纖維金屬層板層間應力理論模型及實驗驗證

趙國慶，湛利華，吳欣桐，關成龍，戴光明

（1.中南大學機電工程學院，長沙410083；2.中南大學輕合金研究院，長沙410083）

纖維金屬層板是由纖維增強復合材料和金屬薄板交替鋪層后經一定的溫度和壓力環(huán)境作用固化成型的一類新型超混合復合材料［1?3］。制件在成型時處于一個溫度和壓力隨時間變化的過程中。由于在任一方向上組分材料的熱膨脹系數(shù)和模量都有差異，當異質界面形成后，這種差異會通過界面對纖維復合材料和金屬層發(fā)生作用，從而在制件的層間產生層間應力［4］。此外，纖維金屬層板的纖維橋接作用，雖然降低了裂紋擴展的速率，但又使其在界面處產生層間剪切應力從而使得層板出現(xiàn)分層擴展［5?9］。若由于組分材料的差異、制件所處服役環(huán)境以及其他元素的綜合作用使得最大層間應力超過臨界值，纖維金屬層板可能會出現(xiàn)分層，開裂或剝離等危險狀況導致重大事故，危及人生和財產安全。因此，必須要開展對纖維金屬層板層間應力狀態(tài)的理論研究，揭示纖維金屬層板層間應力的分布規(guī)律。

現(xiàn)有研究中，瞿爾仁等［10］對纖維增強復合材料（Fiber reinforced polymer，F(xiàn)RP）加固混凝土梁的層間應力進行了分析，建立了其彈塑性方程。劉祖華和朱伯龍［11］研究了3 種載荷下粘鋼加固混凝土梁的層間應力，并給出了解析解。鄧軍和黃培彥［12］研究了碳纖維增強復合材料（Carbon fibre?re?inforced polymer，CFRP）加固鋼梁的界面，獲得了界面應力表達式。Deng 等［13］研究了CFRP 加固鋼梁端部應力集中，提出了一種計算層間應力的解析解方法，并將該方法推廣到端部為錐形的CFRP 板上，可以顯著降低應力集中，并用有限元進行了驗證。王昌昊等［14］用有限元模擬的方式模分析了不同鋪層的Glare 層板的層間應力曲線。李宏運和胡宏軍［15］以及徐鳳娟等［16］都介紹了一種纖維金屬層板殘余應力的解析計算方法。Lin 等［17］運用實驗和理論分析的方法研究了碳纖維鋁合金層板的熱殘余應變。張培新和李亞智［18］運用兩種有限元建模方法，使用重合節(jié)點描述層間，對復合材料的層間應力進行研究。張福范［19］分別用正弦級數(shù)和余弦級數(shù)表達層間剪應力和層間正應力分量，用級數(shù)求和和能量法原理，最終得到復合材料層間剪應力和層間正應力的表達式。

而對于纖維金屬層板的層間應力的理論研究目前較少，因此本文以現(xiàn)有的關于異質界面層間應力的求解方法為基礎，推導出了關于纖維金屬層板層間應力的公式。

1 模型建立

1.1 力學模型的簡化

本文對于層間應力模型的建立，首先是探究簡單非對稱單向鋪層的應力模型，然后分析簡單非對稱鋪層與標準對稱鋪層之間的關系，從而將非對稱鋪層應力模型推廣到任意標準對稱鋪層中。

為簡化非對稱鋪層模型，通過設置3 組實驗，分別探究非對稱鋪層制件的縱向尺度（沿纖維方向）、橫向尺度（垂直纖維方向）和復合材料體積分數(shù)對于制件脫模后撓曲程度的影響規(guī)律，反映出三維各向尺度效應與層間應力的影響關系，從而合理簡化力學模型來分析并建立層間應力的理論解析模型。

