，因此筆者又隨機抽取了3位同學進行了分物游戲。在分物的時候，為了公平，學生知道要進行平均分，但是對于要把6袋糖果分給2個小組，一個小組是3人，另一個小組是6人時，學生的經驗是先把人進行等分，然后再把糖果按照人的份數進行“一一對等”分，也就是說學生對于按比例分配是有一定的認知基礎的。因此在本研究中，我們將“按比例分物”作為學習倍的基礎，以此讓學生感受“倍”產生的必要性。

有過程的歸納教學是以學生者為中心的教學，其典型的特點之一是根植于兒童的生活概念。因此在“倍”的教學中，不能將兒童關于“倍”的前概念，單純作為“錯誤”去排除、去矯正，而應將其作為教學資源的一部分，應在解決困惑的基礎上去推進兒童概念的發展。因此在教學中，可以嘗試放慢腳步，讓學生在比較的情境中體會出在“比多少”的眾多情況中存在著一種較為特殊的情況，即多少出的部分是由幾個“一份”組成，將學習環節細化，讓學生用自己的方式表達這種特殊的情況，最終形成對“倍”的理解。

（二）教材對比分析

筆者對國內的“北師、人教、蘇教、青島、河北”這五個版本教材“倍”的內容進行了對比分析。通過比較發現，在年段安排上，北師版教材和河北版教材是最早學習的，在學力基礎上也就是從相關知識的鋪墊上，北師在“2、3、4、5”乘法和除法之后學習的倍，學生的學習基礎是最為薄弱的。在課時安排上各個版本教材都設計了3課時，人教是單設單元進行學習，其他版本都是在相關的計算單元內完成的。在關于問題情境的設計上，各個版本的教材都是從“除法”情境入手，也就是采用“求一個數是另一個的幾倍”這樣的情境來認識“倍”。另外，本研究重點對人教版和北師版教材進行了分析，我們發現兩個版本的教材都注重通過實物、算式、文字、幾何符號等多種表征方式來促進學生對“倍”概念的理解，多種表征方式的使用能夠更好地幫助學生理解抽象的數學概念。這兩個版本的教材都強調了“份”，通過直觀的圖示，利用“份”或者是“幾個那么多”來幫助學生理解倍。“倍”在表示數量關系的時候，實際上就是一份和多份之間的關系。“份”是學生通過圈一圈可以直接看到和感知的，而“倍”則是學生在頭腦中通過運算算出來的，借助“份”或者是“幾個那么多”可以降低學生對“倍”理解的困難。

三、學習材料的選擇與學習任務的設計

通過學情分析和不同版本教材的對比分析，確定了本節課按照“感受倍產生的意義—歸納倍的涵義—在變式中理解倍—倍的實際應用”這樣的邏輯順序進行教學。具體的學習目標和學習任務設計如下。

（一）教學目標

1.在具體情境中經歷“倍”概念的初步形成過程，初步理解“倍”的含義，弄清一份的標準以及幾份和幾倍之間的聯系。

2.在學習過程中讓學生學會觀察、操作、分析、推理以及有條理的敘述。

3.使學生養成善于動手、勤于動腦的良好學習習慣和對數學的學習興趣。

（二）學習任務

表1學習任務及具體教學設計

四、注重過程的歸納式教學的展開

（一）創設問題情境，感受“倍”概念產生的必要性

注重過程的歸納式教學強調“問題情境”對學生學習的重要性。情境，尤其是蘊藏問題的情境能夠引出需要解決的基本問題，激發學生的學習動機，引導學生對基本問題進行探究。基于對“倍”本質的分析，筆者試圖將“倍的認識、商不變的規律、比”等幾個知識點在縱向上溝聯起來形成知識體系，各內容之間相互呼應、彼此滲透。因此設計了真實的、富有挑戰的又蘊含比例推理思想的“根據人數來分物”的問題情境。

圖2能直接平均分

圖3不能直接平均分

首先創設“有6袋糖果，要分給松鼠班和小狗班，怎么分比較合理呢？”這樣一個平均分的情境，將學生的學習帶入到比較數量之間的關系中來，當數量相等時，可以直接進行平均分。之后討論數量不相等的情況，“把6袋糖果分給猴子班和猩猩班，怎么分比較合理呢？”通過討論，學生發現數量不相等時，只知道“誰多誰少”已經不能直接解決問題，需要進一步研究他們之間更深層的關系才能夠解決問題。通過這樣一個按比例分物的情境，讓學生體會到“倍”概念產生的必要性。

