均布壓力下單階柱屈曲臨界荷載算法

陳婷婷， 張自興， 莫 玉

(1. 四川水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 四川成都 611231； 2. 國網(wǎng)四川省電力公司綿陽供電公司, 四川綿陽 621000)

在多高層建筑中，為了減少整體荷載和材料用量，通常將核心筒、剪力墻或柱子沿一定高度進(jìn)行截面收縮，實(shí)際工程中沿高度方向變一次截面的核心筒、剪力墻等構(gòu)件可根據(jù)結(jié)構(gòu)的彎剪特性，采用連續(xù)化方法，將其簡化為等效的單階柱模型[1-2]。高層建筑整體穩(wěn)定性近似分析時(shí)，豎向荷載可按均布荷載考慮，故豎向荷載作用下高層建筑的穩(wěn)定分析可以近似簡化為均布壓力下單階柱的穩(wěn)定性分析。

目前對于階形柱在頂點(diǎn)集中荷載作用下(圖1(a))的穩(wěn)定性研究較多，而對于均布壓力作用下階形柱的穩(wěn)定性研究很少。文獻(xiàn)[3-4]提出用等效剛度法將變截面壓桿等效為等截面壓桿來計(jì)算頂部集中荷載作用下的變截面壓桿的屈曲荷載；文獻(xiàn)[5]將變截面柱視為等截面柱，該等截面柱的截面為變截面柱的最小截面，通過引入修正系數(shù)來反映截面變化對柱承載能力增大的效果；文獻(xiàn)[6]通過等效剛度法和等效負(fù)剛度法建立了變截面變軸力懸臂柱與等截面等軸力懸臂柱的等效關(guān)系，對變截面變軸力問題進(jìn)行解答并給出了計(jì)算公式。

本文首先分別采用橫向均布荷載作用下的變形曲線和余弦函數(shù)來描述單階柱在純彎曲屈曲時(shí)的模態(tài)，運(yùn)用能量法推導(dǎo)上下柱均布壓力不等時(shí)(圖1(b))單階柱的純彎曲屈曲臨界荷載；然后考慮剪切變形的影響，推導(dǎo)均布壓力下彎剪型單階柱的屈曲臨界荷載。

圖1 不同荷載作用形式下的單階柱

1 純彎曲屈曲臨界荷載

1.1 橫向均布荷載作用下的變形曲線作為試驗(yàn)函數(shù)

假定下柱與上柱均布壓力比為λ，則橫向均布荷載作用下的計(jì)算簡圖如圖2所示，變形曲線為

圖2 上下柱橫向均布荷載不同

當(dāng)x

(1)

當(dāng)l2≤x≤l時(shí)：

y1=

(2)

將式(1)和式(2)作為單階柱在均布壓力作用下的變形曲線，則上下柱彎矩為：

(3)

[(2-2λ)l2-2l]x+l2}，(x

(4)

彎曲應(yīng)變勢能

(5)

均布壓力荷載勢能

(6)

式中：

(7)

式中：

C=1260β2+(315λ2+4466λ-1841)β6+(1214-1528λ-526λ2)β7+

(1260λ+5250)β4-(4368λ+1344)β5+(235λ2+50λ-180)β8-4200β3

容易驗(yàn)證，當(dāng)λ=1時(shí)，式(7)可化簡為：

(8)

式中：

A=60β2-200β3+310β4-272β5+140β6-40β7+5β8

式(8)為上下柱均布壓力相等時(shí)單階柱的純彎曲屈曲臨界荷載。

若令α=β=1，則ξ=8，式(8)變?yōu)椋?/p>

(9)

式(9)為橫向均布荷載作用下的變形曲線作為能量法近似曲線時(shí)，等截面懸臂柱的屈曲臨界臨界荷載計(jì)算公式[7]。

上述運(yùn)用橫向均布荷載作用下單階柱的純彎曲側(cè)移曲線作為均布壓力下單階柱屈曲時(shí)的彎曲分量時(shí)，由于撓度曲線為分段連續(xù)函數(shù)，結(jié)果算得的屈曲臨界荷載計(jì)算公式較為復(fù)雜，不便于工程實(shí)際應(yīng)用。為了得到簡便實(shí)用的計(jì)算公式，下面將采用余弦函數(shù)作為試驗(yàn)函數(shù)。

1.2 用余弦函數(shù)作為試驗(yàn)函數(shù)

設(shè)變形曲線為余弦函數(shù)

(10)

