雙向張弦梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)特性分析

徐蒙越 張 莉

（上海大學(xué)土木工程系，上海200444）

0 引 言

張弦梁結(jié)構(gòu)在近20 年內(nèi)發(fā)展迅速，是一類由上弦受壓彎剛性構(gòu)件，下弦受拉的柔性鋼索，中間連以受壓撐桿形成的混合結(jié)構(gòu)體系。該結(jié)構(gòu)受力合理，結(jié)構(gòu)效率高，因而受到了建筑師的青睞，在很多工程中得到了應(yīng)用，例如上海浦東國際機(jī)場候機(jī)樓［1］、廣州國際會(huì)展中心［2］、哈爾濱國際體育會(huì)展中心［3］等。這些結(jié)構(gòu)多采用多榀結(jié)構(gòu)尺寸相同的張弦梁平行布置成屋面結(jié)構(gòu)。

平面張弦梁結(jié)構(gòu)受力合理，在初始態(tài)與受荷態(tài)幾乎沒有水平支反力，是一種比較理想的結(jié)構(gòu)體系。該結(jié)構(gòu)目前應(yīng)用較多，富秋實(shí)提出了優(yōu)化后的分段平面張弦梁結(jié)構(gòu)［4］，性能更優(yōu)。但平面張弦梁結(jié)構(gòu)平面外剛度較差，為改善這一缺點(diǎn)，發(fā)展了雙向和多向張弦梁結(jié)構(gòu)［5-6］。

張志宏等［7］基于計(jì)算參考構(gòu)形，對(duì)平面張弦梁的計(jì)算分析理論等問題進(jìn)行了討論。劉開國［8］針對(duì)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)提出了一種基于連續(xù)化假定的簡化算法。目前雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析仍然缺乏較為精確的計(jì)算方法。而模態(tài)分析作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性研究的基礎(chǔ)，本文結(jié)合有限元算例對(duì)張弦梁結(jié)構(gòu)的自振模態(tài)特性進(jìn)行參數(shù)分析，研究了張弦梁結(jié)構(gòu)的基本模態(tài)特性。

1 結(jié)構(gòu)自振特性計(jì)算假定及步驟

1.1 計(jì)算假定

雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性計(jì)算采用以下基本假定：

（1）上弦所有節(jié)點(diǎn)均為剛接，梁單元為兩節(jié)點(diǎn)三維彈性梁；下弦所有節(jié)點(diǎn)均為鉸接，索單元為兩節(jié)點(diǎn)三維桿單元。

（2）結(jié)構(gòu)邊界為鉸接邊界，一端節(jié)點(diǎn)約束三個(gè)方向的位移，另一端則僅約束豎向位移。

（3）結(jié)構(gòu)始終處于彈性狀態(tài)。

（4）荷載作用簡化為等效節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，具體采用質(zhì)量單元法。

1.2 計(jì)算步驟

雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性有限元分析步驟如下：

（1）設(shè)定結(jié)構(gòu)零狀態(tài)坐標(biāo)，對(duì)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化建模，采用初應(yīng)變法將預(yù)應(yīng)力施加在下弦拉索上。

（2）打開大變形效應(yīng)與非線性效應(yīng)，進(jìn)行非線性有限元分析，求解結(jié)構(gòu)初始態(tài)。

（3）采用質(zhì)量單元法編制宏文件將面荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，并施加在初始態(tài)的模型相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上。

（4）采用Block Lanczos 法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，輸出結(jié)構(gòu)自振頻率及振型參與系數(shù)等結(jié)果。

