廣義度量空間上(ψ，φ，φ(φ*))-弱收縮映射的重合點(diǎn)和公共不動點(diǎn)

樸勇杰

(延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

1 預(yù)備知識

2001年，Branciari[1]引進(jìn)了廣義度量空間的概念，將通常度量空間定義中的三角不等式用含3項而不是2項的不等式所代替.文中指出任何度量空間都是廣義度量空間，但是其逆不成立，并給出了Banach型不動點(diǎn)定理.自此，很多研究人員[2-10]在該空間上討論并得到了一些不動點(diǎn)和公共不動點(diǎn)存在定理.特別地，文獻(xiàn)[11]利用文獻(xiàn)[12]中引進(jìn)的(ψ，α，β)-弱收縮條件在廣義度量空間上討論了2個映射重合的點(diǎn)和公共不動點(diǎn)存在問題，文獻(xiàn)[13]也利用該收縮條件在偏序的G-度量空間上討論了相同的問題.

本文引進(jìn)4種實函數(shù)ψ，φ，φ，φ*和2個收縮條件，即(ψ，φ，φ)-弱收縮條件和(ψ，φ，φ*)-弱收縮條件，然后討論廣義度量空間上的2個映射重合的點(diǎn)和公共不動點(diǎn)存在問題.

定義1.1[1]設(shè)X是非空集合，d：X×X→[0，∞)是映射.如果對任何x，y∈X和任何不同于x和y的2個不同的u，v∈X使得下列關(guān)系成立：

(ⅰ)d(x，y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

(ⅱ) 對任何x，y∈X，d(x，y)=d(y，x)；

(ⅲ)d(x，y)≤d(x，u)+d(u，v)+d(v，y)(四角不等式).

則稱(X，d)是廣義度量空間(簡記為GMS).

定義1.2[1]設(shè)(X，d)是GMS，{xn}是X中的一個序列且x∈X.

(ⅰ) 稱{xn}是GMS收斂于x，如果d(xn，x)→0(當(dāng)n→∞時)，并記xn→x.

(ⅱ) 稱{xn}是GMS Cauchy序列，如果對任何>0，存在正整數(shù)N()使得對任何n>m>N()，d(xn，xm)<.

(ⅲ) 稱(X，d)是完備的GMS，如果每個GMS Cauchy序列都是GMS收斂的.

定義1.3[14]設(shè)X是非空集合，T，F(xiàn)：X→X是2個映射.如果當(dāng)Tx=Fx時,TFx=FTx，則稱T和F是弱相容的.

定義1.4[15-16]設(shè)X是非空集合，T，F(xiàn)：X→X是2個映射.如果存在u，x∈X使得u=Tx=Fx，則稱x是T和F的重合點(diǎn)，u是T和F的重合的點(diǎn).

定義1.5[17]設(shè)(X，?)是偏序集，T，F(xiàn)：X→X是2個映射.如果對任何x，y∈X，F(xiàn)x?Fy推出Tx?Ty，則稱T為F-單調(diào)遞增的.

定義1.6[18]設(shè)T是度量空間X上的自映射.稱T為序列收斂的是指X中任何序列{xn}，如果{Txn}收斂，則{xn}收斂.

引理1.1[15-16]設(shè)X是非空集合，T，F(xiàn)：X→X是弱相容的2個映射.如果u是T和F的唯一的重合的點(diǎn)，則u是T和F的唯一公共不動點(diǎn).

下面引進(jìn)4種實函數(shù)：

ψ∈Ψ，當(dāng)且僅當(dāng)ψ：[0，+∞)→[0，+∞)是連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)且滿足ψ(t)=0?t=0；

φ∈Φ，當(dāng)且僅當(dāng)φ：[0，+∞)→[0，+∞)是上半連續(xù)函數(shù)且滿足φ(0)=0；

2 GMS上的公共不動點(diǎn)

引理2.1設(shè){an}是非負(fù)實數(shù)列，ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ∈Φ.如果

ψ(an+1)≤φ(an)-φ(an，an)，?n∈N，

(1)

