設置支撐的廣義Maxwell阻尼耗能系統非均勻非平穩地震響應分析

李創第 王博文 昌明靜

（廣西科技大學土木建筑工程學院，柳州545006）

0 引 言

地震整個過程，一般都是非平穩隨機過程［1］，具有頻率和強度的非平穩隨機特性［1］，目前地震的非平穩隨機響應分析大多受限于均勻調制隨機激勵情形，非均勻非平穩激勵的研究正日益受到國際學術界與工程界的高度重視［2-4］。因此，研究非均勻非平穩隨機地震響應分析具有十分重要的實際意義。平穩激勵是研究非均勻非平穩隨機地震的基礎，其激勵模型主要有白噪聲激勵模型［5］、Kanai-Tajimi 模型［6］、Clough-Penzien 模型［7］、胡聿賢模型［8］等，其中Kanai-Tajimi 地震激勵模型具有符合地震動特點和表達式相對簡單的特點而受到廣大科研人員的研究［9］。

減震工程中，為減小結構體系的地震動響應，通常采用增加結構阻尼的方法，其中黏彈性阻尼裝置可以有效提供阻尼被廣泛采用［10］。描述黏彈性阻尼器的力學模型主要有Maxwell［11］、GHM［11］、分數導數［11］、Kelvin［11］等，以Maxwell 模型基礎可擴展為擬合精度較高的廣義Maxwell 阻尼器模型，對于工程上實際應用的線性流體黏彈性阻尼器和線性固體黏彈性阻尼器，其本構關系均可用參數足夠多的廣義Maxwell 模型精確表示，且廣義Maxwell 模型對流體和固體黏彈性阻尼器本構關系的實驗數據擬合精度均優于分數導數模型和Shen and Soong 模型。因此采用廣義Maxwell模型分析黏彈性耗能結構的動力性能具有較好的工程應用價值。

在實際工程中，阻尼器需要與支撐串聯安裝［12］，我國《建筑抗震設計規范》［13］通過限制支撐的最小剛度，以確保支撐與阻尼器串聯系統發揮或接近純阻尼器的功效，故耗能系統響應分析要考慮支撐的影響［14］。由于地震的非平穩隨機特性，地震發生會首先引起支撐、阻尼器等結構保護系統的破壞，進而導致結構體系的損傷甚至毀滅，目前相關規范明確要求耗能減震系統構件在結構設計基準期內應具備足夠的變形、耗能能力和良好的抗震動力可靠度［13-14］，故結構及結構保護系統響應方法的建立，對于分析抗震動力可靠度和抗震設計方法的建立具有重要價值。

針對結構響應的功率譜密度計算方法，林家浩提出了高效的虛擬激勵法，將非平穩振動分析轉化為簡諧振動分析和確定性時間歷程分析，在計算步驟簡化的基礎上仍保持理論上的高度精確性［15］。該方法被廣泛應用于結構動力響應、風工程、海洋工程、偏微分方程的求解等眾多領域［16］，但是目前關于設置支撐的黏彈性阻尼器耗能減震結構基于虛擬激勵法的非平穩響應分析尚未建立。

鐘萬勰提出的精細積分法，對于計算機求解指數矩陣的精度有顯著的提高，能有效降低因精細劃分所引起的誤差［17］；這種積分方法雖然不是提供解析解公式，但其數值計算結果卻是高度準確的［18］。目前林家浩提出了簡諧、多項式簡諧、指數簡諧型精細積分格式，已應用于無阻尼器結構的均勻非平穩隨機響應高效分析［19］，但僅對于特定形式的激勵效率較高，對于較一般的均勻與非均勻調制型非平穩隨機地震激勵具有一定的局限性。