（二）提供有效的學習材料，通過類比歸納出“倍”的本質

波利亞在《怎樣解題》中提出：“歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發現普遍規律的過程。”也就是說歸納是從觀察出發的，通過觀察、分析、比較等思維操作活動，來發展兒童的歸納推理能力。二年級學生數學抽象能力較弱，因此教師要提供利于觀察的、特征較明顯的學習材料，為學生的歸納抽象搭好梯子和腳手架，幫助學生在特殊中發現一般，在個別中抽象出共性。教學中教師在引導學生觀察“猴子和猩猩”這組數據之后，又提供了多組具有“倍”的特點的數據，讓學生在眾多數據的比較中，發現在“比多少”的眾多情形中存在著一種特殊的關系，即多出的部分是由幾個“一份組成”的，讓學生自發想辦法來表達這一類關系，這樣的設計實現了學習方式由“概念同化”向“概念形成”的轉變，最終幫助學生形成對“倍”概念本質的理解。

圖4教學中提供給學生的具有“倍”關系的數據

（三）設計有層次的學習任務，關注操作體驗和對話省思，深入理解“倍”

兒童獲得知識的過程是動態的，一定要摸一摸、試一試、探一探，兒童親自體驗、操作了，才更有可能理解。因此，教師要設計具有“探究性”的操作活動，通過“探究性學習任務”的驅動，引導兒童基于個人經驗親身參與到發現、探究和建構的過程中來，本節課主要設計了如下的操作活動來幫助學生深入理解倍。

1.擺一擺、畫一畫，算一算，經歷“實物→模型→算式”表示“倍”

兒童對“倍”概念的理解不是一蹴而就的，是需要循環往復和不斷加深的。因此我們設計了兩個分層學習任務：一是給出1倍量，學生擺出2倍量；二是學生自己創造2倍。設計的這兩個任務遵循了兒童的認知發展規律，通過“實物→模型→算式”這個逐步抽象的過程來深入認識“倍”。在這個環節中，教師要引導學生從實物的操作逐步過渡到抽象的思考上，使學生逐步建立“倍”的模型，理解其本質。

圖5擺一擺學習指南

圖6畫一畫學習指南

2.說一說，議一議，辨一辨，在師生、生生對話中辨析“倍”

在這個環節中，教師要設計關鍵性的追問問題，通過不斷的追問加深對“2倍”的理解。

問題一：2在哪里？在圖中并沒有數字2，2在哪里？（其實他藏在6和3的關系里）

問題二：1在哪里？（來凸顯對“1份”的理解）

問題三：明明是3個，為什么要說成1？（以此來強調1份作為標準的作用）

圖7針對學生作品的作品，教師進行追問

這些追問直接指向“倍”的概念，能夠幫助說出結果的學生加深對“倍”的理解，幫助聽的學生厘清兩者之間的關系，學會新的表達方式，讓更多學生理解“倍”的概念、強化對“倍”的理解。

3.提供“變式結構”，在辨析中深化對“2倍”的認識

“標準結構”不能促進學生真正的思考，教學中可以提供“變式結構”，在辨析中深化對所學知識的理解。在“創造2倍”環節中，學生抽象出4是2的2倍，10是5的2倍，8是4的2倍，并找出其中的標準即一倍量，在變式中反復體會2倍的關系，引導學生歸納出2倍的本質：將一倍量作為標準，另一個數里有這樣的2份，這就是2倍的關系。從而引導學生“舍棄各種不相干的因素”，在變中抓不變。而這個“不變”，正是兩個數量之前的2倍關系，從而更為深入的揭示了現象的本質，這個本質就是新概念“倍”。

（四）追溯起點問題“分糖果”，用“真任務”來評價學生的學習

在學生明晰“倍”的概念之后追溯到開課的起點問題“分糖果”，猩猩和小猴之間是2倍的關系，那么分糖果也要按照2倍的關系來分，這樣才是公平合理的。學生利用所學習的“倍”的知識來解決實際的問題，這一環節設計一方面是回應本節課的情境設計，另一方面也是通過這樣一個真情境中的任務解決來對學生的學習效果進行評價。

以上，是注重過程的歸納教學在“倍的認識”一節課中的運用，通過實踐探索我們可以發現注重過程的歸納教學在進行關于數學概念的教學中具有重要的價值和意義。在實際操作中，首先要重視問題情境的創設，要讓兒童在問題解決中感知到數學概念學習的必要性；其次要開發有效的學習材料，讓兒童在類比中進行歸納和抽象；再次要設計有層次的學習任務，關注任務解決中兒童的操作體驗和對話省思；最后要設計真實的任務來對學生的學習結果進行評價。