ψ(t)-φ(t)+φ(t，t)>0，?t>0，

(2)

引理2.2設(shè){an}是非負(fù)實數(shù)列，ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ*∈Φ*.如果

ψ(an+1)≤φ(an)-φ*(an+1，an)，?n∈N，

(3)

ψ(t)-φ(t)+φ*(t，t)>0，?t>0，

(4)

定理2.1設(shè)(X，d)是GMS，映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX，且TX或FX是完備的.如果對任何x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ(d(Fx，F(xiàn)y)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(5)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ和φ∈Φ滿足(2)式，則T和F有唯一重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果T和F是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

證明任取x0∈X，則根據(jù)TX?FX構(gòu)造2個序列{xn}和{yn}使得

yn=Txn=Fxn+1，n=0，1，2，….

(6)

任意固定j=1，2，…，取x=xn，y=xn+j，則根據(jù)(5)和(6)式得

ψ(d(yn，yn+j))=ψ(d(Txn，Txn+j))≤
φ(d(Fxn，F(xiàn)xn+j))-φ(d(Fxn，F(xiàn)xn+j)，d(Fxn，F(xiàn)xn+j))=
φ(d(yn-1，yn+j-1))-φ(d(yn-1，yn+j-1)，d(yn-1，yn+j-1)).

令an=d(yn，yn+j)，?n∈N.若存在aN=0，則從上式可知an=0，?n≥N.此時，可把{an}看做零數(shù)列，因此{(lán)yn}是柯西序列.于是不妨設(shè)an>0，?n∈N，根據(jù)引理2.1知

(7)

假設(shè){yn}不是GMS柯西序列，則存在>0使得對任何k∈N存在正整數(shù)nk，mk滿足nk>mk>k且

d(ynk，ymk)≥.

(8)

進(jìn)一步，相對于mk，可選取滿足上式的最小的nk，則成立

d(ynk-1，ymk)<.

(9)

由于an>0，?n∈N，及任意固定的j∈N，可知ynk≠ynk-2，ynk-2≠ynk-1，ynk-1≠ymk.于是根據(jù)定義1.1及(8)和(9)式得

≤d(ynk，ymk)≤d(ynk，ynk-2)+d(ynk-2，ynk-1)+d(ynk-1，ymk)≤
d(ynk，ynk-2)+d(ynk-2，ynk-1)+.

令k→∞，則結(jié)合(7)式(取j=1，2)得

(10)

另外，

d(ynk，ymk)≤d(ynk，ynk-1)+d(ynk-1，ymk-1)+d(ymk-1，ym-k)，

d(ynk-1，ymk-1)≤d(ynk-1，ynk)+d(ynk，ymk)+d(ymk，ymk-1).

在上面2個式子中令k→∞并利用(7)和(10)式得

(11)

取x=xnk，y=xmk，則(5)式變成

ψ(d(Txnk，Txmk))≤φ(d(Fxnk，F(xiàn)xmk))-φ(d(Fxnk，F(xiàn)xmk)，d(Fxnk，F(xiàn)xmk))，

即

ψ(d(ynk，ymk))≤φ(d(ynk-1，ymk-1))-φ(d(ynk-1，ymk-1)，d(ynk-1，ymk-1)).

令k→∞并利用(10)和(11)式，則由上式得

根據(jù)ψ，φ，φ的性質(zhì)有ψ()≤φ()-φ(ε，ε)，于是根據(jù)(2)式得到=0，矛盾.因此{(lán)yn}是GMS柯西序列.

假設(shè)TX是完備的.因為yn=Txn∈TX，因此存在w∈TX使得yn→w.又因為w∈TX?FX，因此存在y∈X使得w=Fy，即

(12)

因為

ψ(d(yn+1，Ty))=ψ(d(Txn+1，Ty))≤φ(d(Fxn+1，F(xiàn)y))-φ(d(Fxn+1，F(xiàn)y)，d(Fxn+1，F(xiàn)y))，

即

ψ(d(yn+1，Ty))≤φ(d(yn，w))-φ(d(yn，w)，d(yn，w))，

令n→∞，則由上式得

根據(jù)ψ，φ，φ的性質(zhì)及引理1.2得

ψ(d(w，Ty))≤φ(0)-φ(0，0)=0，

于是得到d(w，Ty)=0，因此Ty=w=Fy.類似地，可證明當(dāng)FX是完備時，仍成立Ty=w=Fy.這就證明了w是T和F的重合點(diǎn)，y是T和F的重合點(diǎn).