將式(10)作為能量法計(jì)算均布壓力作用下單階柱彎曲屈曲時(shí)的近似變形曲線(符合邊界條件)，則上下柱彎矩：

(11)

(12)

彎曲應(yīng)變勢能

(13)

豎向均布荷載勢能為：

(14)

式中：

將式(13)和式(14)代入Π=U+V，由勢能駐值條件：?Π/δ2=0，并令I(lǐng)2/I1=α，l2/l=β，可得上下柱所受均布壓力不等時(shí)單階懸臂柱的屈曲臨界荷載：

(15)

容易驗(yàn)證：當(dāng)λ=1時(shí)，式(15)可簡化為：

(16)

式(16)為上下柱所受均布壓力相等時(shí)單階柱的屈曲臨界荷載。

若令α=β=1，式(16)變?yōu)椋?/p>

(17)

式(17)為三角函數(shù)作為試驗(yàn)函數(shù)時(shí)，用能量法推導(dǎo)得到的等截面懸臂柱的屈曲臨界荷載，已由文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)得到。

1.3 公式驗(yàn)證

1.3.1 上下柱均布壓力相等

運(yùn)用有限元軟件SAP2000對不同試驗(yàn)函數(shù)得到的單階柱彎曲屈曲臨界荷載計(jì)算公式(8)和式(16)進(jìn)行驗(yàn)證。有限元模型采用單階矩形懸臂柱，E=2.06×105N/mm2，上柱截面為400 mm×400 mm，面積Ac=1.6×105mm2，慣性矩I1=2.133×109mm4，柱總高l=30000mm，為忽略剪切變形的影響，將模型剪切剛度修正系數(shù)設(shè)為1000。計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 式(8)及式(16)與有限元結(jié)果對比

由表1知：在α、β的常用取值范圍內(nèi)(α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.6])，式(8)與有限元結(jié)果的相對誤差范圍為2.1 %～3.2 %，精度很高，且誤差變化范圍不大；式(16)與有限元結(jié)果的相對誤差范圍是1.8 %～5.7 %，式(16)雖然精度較式(8)稍差，但其公式簡單，可以較為準(zhǔn)確地估計(jì)結(jié)構(gòu)的彎曲屈曲荷載，滿足工程應(yīng)用的要求。

1.3.2 上下柱均布壓力不等

同樣用上述模型對α、β和λ取不同值時(shí)式(7)和式(15)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如表2～表4所示，λ=1時(shí)即為表1中數(shù)據(jù)。

表2 式(7)及式(15)與有限元結(jié)果對比(λ=1.2時(shí))

表3 式(715)及式(15)與有限元結(jié)果對比(λ=1.4時(shí))

表4 式(7)及式(15)與有限元結(jié)果對比(λ=1.6時(shí))

表2～表4中數(shù)據(jù)表明：當(dāng)λ∈[1.0，1.4]時(shí)，在α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.6]范圍內(nèi)，式(7)與有限元結(jié)果的相對誤差范圍為0.6 %～5.5 %，精度很高；當(dāng)λ=1.6時(shí)，式(7)與有限元結(jié)果的最大相對誤差為10.0 %，誤差較大。

當(dāng)λ∈[1.0，1.6]時(shí)，在α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.4]范圍內(nèi)，式(15)與有限元結(jié)果相對誤差范圍為0.4 %～8.4 %，能夠較為準(zhǔn)確地估計(jì)結(jié)構(gòu)的屈曲臨界荷載，當(dāng)β=0.6，α∈[1.2，1.8]且λ∈[1.4，1.6]時(shí)，式(15)與有限元結(jié)果相對誤差范圍為8.1 %～14.4 %，誤差較大，公式已不適用。

2 彎剪型屈曲臨界荷載

在上述單階柱純彎曲屈曲臨界荷載的推導(dǎo)過程中，用橫向均布荷載作用下的變形曲線作為試驗(yàn)函數(shù)時(shí)，推導(dǎo)的公式雖然精度很好，但較為復(fù)雜。而采用余弦函數(shù)作為試驗(yàn)函數(shù)時(shí)，雖然精度略有降低，但公式形式簡單，便于工程實(shí)際應(yīng)用。對于均布壓力作用下的彎剪型單階柱，如圖3所示，在進(jìn)行屈曲分析時(shí)用正弦函數(shù)描述剪切分量，余弦函數(shù)描述彎曲分量。

圖3 均布壓力下彎剪型單階柱

2.1 公式推導(dǎo)

假設(shè)單階柱在均布壓力下的剪切變形曲線為

(18)

式中：Δs為頂點(diǎn)剪切位移。

顯然，式(18)滿足幾何邊界條件:

