知識圖譜導向下的有理數單元整體教學

摘? ? 要：有理數的教學內容包括有理數的概念、性質和運算.教師要厘清概念教學的脈絡，構建“知識圖譜”，解構教學目標，解析教學重難點，重構教學設計，實現精準教學，使核心素養在課堂教學中真正落地.

關鍵詞：有理數教學;知識圖譜;教學目標

有理數教學是初中數學教學的起點.在小學階段學生已經初步學習了負數，但無論是理解運算對象，還是掌握運算法則和選擇運算方法，初中的要求都大大提高.初中階段學生除了會算還要進一步學習“優算”，教師要設計運算程序，使學生算有方法，算有規矩，要探究運算思路，使學生算得合理，算得簡潔，進一步學習數系擴充的方法，掌握研究一類數的基本方法.因此有必要把有理數的教學設計置于數系擴充的主題整體設計，使運算核心素養真正地為進一步學習初中數學奠定基礎.

一、把握有理數的知識圖譜是教好有理數的開端

（一）有理數的“知識圖”（以下簡稱“圖”）

圖1清晰地表明有理數學習的內容：有理數的概念、性質和運算.學習的線索：概念→性質;概念（性質）→運算→應用.教學的重點是有理數的概念（主要是負數的概念）、有理數的性質和有理數的運算（負數參與的運算）.概念教學的難點是負數的引入;性質教學的難點是數形結合（數軸如何引入？）思想的第一次滲透;運算教學的難點是負數參與的運算規律的歸納獲得.

（二）有理數的“知識譜”

“圖”能讓教師整體把握章教學的關鍵內容和結構體系，有利于單元整體教學的實施.但每個知識點到底要把握到什么程度，“圖”中難以看出來，這就要求在“圖”的基礎上，對具體的知識點進行更為精準的描述.這便是如表1所示的“知識譜”（以下簡稱“譜”）的意義.從“譜”中可以看到，“知識點目標”就是對課程標準單元目標進行更為具體、更為詳細的行動描述，使得知識點的教學目標變得具體、“可操作”、“易檢測”.這樣的目標分解可以使教師備課和制作質量檢測工具具有高度的一致性，也使得教師的教學過程具有“可復制”性，為區域教學質量獲得保障提供可能.有了“圖”和“譜”，才能真正在目標體系層面上，系統地解決教、學和評的一致性.

（三）“圖”與“譜”的關系

從有理數的“知識圖”和“知識譜”可以看出它們之間具有如下關系：“圖”宏觀引領教學，可以使教學的整體結構清晰明了;“譜”精準分解教學目標，可以使教學靶向實施;“圖”育“譜”，“譜”釋“圖”，“圖”為綱，“譜”為目，綱舉目張，方能有效地實現精準教學.

二、教好有理數的關鍵是教好負數概念和性質

有理數的概念教學就是圍繞負數的引入，利用學生的生活經驗，聯系生活實際，聚焦具有相反意義的量，從理性具體（相反意義的量）中抽象出理性一般（正數和負數）的過程.引進一種新數（負數），還要研究新數的性質、新數的運算和運算律.

（一）概念教學

有理數概念教學的主要內容是有理數的概念、表示（符號表示和數軸表示）和分類（按定義分類和按符號分類）.從具有相反意義的量到用數學符號表征，實質上是負數的構造過程.一般地，數（負數）的構造的基本方法是：盡量利用已有的符號（如已有的“+”“-”號在描述運算時，正好意義相反），通過意義建構，賦予新數具體而生動的含義，即把一個數看成是由符號和絕對值兩部分構成.這為后面利用數軸研究有理數的性質創造了機會，也為歸納運算法則（先定號，后算值）奠定了基礎.通過學習有理數的分類（整數和分數統稱為有理數），掌握有理數的表示.由于整數可以理解為分母是1的分數[p1]（p ∈ Z），分數可以表示為[pq][p，q∈Z，（p，q）=1，q≠0]的形式，因此可以這樣理解：一切分數都是有理數，有理數可以用[pq]統一表示.這為學生將來判定一個數是無理數還是有理數提供了一個可以操作的判別準則[1].

（二）性質研究

借助數軸，讓學生經歷一次真正意義上的“數形結合”.把有理數和直線上的點對應，把研究數的性質轉化為研究點的位置特征.兩者能深度融合的基礎是有理數的構成（正有理數、負有理數和零）和數軸的高度相似性（正方向、負方向和原點）.其中數字“0”和“1”起關鍵作用，“0”是區別正有理數和負有理數的“基準”，“1”是有理數的單位.因此只要在直線上標定一個基準點O（原點），就把直線上的點劃分成為兩個部分，一部分的點和負有理數對應，另一部分的點和正有理數對應，區分正有理數和負有理數只需要規定一個正方向即可，這樣便實現所有有理數和直線上的點對應.因此可以通過“翻譯”數軸上點的位置特征得到有理數的性質：①點的順序排列對應有理數的大小;②點分布的稠密對應有理數的稠密性（任意兩個有理數之間還存在有理數）.