假設(shè)w1也是T和F的重合的點(diǎn)，則存在y1使得w1=Ty1=Fy1.根據(jù)(5)式，

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤
φ(d(Fy，F(xiàn)y1))-φ(d(Fy，F(xiàn)y1)，d(Fy，F(xiàn)y1))=φ(d(w，w1))-φ(d(w，w1)，d(w，w1)).

于是由(2)式知d(w，w1)=0，即w=w1，因此w是T和F的唯一重合的點(diǎn).最后，若T和F是弱相容的，則根據(jù)引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點(diǎn).

定理2.2設(shè)(X，d)是GMS，映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX且TX或FX是完備的.如果對任何x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(13)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*滿足(4)式，則T和F有唯一重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果T和F是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

證明考慮定理2.1中定義的2個序列{xn}和{yn}.任意固定j=1，2，…，且取x=xn，y=xn+j，則根據(jù)(6)和(13)式得

ψ(d(yn，yn+j))=ψ(d(Txn，Txn+j))≤
φ(d(Fxn，F(xiàn)xn+j))-φ*(d(Txn，Txn+j)，d(Fxn，F(xiàn)xn+j))=
φ(d(yn-1，yn+j-1))-φ*(d(yn，yn+j)，d(yn-1，yn+j-1)).

如果{yn}不是GMS柯西序列，則存在>0，使得對任何k∈N，存在正整數(shù)nk，mk滿足nk>mk>k，d(ynk，ymk)≥.進(jìn)一步，相對于mk，可選取滿足上式的最小的nk，則d(ynk-1，ymk)<.

重復(fù)(10)與(11)式的推理過程，可得

(14)

在(13)式中取x=xnk，y=xmk，則經(jīng)整理得

ψ(d(ynk，ymk))≤ψ(d(ynk-1，ymk-1))-φ*(d(ynk，ymk)，d(ynk-1，ymk-1)).

在上式中令k→∞，利用(14)式有

ψ()
()-φ*(，).

假設(shè)TX是完備的，則類似于定理2.1的證明，存在w∈TX和y∈X使得

根據(jù)(13)式，有

ψ(d(yn+1，Ty))=ψ(d(Txn+1，Ty))≤φ(d(Fxn+1，F(xiàn)y))-φ*(d(Txn+1，Ty)，d(Fxn+1，F(xiàn)y))，

即

ψ(d(yn+1，Ty))≤φ(d(yn，w))-φ*(d(yn+1，Ty)，d(yn，w)).

令n→∞，則由上式得到

根據(jù)ψ，φ，φ*的性質(zhì)及引理1.2得

0≤ψ(d(w，Ty))≤φ(d(w，w))-φ*(d(w，Ty)，d(w，w))=0-φ*(d(w，Ty)，0)，

因此必有ψ(d(w，Ty))=0.由ψ的性質(zhì)得到d(w，Ty)=0，于是Ty=w=Fy.同理可證當(dāng)FX完備時仍成立Fy=w=Fy.

如果w1也是T和F的重合的點(diǎn)，則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.根據(jù)(13)式，

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，F(xiàn)y1))-φ*(d(Ty，Ty1)，d(Fy，F(xiàn)y1))=
φ(d(w，w1))-φ*(d(w，w1)，d(w，w1)).

于是根據(jù)(4)式得d(w，w1)=0，即w=w1.這說明w是T和F的唯一重合的點(diǎn).最后，若T和F是弱相容的，則根據(jù)引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點(diǎn).

注2.1(1) 定理2.1和定理2.2中不要求φ(t)=0?t=0和φ(s，t)=0?s=t=0.這與文獻(xiàn)[11]中相應(yīng)定理中α，β的要求是不同的.