均布壓力作用下，單階柱的剪力:

(19)

(20)

剪切應(yīng)變勢能:

(21)

單階柱在均布壓力作用下發(fā)生彎剪屈曲時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形分為彎曲變形和剪切變形，總變形為兩者的和[9]：

(22)

結(jié)構(gòu)總的應(yīng)變勢能:

U=Ub+Us=

(23)

均布壓力荷載勢能:

(24)

由外力功增量與應(yīng)變能增量相等，可得：

(25)

式中：

由勢能駐值條件，對上式進(jìn)行變分：

(26)

(27)

由于Δb、Δs有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即：

(28)

由上式可得，結(jié)構(gòu)發(fā)生彎剪屈曲時(shí)的臨界荷載方程為：

-[Eπ4l2(π2+4)(I2K1-I1K2)+4π2l4(π2-4)(S2K1-S1K2)]q(π4-4π2-16)l6q2+

4Eπ6(I2K1-I1K2)(S2K1-S1K2)=0

(29)

解方程，得：

(30)

式中：Z1=Eπ2(π2+4)(I2K1-I1K2)，

Z2=4l2(π2-4)(S2K1-S1K2).

2.2 公式驗(yàn)證

運(yùn)用有限元軟件SAP2000對式(30)進(jìn)行驗(yàn)證，采用平面單階懸臂柱模型進(jìn)行特征值屈曲分析，單元采用框架單元，E=2.06×105N/mm2，上柱截面為H600×300×10×16，慣性矩I1=9.714×108mm4，剪切剛度S1=4.512×108N，下柱與上柱截面形式相同，只做剛度變化，柱總高l=30000mm。為擴(kuò)大剪切變形的影響，將模型剪切剛度修正系數(shù)設(shè)為0.2。令I(lǐng)2/I1=α，l2/l=β，S2/S1=γ，下表中均布荷載單位為kN/m。

2.2.1 剪切剛度比與慣性矩比相等

當(dāng)γ=α?xí)r，隨著β和α的變化，式(30)與有限元結(jié)果的相對誤差如表5所示。

表5 式(30)與有限元結(jié)果對比(γ=α?xí)r)

表5中數(shù)據(jù)表明：當(dāng)γ=α?xí)r，式(30)與有限元結(jié)果相對誤差范圍為2.07 %～6.00 %，說明當(dāng)γ=α?xí)r式(30)精度很好。下面將對γ與α不一致的情況進(jìn)行分析，研究剪切剛度變化對式(30)精度的影響。

2.2.2 剪切剛度比與慣性矩比不等

分析γ≠α?xí)r，隨著β和α的變化，懸臂柱的屈曲臨界荷載與有限元結(jié)果的相對誤差。γ分1.0、1.5和2.0三種不同的情況考慮(表6～表8)。

表6 式(30)與有限元結(jié)果對比(γ=1.0時(shí))

表7 式(30)與有限元結(jié)果對比(γ=1.5時(shí))

表8 式(30)與有限元結(jié)果對比(γ=2.0時(shí))

從表6～表8中數(shù)據(jù)可以看出：當(dāng)γ∈[1.0，2.0]，α∈[1.2，1.8]且β∈[0.2，0.6]時(shí)，式(30)與有限元結(jié)果相對誤差范圍為2.08 %～6.00 % ，精度很好；在α、β值不變時(shí)，隨著γ的增大，結(jié)構(gòu)的屈曲荷載增大，但變化范圍很小。

3 結(jié)論

本文首先分別采用橫向均布荷載作用下單階柱的撓度曲線和余弦函數(shù)兩種不同的試驗(yàn)函數(shù)作為其在均布壓力下的變形曲線，用能量法推導(dǎo)了純彎曲屈曲臨界荷載；其次考慮剪切變形的影響，推導(dǎo)了彎剪型單階柱的屈曲臨界荷載計(jì)算公式，得到以下結(jié)論：

(1)本文推導(dǎo)的單階柱純彎曲屈曲臨界荷載計(jì)算公式和彎剪性屈曲臨界荷載計(jì)算公式經(jīng)過有限元驗(yàn)證，在參數(shù)常用取值范圍內(nèi)精度很好。概念設(shè)計(jì)時(shí)，可以作為豎向荷載作用下高層建筑穩(wěn)定性近似分析的簡化計(jì)算公式。

(2)對彎剪型單階柱的屈曲臨界荷載分析發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)常用取值范圍內(nèi)，剪切變形對單階柱的穩(wěn)定性影響不大。