實驗所用復合材料為美國Cytee 公司的T800/X850 預浸料，單層厚度為0.188 mm；所用鋁合金為東北輕合金的2024?T3 薄板，單層厚度為0.3 mm。實驗流程為3 組實驗的制件成型，用ATOS 三維掃描儀掃描，最終綜合分析，從而得出結論。

3 組實驗分別重復3 次實驗。用曲率來表示制件的撓曲程度，分別得非對稱鋪層制件撓曲曲率與制件縱向尺度、橫向尺度和復合材料占比的關聯(lián)規(guī)律。實驗試件信息如表1 所示，實驗結果如圖1～3所示。

表1 實驗試件鋪層與尺寸信息Table 1 Test specimen layering and dimension informa?tion

圖1 非對稱鋪層制件撓曲曲率與制件縱向尺度的關聯(lián)規(guī)律Fig.1 Relationship between flexural curvature and longitu?dinal dimension of asymmetric layering parts

圖2 非對稱鋪層制件撓曲曲率與制件橫向尺度的關聯(lián)規(guī)律Fig.2 Relationship between flexural curvature and trans?verse dimension of asymmetric layering parts

圖3 非對稱鋪層制件撓曲曲率與制件復合材料體積占比關聯(lián)規(guī)律Fig.3 Relationship between flexural curvature and volume ratio of composite materials of asymmetric layering parts

從實驗結果來看，不同縱向尺度非對稱鋪層制件變形后的擬合圓柱直徑基本穩(wěn)定在250～258 mm 之間，其制件平均曲率為7.90 m-1。不同橫向尺度非對稱鋪層制件變形后的擬合圓柱直徑基本穩(wěn)定在243～254 mm 之間，其制件平均曲率為8 m-1，因此纖維金屬層板非對稱鋪層制件的縱向尺度和橫向尺度效應對于制件的變形影響并不是很大。而不同復合材料占比的非對稱鋪層制件的擬合圓柱直徑從180～718 mm 不等，曲率從2.8～11 不等。不同復合材料體積占比的制件，其撓曲曲率變化明顯，從圖3 中擬合結果可知，制件撓曲曲率ρ 與制件復合材料體積占比VCFRP的近似關聯(lián)規(guī)律為

基于以上結論，纖維金屬層板層間應力理論建模時，可以將三維問題簡化為垂直于橫向尺度平面內的二維問題。即對于單向鋪層的制件，將制件簡化為以沿纖維方向為長度方向，而以金屬層板平面的法線方向為厚度方向的二維制件，直接研究該平面內層間界面的受力問題。

1.2 非對稱鋪層層間應力理論模型

對最基本的非對稱鋪層模型，參考已經商業(yè)化的纖維金屬層板鋪層，金屬/纖維增強復合材料膠接副中復合材料最小鋪層為2 層，即首選Al/［CFRP］2進行理論分析。將制件簡化到二維平面，同時為了簡化計算，理論幾何模型中，在金屬層與復合材料之間引入粘結層，用于傳遞層間應力。實際制件中，該粘結層為復合材料與金屬之間的預浸料樹脂層。

取制件微段dx（x 軸為圖4 所示沿纖維方向）對其受力分析。粘結層為復合材料層分離出來的樹脂層，厚度極小，其熱效應綜合到復合材料層中考慮，故忽略粘結層的軸力和剪力。

圖4 為纖維金屬層板層間應力分析模型。N為微段所受軸力，Q 為剪力，M 為彎矩，1 代表金屬層，厚度為h1，2 代表復合材料層，厚度為h2，a 代表粘結層，厚度為ta。層板寬度為b，微段長dx。

圖4 纖維金屬層板非對稱鋪層制件受力分析模型規(guī)律Fig.4 Force analysis model for asymmetric laminates of fi?ber metal laminates