(2) 若定義β(t)=φ(t，t)，?t≥0，并用β代替定理2.1中的φ，則定理2.1變成文獻(xiàn)[11]中的定理1.因此定理2.1推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]中的定理1.

(3) 定理2.2是定理2.1的另一個表現(xiàn)形式，因此定理2.2同樣推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]中的定理1.

(4) 如果T=F或T和F中有一個是恒等映射，則T和F顯然是弱相容的.因此如果在定理2.1及定理2.2中取T=F或F=1X，則T有唯一不動點(diǎn)；如果取T=1X，則滿映射F有唯一不動點(diǎn).

3 偏序的GMS上的重合的點(diǎn)和公共不動點(diǎn)

記C(T，F(xiàn))為T和F的重合的點(diǎn)的集合.

定理3.1設(shè)(X，?)是偏序集且(X，d)是GMS，映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX，T是F-單調(diào)遞增的,且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x，y∈X，有

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ(d(Fx，F(xiàn)y)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(15)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ∈Φ滿足(2)式.假設(shè)X中任何單調(diào)遞增的序列{xn}收斂于x∈X時，xn?x，?n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0?Tx0，則T和F有重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果C(T，F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的，則T和F有唯一重合的點(diǎn).進(jìn)一步，若F和T又是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

證明由TX?FX可知，存在x1∈X滿足Fx0?Tx0=Fx1.根據(jù)T的F-單調(diào)遞增性得到Tx0?Tx1，因此Fx0?Tx0=Fx1?Tx1.又存在x2∈X滿足Tx1=Fx2，因此Fx1?Tx1=Fx2，再由T的F-單調(diào)遞增性得到Tx1?Tx2，于是得到Fx0?Tx0=Fx1?Tx1=Fx2?Tx2.重復(fù)此過程可得到2個序列{xn}和{yn}滿足yn=Txn=Fxn+1，n=0，1，2，…，且成立以下關(guān)系：

Fx0?Tx0=Fx1?Tx1=Fx2?Tx2?…?Txn-1=Fxn?Txn=Fxn+1?….

(16)

利用條件(15)和(16)式，并采用定理2.1的證明方法可證明{yn}是GMS柯西序列(只是在證明過程中把ynk和ymk的位置對換即可)且不論TX完備還是FX完備，總存在w，y∈X使得w=Fy∈FX且滿足

(17)

因為{yn}是單調(diào)遞增的且yn→w=Fy，因此Fxn=yn-1?w=Fy，?n∈N.于是根據(jù)(15)式，得

ψ(d(Txn，Ty))≤φ(d(Fxn，F(xiàn)y))-φ(d(Fxn，F(xiàn)y)，d(Fxn，F(xiàn)y))，

整理得

ψ(d(yn，Ty))≤φ(d(yn-1，F(xiàn)y))-φ(d(yn-1，F(xiàn)y)，d(yn-1，F(xiàn)y)).

令n→∞，則根據(jù)ψ，φ，φ的性質(zhì)及引理1.2，由上式得ψ(d(Fy，Ty))≤φ(d(Fy，F(xiàn)y))-φ(d(Fy，F(xiàn)y)，d(Fy，F(xiàn)y))=0，于是得到Fy=Ty=w，即w∈C(T，F(xiàn)).如果w1∈C(T，F(xiàn))，則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由條件可設(shè)w?w1，則Fy?Fy1，于是根據(jù)(15)式得

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，F(xiàn)y1))-φ(d(Fy，F(xiàn)y1)，d(Fy，F(xiàn)y1))=
φ(d(w，w1))-φ(d(w，w1)，d(w，w1))，

因此由(2)式得d(w，w1)=0，即成立w=w1.這說明w是T和F的唯一的重合的點(diǎn).如果F和T是弱相容的，則由引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點(diǎn).

