波形鋼腹板組合橋梁夾層梁模型

陳夏春 白植舟 姜瑞娟 區達光 陳德偉

（1.深圳市尚智工程技術咨詢有限公司，深圳518000；2.同濟大學橋梁工程系，上海200092；3.山東大學土木工程系，濟南50061；4.深圳市市政設計研究院有限公司，深圳518029；5.香港大學土木工程系，香港）

0 引 言

波形鋼腹板組合箱梁是一種新型橋梁結構（圖1和圖2），由混凝土頂底板與波形鋼腹板連接構成，通常設置橫隔板，以及體內與體外兩種預應力束。波形鋼腹板較傳統平鋼腹板有更高的抗屈曲能力，因此可以減小腹板的厚度，同時可以有效減少加勁肋的使用和相關焊接工作量，避免疲勞破壞，且有利于后期維護。波形鋼腹板厚度較傳統的平鋼腹板和混凝土腹板小，因此梁自重更小，從而使得橋梁跨度可以更大。由于顯著的“褶皺效應”，波形鋼腹板的軸向剛度很小，因此預應力可以更有效地施加在混凝土頂底板上，防止其開裂，提高了預應力效率。傳統組合橋梁在負彎矩區較容易出現混凝土受拉開裂的問題［1-2］，采用軸向剛度忽略不計的波形鋼腹板可很大程度上解決這個問題。近三十余年，波形鋼腹板組合橋梁在法國、日本、德國、韓國、中國等國家得到廣泛地推廣和應用。

圖1 波形鋼腹板組合橋梁構造Fig.1 A prestressed concrete bridge with corrugated steel webs

國內外眾多學者已經對波形鋼腹板組合橋梁的受彎性能開展了較廣泛的理論與試驗研究，取得了許多有價值的研究成果。

由于波形鋼腹板剪切剛度小及軸向剛度可以忽略不計的特點，平截面假定對于該類橋梁不適用。因此，傳統的歐拉梁和鐵木辛柯梁理論可能不適用于該類橋梁［3-5］。為了模擬該類橋梁的彎曲與剪切性能，Kato等［6］假設所有的剪力由波形鋼腹板承擔，彎矩全部由混凝土頂底板承擔，將撓度和腹板轉角作為獨立的位移變量，但低估了頂底板承擔的剪力。應用變分原理，Machimdamrong等［3-4］推導出了一種梁理論（稱為G3 理論），將撓度、頂底板轉角、腹板轉角作為三個獨立的位移變量。吳文清等［7］提出“擬平截面假定”，簡化計算，以便進行設計。聶建國等［5］未采用平截面假定，而是將彎曲行為分解為桁架作用和彎曲作用進行分析計算。國內的其他學者也做了大量的彎曲及剪切研究工作，例如蘇儉［8］、李立峰［9］、賀君［10］、冀偉［11］、張鴻［12］、武海鵬［13］等學者。

圖2 波形鋼腹板組合橋梁截面與腹板波形Fig.2 Cross section configuration of bridge

在設計中，通常假設所有的剪力僅由波形鋼腹板承擔［14］。但是，該假設仍然存在爭議。基于對波形鋼腹板組合橋梁縮尺模型的試驗和有限元分析，Shiratani 等［15］發現懸臂梁波形鋼腹板承擔的剪力在梁體支撐端附近明顯減小，但是懸臂梁截面和作用在組合截面的總剪力沿梁長是不變的。試驗結果表明支撐端波形鋼腹板承擔的剪力比率在混凝土頂底板開裂前約為35%。隨著荷載增加和裂縫的發展，在波形腹板屈服前該比率也只增加至約45%。但是試件在離支撐端2 m 位置處，波形鋼腹板承擔的剪力比率在混凝土頂底板開裂前約為72%，并隨著荷載增加和裂縫發展，在波形腹板屈服前該比率增加至約88%。Kadotani等［16］通過試驗研究了組合截面混凝土頂底板與波形鋼腹板之間剪力承擔比率沿梁長方向的分布。一個簡支梁試件靜載的試驗結果表明，整體上來說波形鋼腹板承擔的剪力比率約為65%，然而在跨中集中荷載附近這一比率降低至僅約35%。