對金屬層與復合材料層做受力分析，可得以下各式

對于由金屬層、粘結層和復合材料層組成的組合截面受力分析，有

式中：M（x）為試件沿x 軸彎矩方程；Ma為粘結層彎矩，且

則式（10）變?yōu)?/p>

假設界面粘結牢固，則在距離纖維金屬層板坐標原點為x 的某處，金屬層的下表面與粘結層的上表面的縱向位移一致，記為u1，粘結層的下表面與復合材料的上表面縱向位移（沿x 軸方向）一致，記為u2，則有

式中：E、A、I、CTE、ΔT 分別代表材料的彈性模量、橫截表面積、橫截面對x 軸的慣性矩、材料的熱膨脹系數(shù)和溫差。

同時假設粘結層為線性彈性體，并取u（x，y）和v（x，y）分別為粘接層任一位置沿x 軸向和y 軸向位移，則粘結層的剪應變γ 與剪應力τ 可分別表示為

則

且粘結層很薄，可認為粘結層的剪應力不隨膠層的厚度變化而變化，因此可以認為粘結層中的應變是線性的，有

綜合式（17），有

結合式（8），有

式中Q1（x）為延x 軸方向剪力的變化函數(shù)。

令式（20）中

則有

至此，層間剪應力問題轉化為上式所示的二階非齊次線性微分方程。接下來先求解Q1（x）。

Prussak 等［20］將殘余應力的作用等效成一組施加在制件的軸力和彎矩。相似地，非對稱鋪層的制件在成形后，因變形協(xié)調，制件產生較大的曲率。而對成形后的制件反向施加相應的載荷使其與制件層間應力平衡，則非對稱制件恢復到無翹曲狀態(tài)。若將成形后的制件看作是一簡支梁，對其施加一個合適的均布載荷，則可以實現(xiàn)彎曲的非對稱制件重新變形為平板。因此，在該問題中，可以將層間應力造成非對稱制件撓曲的物理模型等效為一承受均布載荷的簡支梁。其中層合板成型后的最大撓度可以推導出，記為fmax，由材料力學知識，撓曲線方程與最大撓度為

式中：q 為均布載荷，L 為制件長度。

對于均布載荷簡支梁，其彎矩和剪力方程為

將式（27）代入式（23），求解可得層間剪應力的通解為

考慮到纖維金屬層板的橫向對稱性，即在x 軸方向的中點處，剪應力為零，可得

在制件的兩端，軸力為零，可得

綜 合 式（11，26，29，30），可 求 得C1和C2分別為

對于fmax，由圖5 可知角β 與弧長L、撓曲半徑R和最大撓度fmax的關系。

最大撓曲fmax與制件長度L 的關系為

結合式（25），有

圖5 非對稱制件脫模后制件撓曲半徑與最大撓度幾何關系示意圖Fig.5 Schematic diagram of geometric relationship between bending radius and maximum deflection of asymmet?ric parts after demoulding

綜上推導，非對稱鋪層的纖維金屬層板的層間剪應力表達式為

1.3 對稱鋪層層間應力理論模型

以圖6 的標準4/3 鋪層為例，可知任意標準鋪層均可劃分為偶數(shù)組非對稱鋪層。則各個非對稱鋪層同樣可看成受均布載荷作用的結果。于是這里可以將對稱鋪層分為若干非對稱鋪層進行分析。

而1.2 節(jié)已經推出了非對稱鋪層的層間應力模型。將其簡化為

圖6 標準4/3 鋪層纖維金屬層板簡圖Fig.6 Schematic diagram of standard 4/3 laminate fiber metal laminate

則易知

進一步可推知任意n+1/n 標準鋪層的任一層間剪應力為

同樣對標準4/3 鋪層做受力分析，參考式（2～7），并推廣至任意標準鋪層，具體計算結果此處不再贅述。可得層間正應力與層間剪應力的關系式有

至此，標準鋪層的纖維金屬層板的層間應力理論模型建立完成，下面通過實驗進行驗證。

2 應力測試實驗

2.1 實驗材料及方法

使用1.5 mm 厚度的AA 2024?T3 鋁合金與0.188 mm 厚度的T800/X850 單向預浸料為原材料。

實驗設備為大連櫻田YT?13?03 實驗專用熱壓罐。層內正應力的采集系統(tǒng)為纖維金屬層板成型過程多參數(shù)在線監(jiān)測系統(tǒng)［21］。所用傳感器為光纖布拉格光柵傳感器（Fiber Bragg grating，F(xiàn)BG）和K 型熱電偶。