定理3.2設(shè)(X，?)是偏序集且(X，d)是GMS，映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX，T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x，y∈X，得

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(18)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*滿足(4)式.假設(shè)X中任何單調(diào)遞增的序列{xn}收斂于x∈X時，xn?x，?n∈N.如果存在x0∈X使得Fx0?Tx0，則T和F有重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果C(T，F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的，則T和F有唯一重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果F和T又是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

證明類似定理3.1的證明過程可得到{xn}和{yn}滿足(16)和(17)式.因為{yn}是單調(diào)遞增的且yn(=Txn=Fxn+1)→w=Fy，因此Fxn=yn-1?w=Fy，?n∈N.于是根據(jù)(18)式，得

ψ(d(Txn，Ty))≤φ(d(Fxn，F(xiàn)y))-φ*(d(Txn，Ty)，d(Fxn，F(xiàn)y)).

令n→∞，得

根據(jù)ψ，φ，φ*的性質(zhì)及引理1.2整理得

0≤ψ(d(Fy，Ty))≤φ(d(Fy，F(xiàn)y))-φ*(d(Fy，Ty)，d(Fy，F(xiàn)y))=0-φ*(d(Fy，Ty)，0))，

于是必有ψ(d(Fy，Ty))=0.因此Ty=Fy=w，即w∈C(T，F(xiàn)).如果w1∈C(T，F(xiàn))，則存在y1∈X使得w1=Ty1=Fy1.由條件可設(shè)w?w1，則Fy?Fy1，于是根據(jù)(18)式得到

ψ(d(w，w1))=ψ(d(Ty，Ty1))≤φ(d(Fy，F(xiàn)y1))-φ*(d(Ty，Ty1)，d(Fy，F(xiàn)y1))=
φ(d(w，w1))-φ*(d(w，w1)，d(w，w1))，

由(4)式得d(w，w1)=0，即成立w=w1.這說明w是T和F的唯一的重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果F和T是弱相容的，則由引理1.1知w是T和F的唯一公共不動點(diǎn).

定理3.3設(shè)(X，?)是偏序集且(X，d)是GMS，連續(xù)映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX，T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x，y∈X，得

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ(d(Fx，F(xiàn)y)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(19)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ∈Φ滿足(2)式.如果T或F是序列收斂的且存在x0∈X使得Fx0?Tx0，則T和F有重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果C(T，F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的，則T和F有唯一重合的點(diǎn).如果F和T又是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

證明類似定理3.1證明過程，可得到2個序列{xn}和{yn}以及w∈X使得

當(dāng)T或F是序列收斂時，由于{yn}收斂，因此根據(jù)定義1.6知{xn}是收斂的.設(shè)xn收斂于x，則根據(jù)T和F的連續(xù)性得到

于是Tx=Ty=w，即w∈C(T，F(xiàn)).余下的證明與定理3.1的證明類似.

類似地，可給出定理3.2的連續(xù)映射條件下的表現(xiàn)形式：

定理3.4設(shè)(X，?)是偏序集且(X，d)是GMS，連續(xù)映射T，F(xiàn)：X→X滿足TX?FX，T是F-單調(diào)遞增的且TX或FX是完備的.如果對任何滿足Fx?Fy的x，y∈X，

ψ(d(Tx，Ty))≤φ(d(Fx，F(xiàn)y))-φ*(d(Tx，Ty)，d(Fx，F(xiàn)y))，

(20)

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，φ*∈Φ*滿足(4)式.如果T或F是序列收斂的且存在x0∈X使得Fx0?Tx0，則T和F有重合的點(diǎn).進(jìn)一步，如果C(T，F(xiàn))的任何2個元素都是可比較的，則T和F有唯一重合的點(diǎn).如果F和T又是弱相容的，則T和F有唯一公共不動點(diǎn).

注3.1(1) 類似于注2.1，如果在定理3.1—3.4中取T=F或F=1X，則T有唯一不動點(diǎn)；如果取T=1X，則滿映射F有唯一不動點(diǎn).

(2) 定理2.1—2.2及定理3.1—3.4中不需要X滿足Hausdorff條件，但是文獻(xiàn)[11]中的定理中都要求X具有Hausdorff性質(zhì).