基于蒙特卡洛方法的工程項目工期風險估計研究

李 澈 王 豐 晁亞晨

（大連民族大學，土木工程學院，遼寧 大連 1 16650）

0 引言

在工程項目管理中，工期是項目目標控制的關鍵環節之一。對工期的錯誤預估可能會給項目帶來較大損失，甚至導致項目失敗[1]。為此，工期風險預測環節對工程項目的成功與否起著至關重要的作用。傳統工程進度計劃中的工作持續時間是確定的，總工期為關鍵線路上所有工作持續時間的總和。然而在實際工程中，諸多的不確定因素導致工期具有不確定性。

工期風險一般可根據概率進行量化，即采用不能按照計劃工期完工的概率來表示工期風險值[2,3]。本文通過蒙特卡洛方法來研究工期風險問題，通過循環模擬預測工期的概率分布和累積概率分布，計算出超過目標工期（計劃工期）的概率值，即工期風險值。這樣可以較準確的預估工期風險并有效把握整體工期。

1 基本原理

1.1 蒙特卡洛方法

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法又稱計算機隨機模擬方法[4]。利用隨機數發生器產生某變量的累積概率值，通過累積概率可計算出對應的變量值，相當于隨機產生了一個變量值，然后通過隨機產生的變量計算出隨機的效益指標，如此重復進行N 次，得出N 組效益指標，當重復次數N 足夠大時，便可求效益指標的概率分布。

1.2 工期風險估計方法的思路

當實際工期T 超過計劃工期Tp，即工期風險事件發生。于是，定義工期風險為實際工期T 超過計劃工期Tp的不確定性，即工期延誤概率值。本文通過蒙特卡洛方法模擬出實際工期的概率分布，并計算出超過計劃工期的概率值，即工期風險值。當模擬出的所有實際工期全部超過計劃工期時風險為1，此時工期風險最大；當模擬的實際工期全部小于計劃工期時，此時工期風險為0。運用蒙特卡洛方法進行工期風險估計思路的流程如圖1 所示。

圖1 運用蒙特卡洛法估計工期風險思路的流程

1.3 計劃評審技術的應用

計劃評審技術（PERT） 是一種非肯定型的網絡計劃方法，即每項工作的持續時間是不確定的，運用網絡計劃表示各項工作的邏輯關系和具體進度計劃，并在此基礎上計算相應工作的時間參數[5]。根據三時估計法計算控制性計劃中每項工作的持續時間，其中根據專家、專業工程師等給出的建議假設最樂觀完成時間為a、最可能完成時間為m、最悲觀完成時間為b，并用其完成時間的均值μ和方差σ來描述不確定性。μ和σ的表達式如下：

2 工期風險預測方法及程序

2.1 工期風險預測步驟

本文提出工期風險預測方法的基本步驟如下：

（1）根據所分析項目的施工工藝關系及組織要求編制的施工網絡計劃。

（2）聘請有經驗的專家確定各項工作的最樂觀完成時間、最悲觀完成時間和最可能完成時間。假設各工作實際持續時間服從正太分布，通過公式（1）得到各項工作持續時間的均值和標準差。設定蒙特卡洛目標模擬次數No。

（3）采用隨機數發生器，針對網絡計劃中的每項工作產生一個[0,1]的隨機數，作為每項工作持續時間概率分布的累積概率值。

（4）已知累積概率值，通過確定正態分布分位數的方法可以得到每項工作的隨機持續時間，代入網絡計劃中通過3.2 節的方法即可計算得到一次模擬工期T。

（5）重復步驟3 至4，進行N 次隨機模擬，可以得到N 個工期T。當N=No時停止模擬。

（6）在模擬得到的工期T 中取最小值和最大值，在最小值與最大值之間等分隔的劃分若干區段。然后計算出所有模擬工期T 在各區段的數量值，即頻數f，代入公式（2）可以得到計算工期的概率密度φ，這里φ是工期T的函數。

（7）以概率 φ 為縱坐標，工期T 為橫坐標，繪制模擬工期的概率分布曲線。

（8）通過公式（3）可以計算得到累積概率值P。以累積概率P 為縱坐標，工期T 為橫坐標，繪制工期的累積概率分布曲線。

（8）若已知計劃工期Tp，代入累積概率分布曲線中，由縱坐標可以讀出滿足計劃工期的成功概率Ps。于是超過計劃工期的工期延誤概率值Pf= 1 - Ps，即為工期風險值，Pf越大風險越大。

2.2 工期計算

網路計劃中每項工作的最早開始時間ES、最早完成時間EF 可以通過下式計算：

式中，t 表示工作持續時間；下標o 表示為開始工作，下標j 表示其他工作；i 工作為j 工作的緊前工作。工期T 的計算公式為：

式中，下標n 表示為最后工作。

若明確了網絡計劃中每項工作的緊前工作，也就確定了工作之間的邏輯關系。當各項工作的緊前工作的EF 確定后，根據公式(4)可以計算得到該工作的最早開始時間ES。當所有最后工作的EF 都確定后，按照公式(5)便可以計算出網絡計劃的計算工期T。

3 算例分析

設某高層住宅樓的地上工程，結構形式為鋼筋混凝土剪力墻結構，計劃工期Tp為370 天。該工程的控制性雙代號網絡計劃如圖2 所示。圖2 中各工作的緊前工作、三時估計時間以及計算得到的標準差和均望如表1 所示。

圖2 算例工程網絡計劃圖

表1 工作間關系及持續時間信息表

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本文通過Visual Studio 編程平臺對該算例的工期進行蒙特卡洛模擬。根據各工作的概率分布，為每項工作賦[0,1]之內的隨機數，通過計算正態分布分位數確定各工作時間，代入網絡計劃計算出1 次模擬的工期樣本值。重復以上過程，當達到1000 次模擬時，將計算結果匯總統計出相關信息。圖3為模擬工期的概率分布圖，圖4 為模擬工期的累積概率分布圖。將計劃工期TP=370 天代入圖4 中可知，估計該工程的工期延誤概率約為0.162，即工期風險的估計值為0.162。

圖3 工期的概率分布圖

圖4 工期的累積概率分布

4 結論

工期作為工程項目重要管理目標之一具有很大的不確定性。本文通過計劃評審技術的三時估計法確定網絡計劃中各工作的概率分布，根據網絡計劃邏輯關系建立了工期計算程序，通過蒙特卡洛技術為每項工作隨機產生累積概率值，轉換為各項工作的隨機持續時間，并計算出隨機工期，當模擬次數足夠多時可以得到工期的概率分布曲線和累積概率分布曲線，在曲線圖中繪入計劃工期便可預測該工程的工期延誤概率。

通過算例分析表明本文提出的工期風險估計方法概念清晰、計算方便，便于工程使用。通過本文方法的使用，便于在工期風險估計基礎上對工程進度進行有效的控制和協調。