本文為建立黏彈性耗能結構及其保護系統的抗震分析與設計方法，對設置支撐的廣義Maxwell阻尼耗能系統隨機地震響應的數值分析方法進行了系統研究。首先，采用設置支撐的廣義Maxwell阻尼耗能系統進行建模；然后，基于高效的虛擬激勵法，獲得了非均勻的精細積分較一般精確格式，最后解出廣義Maxwell 阻尼耗能系統的均勻與非均勻非平穩地震響應方差，通過算例驗證本文方法的正確性，為黏彈性阻尼耗能系統在非均勻非平穩地震激勵下的響應分析提供了方法。

1 結構運動方程

1.1 廣義Maxwell阻尼器模型的本構關系

設廣義Maxwell阻尼器受力為PQ(t)，如圖1所示，其中標準Maxwell 阻尼器單元的個數為n，阻尼器的平衡剛度為k0，阻尼器第i個阻尼單元的剛度和阻尼分別為ki和ci，阻尼器相對于地面位移為xQ。

圖1 廣義Maxwell阻尼器模型Fig.1 General Maxwell damper model

那么阻尼器受力可表示為［10］：

式中：

Pi(t)、hQi(t)、μi分別為阻尼器第i 個阻尼單元的阻尼力、松弛函數、松弛時間倒數。

由式（2）和式（3），可得：

1.2 支撐與阻尼器的關系

工程實際中阻尼器一般與支撐串聯安裝，以產生更好的減震效果，如圖2 所示，支撐剛度為kb，支撐相對于地面位移為xb，結構相對于地面位移為x。

圖2 設置支撐的廣義Maxwell阻尼器模型Fig.2 General Maxwell damper model with support

那么支撐位移xb與結構位移x、阻尼器位移xQ之間的關系為

設支撐的受力為Pb(t)，由于串聯安裝故支撐受力與阻尼器受力PQ(t)相同，即

1.3 結構運動方程的建立

如圖3 所示，設單自由度設置支撐的廣義Maxwell 阻尼減震系統質量、剛度、阻尼分別為m、k、c，在地震動激勵作用下，結構運動方程可表示為

圖3 結構模型Fig.3 Model of structure

將式（5）代入式（6），同時考慮式（1）、式（7）和式（6），可以寫為

將式（9）分別代入式（8）和式（4），最終可得：

式中：

1.4 擴階方程的建立

令

式（13）、式（10）和式（11）以擴階的形式表示為

式中：

寫成矩陣形式為

式中：

2 非平穩隨機地震響應分析的虛擬激勵法

2.1 非均勻非平穩地震激勵模型

2.2 非均勻非平穩地震響應分析的虛擬激勵法

根據虛擬激勵法原理［15］將式（1）中替換為可得：

式（19）可改寫為

對于多自由度耗能結構體系同樣也可化為上式，同樣可得多自由度耗能結構體系響應解析解。

式中：

式（27）的通解為齊次解與特解之和，即

式中：積分步長t ∈[tk，tk+1]，τ=t-tk；關于指數矩陣T(τ)的精細計算，詳見文獻［19］。

3 非均勻精細積分較一般精確格式

假定在積分步長t ∈[tk，tk+1]內荷載按較一般規律變化，則由式（25）和歐拉公式可得：

式中：

將式（30）代入方程式（27），可得方程的特解Zp(ω，t)為

式中：

令t=tk+1代入式（29）就得到積分步長終點處的狀態：

將式（33）代入式（38）即得精細積分較一般精確格式：

由式（22）和式（39），可以得到地震激勵x¨g的響應為z(ω，t)，那么該響應的自譜密度及方差可表示為

式中，*表示復共軛。

綜上步驟，設置支撐的廣義Maxwell 阻尼耗能結構的位移、速度，阻尼器受力等非均勻非平穩地震響應均可得到。

4 算 例

如圖4 所示，設置支撐的五參數Maxwell 阻尼器單自由度減震系統，其結構的基本參數為：質量m=42 500 kg，剛度k=145.43×105N/m，阻尼比s0分別取0.02、0.04、0.08、0.20。Maxwell阻尼器的基本參數為：平衡剛度k0=0.36×105N/m，支撐剛度kb=1.5k，Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m；k2=6.87×105N/m，c2=2.15×105N·s/m。