雖然國內外眾多學者對波形鋼腹板梁的彎曲和剪切性能已取得豐碩的成果，但對于剪力在組合截面混凝土頂底板與波形鋼腹板之間的分配比例的研究還不足，仍存在明顯分歧。其原因是目前尚缺乏完整的梁理論模型分析混凝土頂底板局部彎曲與波形鋼腹板耦合作用的影響，以及橫隔板的作用。因此，本文考慮混凝土頂底板的局部彎曲，以及該局部彎曲與波形鋼腹板剪切變形的耦合作用，建立了一個適用于該類橋梁的夾層梁理論模型。該模型亦同時考慮橫隔板的作用；并基于提出的夾層梁模型，進一步提出了一種有限元梁單元，方便進行實際工程設計計算；最后通過試驗的方法對建立的夾層梁理論模型進行了驗證。

1 夾層梁模型

傳統夾層梁模型（sandwich beam model）很早應用在航空航天和船舶領域［17］。波形鋼腹板組合橋梁與這些領域的夾層梁（圖3）受力特征非常類似。夾層梁主要由剛性上面層、剛性下面層及中間輕質芯材層構成。該類橋梁的波形腹板和夾層梁中間輕質芯材層的軸向剛度都可忽略不計，主要承受剪力；該類橋梁的混凝土頂底板和夾層梁上下面層主要承受彎矩。不過，兩者仍存在一些小的差別。該類橋梁的腹板很薄，然而夾層梁的中間輕質芯材層沿寬度方向均勻分布。另外，該類橋梁會設置一定數量的橫隔板。因此，需要對航空航天和船舶領域的傳統夾層梁理論模型進行一些修改，以應用到該類橋梁。

圖3 傳統夾層梁結構Fig.3 A simple sandwich beam structure

1.1 梁段控制方程

波形鋼腹板組合梁的梁段變形如圖4 所示，混凝土頂底板的縱向應變εf為

式中：u 為梁截面形心軸的縱向位移；ef為頂板或底板自身形心軸的z軸坐標值；φ為截面轉角；v為梁撓度值。

由圖4 可知，波形鋼腹板剪應變γw可以表示為

式中：β=h/hw；h 為頂底板自身形心軸之間的距離；hw為腹板高度（圖2）。

根據豎向力平衡可以得到

式中：V為截面上的總剪力；q為豎向分布力。

圖4 梁節段變形Fig.4 Deformation of a beam segment

作用在截面上的總剪力由兩部分構成：①頂底板承擔的與頂底板繞各自形心軸局部彎曲相對應的剪力，即式（4）右側第一項；②組合截面承擔的與繞組合截面形心軸整體彎曲相對應的剪力，此時假設頂底板不發生繞各自形心軸的局部彎曲，即式（4）右側第二項。

式中：Bf為頂底板相對于自身形心軸的局部彎曲剛度；為波形鋼腹板的剪切剛度；Gw為腹板鋼材剪切模量；bw為腹板總厚度；s及s0分別為波形腹板半波范圍的實際與投影長度（圖2（b））。

根據彎矩平衡條件，可以得到

作用在截面上的總彎矩M 可以通過對截面上的正應力進行積分得到，即

式中，Bg為圍繞組合截面形心的整體彎曲剛度，此時假設頂底板不發生繞各自形心軸的局部彎曲（即應變沿頂底板厚度方向不變）。

式（6）右側第一項為繞整個截面形心的整體彎矩，即Mg=Bg(?φ/?x)；第二項為頂底板圍繞各自形心軸的局部彎矩之和Mloc，即Mloc=-Bf(?2v/?x2)。