2 張弦梁結(jié)構(gòu)自振特性

2.1 工程算例

算例為矩形雙向張弦梁結(jié)構(gòu)，模型如圖1 所示，平面為邊長40 m的正方形，上下弦曲面均為拋物面，矢跨比與垂跨比分別為1/25與1/20。上弦梁為300×600×8×15 的 方 鋼 管，彈 性 模 量E=2.1×1011N/m2；中間撐桿為φ120× 6 圓鋼管，彈性模量E=2.1×1011N/m2；下弦拉索均為φ5×55 鋼絲束，彈性模量E=1.9×1011N/m2。計(jì)算考慮自重作用，鋼材密度為7 850 kg/m3。上弦梁與撐桿選用Q345 鋼材；下弦索材料極限抗拉強(qiáng)度為1 770 N/mm2，設(shè)計(jì)安全系數(shù)為3，應(yīng)力限值［σ］=590 N/mm2。圖1 中邊界x=0與y=0節(jié)點(diǎn)約束三個(gè)方向的位移，另一端僅約束豎向位移，用以模擬實(shí)際工程中一端固定鉸支座另一端滑動(dòng)鉸支座［10］。采用初應(yīng)變法施加在全體下弦索單元上，預(yù)拉力P取值為300 kN，初應(yīng)變具體計(jì)算如下：

屋面恒荷載為0.5 kN/m2，活荷載為1.0 kN/m2，設(shè)計(jì)工況為1.2×全跨恒荷載+1.4×全跨活荷載。

圖1 模型簡圖Fig.1 Model sketch

2.2 分析結(jié)果

表1 為頻率與模態(tài)參與系數(shù)。表中小于10-4的量均認(rèn)為約等于零，rx，ry，rz依次為x，y，z 方向振型貢獻(xiàn)率，MFx，MFy，MFz依次為x，y，z方向累計(jì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)，ri為第i階振型貢獻(xiàn)率。

表1 結(jié)果表明，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的自振特性有以下特點(diǎn)：

（1）雙向張弦梁結(jié)構(gòu)以曲面水平方向振動(dòng)為主，觀察算例模型的前20 階振型，x 與y 方向模態(tài)質(zhì)量參與比例達(dá)70 %以上，z 向模態(tài)質(zhì)量參與比例僅11.13%。本文認(rèn)為算例模型的自振特性表現(xiàn)是受邊界條件影響的結(jié)果，即在雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的一端僅約束豎向位移，導(dǎo)致水平方向的模態(tài)質(zhì)量參與比率遠(yuǎn)高于z向的模態(tài)質(zhì)量參與比率。

（2）如表1 所示，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)基頻較高，說明該結(jié)構(gòu)具有較好的結(jié)構(gòu)剛度。振型分布較為稀疏，在一定范圍呈較小的臺(tái)階型分布，算例中第1 階與第2 階自振頻率差值為0.092 9 Hz，第9 階與10 階自振頻率差值為0.174 4 Hz，第15 階與第16 階自振頻率差值為0.086 9 Hz，第18 階與第19階自振頻率差值為0.075 Hz。同時(shí)算例的基本周期為0.044 s，也表明該結(jié)構(gòu)具有良好的結(jié)構(gòu)剛度。

表1 頻率與模態(tài)參與系數(shù)Table 1 Frequency and modal participation ratio

（3）由于邊界條件的緣故，振型表現(xiàn)沿y=x軸線呈正對(duì)稱與反對(duì)稱。前6 階振型中1、3、6 階振型呈反對(duì)稱，2、4、5 階振型呈正對(duì)稱，其中第5 階振型較為特殊，水平振型貢獻(xiàn)幾乎為0。同時(shí)也可以看出，模態(tài)擴(kuò)展階次的確定是一個(gè)重要環(huán)節(jié)。前20 階累計(jì)振型貢獻(xiàn)率為0.512 5，且x、y 與z 方向累計(jì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)均達(dá)到了99%以上。因此本文建議，利用反應(yīng)譜分析雙向張弦梁結(jié)構(gòu)抗震能力時(shí)，至少應(yīng)采用前17階振型。

為直觀計(jì)，圖2給出了算例模型前6階振型。

3 結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)分析

由無阻尼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程可得，結(jié)構(gòu)模態(tài)特性由結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度共同決定。而影響雙向張弦梁結(jié)構(gòu)剛度的因素主要有下弦拉索預(yù)應(yīng)力、上弦曲面矢跨比和下弦曲面垂跨比等。由于雙向張弦梁結(jié)構(gòu)是由三種不同受力性質(zhì)構(gòu)件組合而成的混合結(jié)構(gòu)，其剛度受到多種因素影響，結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)不同參數(shù)變化的敏感性也不盡相同。