圖4 結構計算簡圖Fig.4 Structure calculation diagram

其計算取值為：ωf=19 rad/s，ξf=0.65；S0=0.015 54 m2/s3。

調幅函數分別取為Shinozuka-Sato 型［20］均勻調幅和Spanos-Solomos 型［21］非均勻調幅，計算參數分別取為

首先，運用本文方法得到Shinozuka-Sato 型均勻調制非平穩地震激勵作用下結構響應方差；然后，與精確解［22］進行對比，驗證本文方法的正確性與可行性，如圖5-圖10所示；最后，進一步應用到Spanos-Solomos 型非均勻調制非平穩地震激勵作用下結構響應方差，如圖11-圖13 所示。可以看出：在非平穩激勵下，結構的位移、速度和阻尼器受力均具有峰值效應，表現出明顯的非平穩隨機特性，符合工程實際。

圖5 位移響應方差Fig.5 Displacement response variance

圖6 速度響應方差Fig.6 Speed response variance

圖7 阻尼器受力響應方差Fig.7 Stress response variance of damper

圖8 位移響應方差Fig.8 Displacement response variance

圖9 速度響應方差Fig.9 Speed response variance

圖10 阻尼器受力響應方差Fig.10 Stress response variance of damper

圖11 位移響應方差Fig.11 Displacement response variance

圖12 速度響應方差Fig.12 Speed response variance

圖13 阻尼器受力響應方差Fig.13 Stress response variance of damper

為了研究阻尼比對結構響應的影響，s0分別取0.02、0.04、0.08、0.20。阻尼比對結構響應的影響較大，在兩類非平穩激勵下，三種響應如圖5-圖7和11-圖13所示。阻尼比越大，響應越早達到峰值，結構的位移、速度和阻尼器受力響應方差均越小。

為了研究支撐剛度對結構響應的影響，結構基本參數不變，而rb分別為0.5、1.2、10、∞，支撐剛度kb=rbk，rb為支撐剛度與結構剛度的比值，阻尼比取s0=0.1，在兩類非平穩激勵下，三種響應如圖8-圖10 和14-圖16 所示。支撐剛度對結構響應影響較大，響應峰值發生時間不隨支撐剛度變化而變化，支撐剛度越大，結構的位移、速度響應方差越小，阻尼器受力響應方差越大。

為確保阻尼器取得較好的減震效果，支撐剛度應取kb≥10k，此時可按kb=∞情況下進行近似計算；對于kb較小的情況，不能按kb=∞情況進行近似計算，應按kb的實際剛度進行計算，否則將會導致錯誤結果。

5 結 論

圖14 位移響應方差Fig.14 Displacement response variance

圖15 速度響應方差Fig.15 Speed response variance

圖16 阻尼器受力響應方差Fig.16 Stress response variance of damper

（1）為建立黏彈性耗能結構及其保護系統的抗震分析與設計方法，本文將虛擬激勵法引入黏彈性耗能阻尼系統，獲得了非均勻精細積分較一般精確格式，得到了廣義Maxwell 阻尼耗能系統的均勻與非均勻非平穩地震響應方差。

（2）通過算例，驗證了本文方法的正確性與可行性，該方法適應于設置支撐的廣義Maxwell阻尼系統的非均勻非平穩響應分析，可直接應用于黏彈性阻尼耗能系統響應分析。

（3）支撐剛度對黏彈性耗能系統有重要影響，在支撐剛度較耗能系統剛度很大情況下，支撐剛度對耗能系統響應的影響效果不再增加，一般情況下，應考慮有限支撐剛度對耗能系統響應的影響。

（4）盡管本文研究對象是單自由度結構系統，但對于多自由度耗能結構體系也可化為文中式（27）的形式，因此該方法同樣可應用于多自由度設置支撐的廣義Maxwell 阻尼耗能系統非均勻非平穩地震響應分析，為非均勻非平穩地震激勵下結構系統及各減震構件的響應分析和抗震動力可靠度分析提供了參考。