將式（4）及式（6）代入式（3）及式（5），并進行重新整理后可得到

由上述兩式消去參數φ 及其導數，可以得到由撓度v及其導數表達的梁段微分控制方程

式中，α2=

以上控制方程與學者Mead 和Markus［18］推導的傳統夾層梁模型基本一致，但是截面特性的表達式不同。式（8）左側第一個方括號內的項為不考慮剪切變形的梁體彎曲最基本情況，即歐拉梁理論。其第二個括號內的項由剪切變形引起。當腹板剪切剛度很大時，該項就可忽略不計。聯合第一個與第二個方括號內的項即為鐵木辛柯梁理論。第三個方括號內的項由混凝土頂底板局部彎曲與腹板剪切變形的耦合作用引起。當腹板剪切剛度無窮大時，該項也可忽略不計。參數α 為衡量上述耦合作用的關鍵參數，其為組合截面等效剪切剛度（B/Bg）β2Sw與頂底板局部彎曲剛度Bf比值的平方根。參數α越小，該耦合作用越顯著。

以一個波形鋼腹板組合簡支梁為例，在跨中集中力作用下其剪切變形如圖5 所示。假設忽略混凝土頂底板的局部彎曲，在集中力附近出現變形不協調，如圖5（a）所示。實際上，在集中力作用處，混凝土頂底板不可能出現無窮大的曲率，而是發生連續光滑的局部彎曲，如圖5（a）的粗虛線所示，從而引起混凝土局部彎曲與波形鋼腹板剪切變形的耦合，最終的整體剪切變形如圖5（b）所示。

圖5 波形鋼腹板組合簡支梁在跨中集中力作用下的剪切變形Fig.5 Shear deflection of a simply supported bridge under a point load at mid span

實際上，當剪力沿跨徑方向變化時，都會發生上述耦合作用，例如均布荷載作用工況。但是，在均布荷載作用下，剪力變化連續，耦合作用不顯著。

1.2 橫隔板作用

該類橋梁通常設置橫隔板。因為波形鋼腹板的軸向剛度很小，同時其剪切變形又比較顯著，因此橫隔板會通過約束波形腹板的剪切變形及頂底板的相對位移對結構的受力性能產生顯著的影響，如圖6所示。

圖6 橫隔板附近剪切變形Fig.6 Shear deformation in the vicinity of a diaphragm

橫隔板將梁分成一個個梁段。在每個橫隔板位置處，梁段都必須滿足力的平衡和變形協調條件。假設橫隔板與頂底板和腹板均連接。由于橫隔板的作用，在橫隔板鄰近區域波形鋼腹板發生扭曲，剪切變形沿腹板高度不再一致。原來位于同一平面上的腹板截面a-c-b 扭曲成曲面a*-c-b*。同時與橫隔板相連接的頂底板位置發生相對位移Δd。在橫隔板位置處的變形協調條件可以表示為

在橫隔板位置處的力的平衡條件可以表示為

或

式中，Kd為橫隔板約束頂底板相對位移的剛度。

聯立變形協調條件方程式（9）與力的平衡方程（11），得到橫隔板位移需要滿足的附加條件為

如果橫隔板與腹板不連接，式（12）也同樣適用。

如果橫隔板很厚，可以將橫隔板當作一個沿橋跨徑方向的梁段。

在本質上，橫隔板的作用是頂底板局部彎曲與腹板剪切變形耦合作用的一種特例。

2 有限元梁單元

為了方便進行實際工程設計計算，本文基于建立的夾層梁模型，提出一種有限元梁單元。

2.1 梁單元

提出的三節點梁單元（C1階連續）如圖7所示。

該三節點梁單元的位移向量d 由梁軸心縱向位移u、撓度v 以及轉角φ 組成，分別采用線性、三次Hermite以及二次多項式插值函數，即

式中：梁單元節點位移向量

圖7 三節點C1梁單元Fig.7 A C1 three-node beam finite element

di={ui-1vi-1v′i-1φi-1φibuiviv′iφi}T；形函數矩陣N包含子形函數矩陣Nu、Nv及Nφ；Nu1=1-ξ；Nu2=ξ；Nv1=1-3ξ2+2ξ3；Nv2=(ξ-2ξ2+ξ3)Li；Nv3=3ξ2-2ξ3；Nv4=(-ξ2+ξ3)Li；Nφ1=1-3ξ+2ξ2；Nφ2=4ξ-4ξ2；Nφ3=-ξ+2ξ2；(0≤ξ ≤1)；以及Li為第i 個單元的長度。