由于無法直接測量纖維金屬層板層間應力，本實驗擬基于層間剪應力與層內正應力關系間接得出層內正應力的理論值，通過對比由層間剪應力轉化到層內正應力理論值與實驗值達到驗證層間應力理論解析解準確性的目的。

為了方便后續(xù)實驗的數(shù)據(jù)測量，這里只對圖7的外層金屬層進行受力分析，有

可得

圖7 纖維金屬層板2/1 鋪層制件受力分析模型Fig.7 Force analysis model of fiber metal laminate 2/1 laminate

有

由邊界條件，在制件端部σ1(x)=0 可得

此時可采用如圖8 所示的方式集中布置傳感器（沿纖維方向埋放），并認為傳感器測得值均能代表沿縱向尺度的分布規(guī)律，將測得的平均值與理論公式的曲線每一段相對應的平均值用做對比的方式驗證理論解析解的準確性。

圖8 實驗傳感器布置及真空袋構成Fig.8 Experimental sensor arrangement and vacuum bag composition

2.2 實驗結果

6 個通道測得的制件殘余應力分別為142.655、157.831、163.876、167.491、167.974 和167.203 MPa，即結束點時布置傳感器的6 處層內正應力。

如圖9 為超景深顯微鏡拍攝的制件膠層附近的形貌，測量三處膠層的厚度，求平均值得粘結層的厚度為0.195 mm。

圖9 膠層附近區(qū)域形貌Fig.9 Area morphology of adhesive layer accessories

計算理論解析解還需用到材料的其他參數(shù)，由于目前公開的研究中，并沒有給出T800/X850 復合材料的具體熱力學參數(shù)，根據(jù)文獻［22］的方法，采用體積法求得制件的參數(shù)如表2 所示。

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)并結合式（35，48，51，52），可得層內正應力的理論公式

將實驗所得數(shù)據(jù)與式（53）計算所得的理論層內正應力進行對比，結果如圖10 所示。求得理論值相對于實驗值的誤差分別為3.504%、1.322%、0.617%、1.088%、0.716%和-0.169%。從實驗結果可以看出：靠近層合板外側的兩處實驗測得值與通過積分法求得的理論值相比較大，分析其主要原因是因為其位于制件最邊緣處，此處鋁合金層內正應力處于靠近零值，而傳感器因為本身的長度較大，只能測得該區(qū)域的平均值，因此受傳感器靠近中心部分的影響，該兩處理論值小于實驗值。其他各處實驗測得值與理論值的積分法平均值相差較小。總體來看，理論解析值與實驗測得值吻合較好，因此本文所得出的理論解析解能較為準確地描述纖維金屬層板的層間應力。

圖10 層內正應力的實驗測得值與理論轉換值對比Fig.10 Comparison between experimental and theoretical values of normal stress in the layer

3 結 論

（1）本文以T800/X850 與2024 鋁合金組成的層合板為例，得出了單向非對稱鋪層制件的撓曲變形程度主要與制件中金屬與復合材料的占比有關。

（2）根據(jù)撓曲曲率與制件復合材料體積占比以及非對稱鋪層與標準對稱鋪層的關系，得出了非對稱鋪層制件層間應力的數(shù)學表達式，并推廣到了標準單向對稱鋪層制件的層間應力理論模型中。

（3）結合光纖光柵傳感器，經過實驗檢驗，本文的理論模型預測的應力大小與實測應力大小達到了良好的一致性，最大偏差為3.504%。