美國《線性代數及其應用》教材中的技術運用研究

朱樹金 李童瑤

[關鍵詞]《線性代數及其應用》;技術運用;線性代數;教材

線性代數是高等院校理工科學生重要的數學公共基礎課之一，其廣泛地應用于工程、技術、計算機科學、經濟等領域，學生對這門課程的掌握情況將直接影響其后續課程的學習，且這門課程對培養人的邏輯思維能力、抽象思維能力、計算能力、推理能力都起著十分重要的作用。隨著線性代數在以上各領域的應用越來越廣，有關線性代數的研究也越來越受到重視。近30年來，國內外學者在線性代數教學中的課程內容、教學設計、學生學習等方面產生了大量的理論和研究成果[1]，但是對線性代數教材的研究相對較少。

國內的線性代數教材版本較多，各大學根據自己的實際情況指定線性代數教材，但教材內容偏向于數學理論，教育理念偏向于通識教育理念[2]，致使許多學生感受不到線性代數的實際用途，覺得課程內容枯燥、概念抽象、計算煩瑣[3]，不能系統理解和掌握課程知識[4]。

1990年1月，美國正式成立線性代數課程研究小組（Linear Algebra Curriculum Study Group），對線性代數的課程大綱和教學提出了一系列指導性建議，其中就包括要在線性代數的學習中使用信息技術[5]。在這一建議下，美國出版了線性代數課程研究小組核心成員、線性代數課程現代化領導者戴維·C.雷（David C.Lay）主編的《線性代數及其應用》[6]（Linear Algebra and Its Applica?tions），該書被認為很好地體現了線性代數改革的世界潮流與方向，風靡全球并得到了很好的反響。

本文選取美國教材《線性代數及其應用》作為研究對象并進行定性和定量分析，擬解決如下問題：教材中技術運用主要分布在哪些內容？教材中技術運用的呈現方式是怎樣的？教材中主要包含哪些類型的技術運用？以期對我國線性代數的教材編寫與教學實施提供幫助。

一、美國《線性代數及其應用》教材技術運用的內容分布

該教材的技術運用主要體現在下面的五個內容中。

（一）介紹性實例

介紹性實例作為章前閱讀材料給出，說明線性代數在其他領域中的實際應用，然后指出所給材料中的知識與當前章節的聯系，每個實例中都會涉及線性方程組的大數據集，因此人們需要使用計算機來對其進行求解。

如教材第1章的介紹性實例“經濟學與工程中的線性模型”中，為分析美國勞動統計局兩年工作所得的25萬多條包含美國經濟的信息，哈佛大學教授列昂惕夫1949年使用計算機將含有500個未知數、500個方程的方程組簡化為含有42個未知數、42個方程的方程組并編寫程序進行求解，計算機求解56個小時得到最終答案。列昂惕夫因此獲得諾貝爾經濟學獎，這標志著計算機分析大規模數學模型的開始。還有教材第8章給出了經濟學與工程、飛機設計、空間飛行、動力系統等領域中所具有的線性模型。

一方面，介紹性實例作為章前閱讀部分可以介紹與本章內容相關的線性代數在實際應用中的知識，進而引出本章知識的學習;另一方面，介紹性實例雖然沒有讓學生實際使用計算機進行求解，但是其介紹了計算機求解線性代數方程組大數據集相對筆算求解的巨大優勢，讓學生感受到使用計算機解決線性代數問題的方便快捷。另外，作為數學文化的一部分，介紹性實例中的數學史、數學應用故事可以提高學生的學習興趣，引起學生的探究欲望。

（二）算法總結

美國《線性代數及其應用》教材中體現了豐富的算法思想。在線性代數中存在著豐富的類似的問題，美國《線性代數及其應用》這本教材會總結解決這類問題的步驟并將其呈現出來，幫助學生進行學習。

教材中總結了行化簡、用行化簡解線性方程組、求相容方程組參數向量形式的解集等許多類問題的算法步驟。如在教材第1章第2節“行化簡與階梯型矩陣”中，總結了“行化簡”問題的算法步驟：第一步，由最左的非零列開始，這是一個主元列，主元位置在該列頂端;第二步，從主元列中選取一個非零元素作為主元，若有必要的話兌換兩行使這個元素移到主元位置上;第三步用倍加行變換將主元下面的元素變為0;第四步暫時不管包含主元位置的行以及它上面的各行，對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到沒有非零行需要處理為止;第五步由最右邊的主元開始，把每個主元上方的元素變成0，若某個主元不是1，倍乘變換把它變成1。