第i個單元的應變能Uib為

將式（13）中各變量的表達式代入式（14）可以得到

式中：kia為單元的軸向剛度矩陣；kib為單元的彎曲剛度矩陣；kis為單元的剪切剛度矩陣；ki為單元的總剛度矩陣，即ki=kia+kib+kis。

這些剛度矩陣的表達式為

2.2 橫隔板作用的模擬

在劃分梁單元時，在橫隔板位置布置為端節點。第k 個橫隔板的作用可以用一對值為Kdhwβ(φ+v′)h的內力偶（見式（12））模擬，其引起的應變能Udia，k為

式中，xk為第k 個橫隔板位于x 軸方向的位置；dk為端節點的位移向量；kdia，k為由第k個橫隔板提供的附加剛度，其可以表示為

如果橫隔板較厚，也可以將橫隔板當作沿橋縱向的梁單元，并將實心截面劃分成虛擬的頂底板與腹板，并計算它們的彎曲及剪切剛度等截面特性，以保證與夾層梁單元連接時的協調相容。

2.3 結構體系的模擬

由梁體與橫隔板組成的整個結構體系的總勢能為

式中：Ub為梁體的總應變能；Udia為橫隔板引起的總應變能；WE為外力作用f的勢能，其表達式為

式中，外力作用f包含軸向分布力p 以及橫向分布力q，即f =[p q 0]T以及

根據最小勢能原理，可以得到

根據常規的有限元方法推導步驟，可以得到有限元的公式為

3 試驗驗證

本部分通過試驗對所提出的夾層梁理論進行驗證。其中的3 個試件A-1、B-1 及B-2 分別如圖8-圖10 所示。試件A-1 總長4 700 mm，跨徑4 500 mm，高300mm，波形鋼腹板厚5 mm。試件B-1及B-2總長3 800 mm，跨徑3 600 mm，高360 mm，波形鋼腹板厚5 mm。波形鋼腹板與混凝土頂底板之間采用埋入式連接件。

每個試件均施加兩根直徑12.7 mm 的體外預應力鋼絞線。試件A-1 預應力筋采用折線形布置，鋼絞線錨固于端橫隔板中心線位置，在中橫隔板位置的轉向孔距梁底70 mm。試件B-1 預應力筋采用直線形布置，預應力鋼絞線錨固于端橫隔板距梁底110 mm 處。試件B-2 預應力筋采用折線形布置，鋼絞線錨固于端橫隔板中心線位置，在中橫隔板位置的轉向孔距梁底100 mm。施加在試件A-1、B-1及B-2的有效總預應力分別為191 kN、268 kN及252 kN。

圖8 試件A-1Fig.8 Configuration of Specimen A-1

圖9 試件B-1Fig.9 Configuration of Specimen B-1

圖10 試件B-2Fig.10 Configuration of Specimen B-2

試件的材料特性如表1、表2所示。

表1 試件混凝土材料性能Table 1 Material properties of concrete from tests（MPa）

表2 試件鋼筋、預應力筋及波形腹板材料性能Table 2 Material properties of steel reinforcing bar，prestresing steel，and steel web from tests (MPa)