數軸上一個點的位置由方向和距離決定，一個數由符號和絕對值決定.這為比較兩個有理數的大小提供了操作規程：比較兩個有理數的大小，可以先看符號，再比較絕對值的大小.首先確定0的基準作用，規定正數>0>負數;兩個正數的大小即為絕對值的大小;比較兩個有理數的大小，可以利用數軸的幾何直觀，確保有理數大小順序和數軸上點的排列順序一致，這樣規定兩個負數絕對值大的反而小就合情合理了.定義有理數的絕對值概念同時也解決直線上兩點間距離的度量問題，為了度量的方便，需要規定一個“單位”，這便是數1的“單位”意義.絕對值概念也為后面學習有理數的運算奠定了基礎.

最后研究數軸上一些具有特殊位置關系的點，如位置關于原點對稱的兩個點，顯然其絕對值相等，在數軸上具有明顯的幾何意義（圖2）.稱這兩個數（和為零）互為相反數，類比互為相反數，定義積為1的數互為倒數，這兩個數也有很好的幾何意義，便是反演對稱（圖3）.

在有理數性質的學習過程中，學生體會什么是“數形結合”，經歷研究一個陌生數學對象的基本方法.

三、教好有理數的運算關鍵在于運算的邏輯一致

代數的根本在于運算，研究有理數的概念和性質后，還需要研究有理數的運算.有理數的運算，歸根結底是有負數參與的運算，但負數的運算對初中生而言是超越經驗的，用任何具體例子來解釋都有很大的局限性[2].

（一）用歸納的方法教有理數的運算和運算律是根本大法

在所有負數相關的運算中，負數和負數的乘法法則最為難以理解，教學時要注意到運算法則是人為規定的，但這種規定既要符合實際又要滿足理論的相容性，初中階段教學的主要任務是“使其相信”，要在運算法則的“承襲性”和邏輯的“自洽性”上下功夫.教好歸納就要設計合理的教學過程，通過過程中規律性的歸納，自然獲得.

（二）教學流程再設計

先看看用數軸引入的設計方案：

例1? ?（環節A）小學已經學習“乘法是加法的簡便運算”，如3×2=3+3=6.可以用如圖5的數軸表示.

追問1：根據乘法和加法的關系，（-3）× 2=（-3）+（-3）=-6.用數軸如何表示這個關系？（如圖6）

引導學生：① 畫出圖7;② 得到（-3）×2是3×2的相反數.

（環節B）教師小結并引導：改變相乘兩數中的一個數的符號時，其積就變為原來積的相反數.同樣，（-3）×（-2）是3×（-2）的相反數（如圖7）.獲得負數×負數的運算律.

下面給出用歸納方法設計的教學流程：

（環節A）：請你完成表2（陰影格為學生填寫的數字），并說說理由.

師生活動后小結：①乘數逐次減小1，積逐次減小3. ②正數乘正數的積是正數，正數乘零等于零. ③正數乘負數的積是負數. ④積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

追問：如果上述規律成立，那么表3中的空格應該如何填寫？

師生活動后小結：①乘數逐次減小1，積逐次減小3. ②正數乘負數的積是負數. ③負數乘負數的積是正數，負數乘零等于零. ④積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

歸納運算律要有意識地滲透運算程序，即先確定運算結果的“符號”，然后計算各因數絕對值的乘積.

（三）兩種引入的優缺點

歸納獲得的結論來自數學內部，設計好的問題使數學的內部規律外化為直觀規律，符合學生的認知，容易被學生接受.利用數軸解釋數字運算規律直觀形象.歸納規律依賴問題設計和呈現方式，用表格形式呈現可能更有利于學生歸納得出運算規律.

利用數軸直觀解釋有后遺癥.教學調研中發現一個看似“創新”的學生“研究”成果：（-3）×4=9.學生的解釋：按照教師標在圖上的箭頭，（-3）×4就是把-3向右平移4個單位，此時箭頭指向的位置恰好是9，所以（-3）×4=9.

原因就是這種直觀缺乏數字運算背后的內在邏輯支持，學生純粹從形的直觀出發，用自己的方式理解，“生動形象”“自圓其說”地得到了一個“新”的規律.這是學習產生負遷移的結果.

（四）教好運算的關鍵是讓學生學會優算

數學運算是演繹推理，數學運算主要表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.使學生學會算得合理，算得準確.[□][◢]

參考文獻：

[1]王紅權.怎樣教好無理數[J].數學通報，2018（6）：18-22.

[2]章建躍.滲透數系擴充思想，加強運算能力培養（續）[J].中學數學教學參考，2012（9）：6-8.