一切煩瑣的計算都有簡明的算法步驟，一方面，寫出解決一類問題的算法來表示問題解決的步驟可以讓學生更好地理解數學的思想方法，幫助學生提高線性代數解題的準確性與速度;另一方面，算法總結部分可以培養學生使用算法思想解決問題的能力，體會算法思想與傳統數學思想的聯系與差異，幫助學生成為人工智能時代的“合格公民”。

（三）數值計算的注解

數值計算的注解在一些線性代數問題的計算之后給出，說明計算機在進行線性代數問題的計算時需要注意的一些問題，如：計算機計算采用算法的計算次數問題、計算機解決問題所采用不同算法的介紹等。

美國《線性代數及其應用》教材中數值計算的注解數量很多，如在第1章第2節介紹行化簡算法時給出向前步驟和向后步驟所需要的計算次數公式：一般行化簡算法中向前步驟比向后步驟需要更多的運算，解方程的算法通常需要通過浮算來衡量（一個浮算就是兩個浮點實數進行一次加減乘除的算術運算），對于一個n ×（n + 1）矩陣，化簡為階梯型大約需要n33 + n22 - 7n6 次浮算，而進一步化為簡化階梯型大約最多需要n2 次浮算，讓學生學會計算計算機解決問題的運算次數。

又如在第3章1節“行列式介紹”中介紹了使用余因子展開式求解行列式所需要的運算次數，對于計算n × n行列式余因子展開式需要計算超過n！個乘法運算，計算一個25 × 25行列式近似需要25！ = 1.5 × 1025 次乘法運算，用這種方法計算將需要50萬年的時間。在第3章第2節“行列式的性質”中介紹了使用行變換計算行列式所需要的運算次數，使用行變換計算n × n 行列式大約需要n33 次算術運算，計算一個25 × 25 行列式僅需大約10000次運算，任何現代微型計算機都可以在不到1秒鐘時間內完成計算。通過計算機不同算法所需要的運算次數對比，讓學生學會從計算機的角度選擇合適的算法。

通過數值計算的注解可以幫助學生了解計算機在進行數值計算時所應該注意的一些問題，了解計算機科學家和數學家如何從計算機的角度出發設計出更快、更可靠的線性代數的數值算法。

（四）正文中介紹性文字

教材在正文部分有少量的關于技術運用的補充說明，以幫助學生更好地理解知識的概念與用途。

如在第1章第2節“行化簡與階梯型矩陣”中比較了求解增廣矩陣已經是階梯型但不是簡化階梯型的方程組的兩種算法，第一種矩陣算法即行化簡算法的向后步驟，求出它的簡化階梯型然后求解，第二種回代法為先解最后一個方程，再將得到的表達式代入倒數第二個方程，以此類推最終得到所有解的表達式，并說明兩種算法所需要的算術次數相同，但是矩陣算法通常減少了手算時出錯的可能性，因此建議手算時使用簡化階梯型來解方程組，計算機通常會使用回代法求解。又如在第3章第3節“克拉默法則、體積和線性變換”中在克拉默法則定理的旁邊說明：它（克拉默法則）被用來研究Ax=b的解受b中元素的變化而受到什么影響，但是這個公式對手動計算沒有太大效果，除非是2×2或3×3矩陣。這說明了克拉默法則的用途，讓學生對克拉默法則有了更深的理解。

正文中與技術運用相聯系的介紹性文字會從信息技術的角度對知識點進行擴展，說明知識點在信息技術中的應用，這能讓學生更好地理解知識的概念與用途。

（五）習題

在習題中會有大量標有[M]的習題，表示需要使用矩陣軟件來進行解題。但是沒有指定確定的矩陣軟件，學生可以根據自身實際條件和題目特點選擇合適的軟件進行解題，具體的矩陣軟件類型及如何使用在下文技術工具里面會有介紹。