圖2 1～6階振型圖Fig.2 The first 6 vibration modes

表2-表5給出了考慮大變形效應(yīng)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)模態(tài)特性隨各參數(shù)變化的計(jì)算結(jié)果。

表2 預(yù)應(yīng)力變化下的自振頻率Table 2 Natural frequency in the case of the variation of prestress

由表2 可見雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的低階自振頻率（1-5 階）隨預(yù)應(yīng)力的增大，略微增大，但增長的幅度很小；高階頻率（6-15 階）隨預(yù)應(yīng)力增大而明顯增大，但增大幅度隨預(yù)應(yīng)力增大而略有下降。表2 中所表示的預(yù)應(yīng)力為零狀態(tài)時(shí)施加的預(yù)應(yīng)力，經(jīng)過初始形態(tài)分析計(jì)算，此預(yù)應(yīng)力值明顯大于初始態(tài)下弦索的軸力?？紤]充分利用結(jié)構(gòu)的性能與初始形態(tài)上弦曲面位移限值，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)上弦一般選擇剛度大截面小的構(gòu)件，這也導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力對(duì)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率影響較小。

表3 矢跨比參數(shù)變化下的自振頻率Table 3 Natural frequency in the case of the variation of rise-span ratio

表3 與表4 分別為矢跨比與垂跨比參數(shù)變化下雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率數(shù)據(jù)。隨著矢跨比與垂跨比的增大，結(jié)構(gòu)自振頻率隨之減小，結(jié)構(gòu)剛度降低。表3 中矢跨比變化范圍為0/40～2/40，垂跨比變化范圍為1/40～3/40，相應(yīng)的自振頻率變化最大差值均出現(xiàn)在9 階，分別為1.652 與2.640，前15階平均值分別為0.864與1.148。數(shù)據(jù)表明相比于矢跨比參數(shù)變化，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率對(duì)垂跨比參數(shù)變化更為敏感。

表4 垂跨比參數(shù)變化下的自振頻率Table 4 Natural frequency in the case of the variation of sag-span ratio

表5 表明，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率隨節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的增大而減小，其中高階頻率的減小幅度明顯大于低階頻率的減小幅度。但對(duì)于相同階數(shù)的自振頻率，隨質(zhì)量增大，自振頻率減小幅度減小。

總體而言，節(jié)點(diǎn)質(zhì)量通過對(duì)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣的改變進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率產(chǎn)生影響，且敏感性最高。預(yù)應(yīng)力、矢跨比與垂跨比通過對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣的改變進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率產(chǎn)生影響，其中矢跨比與垂跨比參數(shù)影響較為顯著，預(yù)應(yīng)力參數(shù)的影響較弱。

4 結(jié) 論

通過本文中的上述分析，可以對(duì)雙向張弦梁結(jié)構(gòu)的自振特性得出以下結(jié)論：

表5 節(jié)點(diǎn)質(zhì)量變化下的自振頻率Table 5 Natural frequency in the case of the variation of structure mass

（1）雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率分布較為稀疏，存在部分階數(shù)的自振頻率十分接近的情況，基頻較高，自振周期較短，結(jié)構(gòu)具有良好的剛性。

（2）同時(shí)受到邊界條件的影響，振型以水平方向振動(dòng)為主，水平方向的模態(tài)質(zhì)量參與比率遠(yuǎn)高于豎向的模態(tài)質(zhì)量參與比率。

（3）參數(shù)敏感性方面，雙向張弦梁結(jié)構(gòu)自振頻率對(duì)于節(jié)點(diǎn)質(zhì)量參數(shù)敏感性最高，對(duì)于矢跨比與垂跨比參數(shù)敏感性一般，對(duì)于預(yù)應(yīng)力參數(shù)敏感性較低。