分別對試件A-1、B-1、B-2 進行靜力加載試驗，如圖11所示。

圖11 靜力加載Fig.11 Static loading test

試驗結果如圖12—圖16所示，并與建立的夾層（Sandwich）梁理論、傳統的鐵木辛柯（Timoshenko）梁理論、及歐拉（Euler）梁理論結果進行比較。如圖12 所示，應用鐵木辛柯梁理論得到的撓度大于試驗值，因為該理論未考慮頂底板局部彎曲與腹板剪切變形的耦合作用以及橫隔板作用；應用歐拉梁理論得到的撓度小于試驗值，因為其未考慮剪切變形。如圖13 所示，由于上述耦合和橫隔板作用，波形鋼腹板的剪應力在橫隔板與集中力位置附近急劇地減小，相對應的混凝土頂底板承擔的剪力在這些位置急劇地增加。如圖14—圖16 所示，在橫隔板及集中力附近正應力沿截面高度線性分布的假定不適用，例如試件A-1的截面A 與C，試件B-1 與B-2 的截面A 與C。而在遠離橫隔板及集中力的位置，正應力沿截面高度線性分布的假定是適用的，例如試件A-1 的截面B 與E，試件B-1 與B-2 的截面B。夾層梁理論結果與試驗結果基本吻合，驗證了所提出的夾層梁理論模型的可靠性。

圖12 試件撓度Fig.12 Deflection of specimens tested

理論與試驗結果存在細微差異的主要原因可能是理論推導過程中采用了以下假設：①混凝土頂底板與波形腹板的連接是理想的，無滑移；②混凝土頂底板的剪切變形可忽略不計；③波形鋼腹板沿橋縱向的軸向剛度可忽略不計。因此，在使用該理論進行分析計算時，需要注意以下對應的應用條件：①若結構可能發生明顯剪切滑移，則須根據剪力連接件的類型引入合適的剪切-滑移關系；②梁跨徑與混凝土翼板厚度的比值宜大于10；③實際工程中，波形鋼腹板沿橋縱向的軸向剛度通常可忽略不計。如果波形鋼腹板的波形參數比較特殊，須核算其軸向剛度是否可以忽略（小于相同厚度平鋼腹板軸向剛度的1%可忽略不計）［19-20］。

當結構處于彈性階段，夾層梁理論的假設都基本成立，引起的誤差可以忽略。在實際工程設計時，可以應用該理論驗算結構正常使用極限狀態的應力與變形。該理論也可以清晰地計算出組合截面的混凝土翼板與波形鋼腹板各自承擔的剪力比例，以便進行承載能力極限狀態下抗剪強度的驗算。當結構處于塑性狀態，為了準確計算該類橋梁的抗彎承載力，還需要基于推導的夾層梁理論，進一步引入材料非線性本構關系、剪切-滑移關系、幾何非線性方程、體外預應力與梁體耦合作用方程等。

4 結 論

圖13 腹板中間高度位置剪應力Fig.13 Shear stresses at mid-height of the web

圖14 試件A-1截面正應力（加載至50.2 kN時）Fig.14 Normal stress distribution of Specimen A-1（loading 50.2 kN）

本文提出了一種適用于波形鋼腹板組合橋梁的夾層梁理論模型，以分析該類橋梁的彎曲與剪切性能。該模型考慮了混凝土頂底板局部彎曲與波形腹板剪切變形的耦合作用以及橫隔板作用。應用試驗驗證了該理論模型的可靠性。研究表明總體上正應力沿截面高度線性分布的假設對于該類橋梁是成立的，但是由于頂底板局部彎曲與波形腹板剪切變形的耦合及橫隔板作用，在集中力與橫隔板附近的混凝土頂底板會出現顯著的剪應力與正應力集中，并導致正應力沿截面高度線性分布的假設局部不成立。由于上述耦合和橫隔板作用，波形鋼腹板承擔剪力的比例在集中力與橫隔板附近急劇地減小，相對應地混凝土頂底板承擔剪力的比例在這些位置急劇地增加。

在設計該類橋梁時，需要注意在集中力位置（例如支撐位置）及橫隔板位置附近的混凝土頂底板內應力集中的問題，建議通過設置加腋減輕上述應力集中。

圖15 試件B-1截面正應力（加載至60.4 kN時）Fig.15 Normal stress distribution of Specimen B-1（loading 60.4 kN）

圖16 試件B-2截面正應力（加載至70 kN時）Fig.16 Normal stress distribution of Specimen B-2（loading to 70 kN）