這些習題中既有筆算和矩陣軟件都可以解決的問題，如確定下列矩陣是否可逆矩陣：

也有問題復雜適合通過矩陣軟件解決的問題如：設An 為n × n 矩陣，主對角線各元素為0而其他元素為1，對n=4，5，6計算A-1 n ，對值更大的n提出關于一般的A-1 n 的猜想。

一方面，使用數學軟件可以讓學生不再在低級的四則運算上耗時間，而在更高的層次上思考解題的路線，體會到數學軟件的方便快捷的同時更好地解決問題;另一方面，使用數學軟件可以解決一些數值較大、較復雜的問題和一些探究性的問題。

二、美國《線性代數及其應用》教材技術運用的內容分布

教材中包含8 個章節，共計492 頁（除去附錄和答案），欄目設置有介紹性實例、引入、數值計算的注解、注釋例題、練習題、課后習題、章節補充題等。借鑒王建磐等人教材中數學文化的欄目分布[7]，將上述欄目分為非正文、正文、例題、習題，結果如表1所示。

由表1可得，該教材技術運用的總量相當豐富，多達272處，習題部分技術運用的比例最高多達74.63%，這體現出教材注重培養學生使用計算機軟件解題的能力，且設有供學生自主學習的網絡平臺幫助學生學習計算機軟件的使用;教材例題部分使用計算機軟件的題目很少，大部分都是手動計算，更加注重呈現手動計算的過程;非正文部分和正文部分技術運用的數量同樣很多，這體現出教材注重信息技術融入的特點，非正文部分主要包括技術運用的內容分布中介紹性的實例和數值計算的注解，正文主要包括算法總結和介紹性的文字。總體來說，美國《線性代數及其應用》教材中技術運用的欄目分布較為均衡，但是否應該在例題中融入信息技術值得人們進行深入研究。

三、美國《線性代數及其應用》教材使用的技術工具

該教材中并未指明信息技術的類型，標有符號[M]的習題說明該題需要借助矩陣軟件進行求解，但是軟件的選擇需要學生根據條件和題目特點自行選擇，包括計算機軟件如MATLAB、Maple、Mathematica、MathCad、De?rive等，或者具有矩陣功能的可編程計算器。

另外，教材配備有可供學生自主學習的網絡平臺。網絡平臺中詳細介紹了如何使用MATLAB、Maple和TI圖形計算器等軟件，解釋如何使用這些軟件，并且教材中的900多道數值計算題、案例研究和應用項目網站上都提供了數百個相應的數據文件，這些文件以多種格式儲存分別用于MATLAB、Maple、TI圖形計算器等，學生只需要進行少量的鍵盤操作就可以得到矩陣和向量，從而減少了輸入數據的錯誤并可以節省時間。

四、結論與啟示

目前我國高等教育的發展已由規模擴張轉向質量提高，強調本科畢業生的創新能力、使用工具解決實際問題的能力，大學線性代數的教學實踐與教材編寫面臨前所未有的機遇與挑戰。本文對美國《線性代數及其應用》教材中的技術運用進行分析，得到的啟示如下。

（一）合理使用信息技術

中美兩國在數學教學理念上有很大差異，中國側重大腦獨立于計算機的前提下盡可能多地儲備知識，美國強調大腦在充分利用計算器的前提下，只發展那些屬于計算機無法工作的領域所需要的能力[8]。以培育創新型人才著稱的美國教育，非常注重學生對技術工具的運用，這在其線性代數的教材中可見一斑。

隨著教育與技術的不斷發展，技術的運用與普及在我國也逐漸實行起來，但是經濟因素也制約著信息技術的運用，一臺圖形計算器的價格在1000元左右，實現人手一臺并不現實，學生的主體性大多只能在課堂上經過教師的二次加工得以實現，這并不利于學生創新能力和實踐精神的培養。

徐斌艷提出，計算機的視頻、音頻、動態性等功能，豐富了數學概念的多元表征，也豐富了學生表征自己建構數學概念過程的工具系統[9]。現代科技的應用可以使學生從繁雜的計算中脫離出來，把注意力集中在決策過程、反思、推理和問題解決上[10]。

Sierpinska 等人發現，計算機環境下的任務操作可以幫助學生發展對線性變換的動態理解，但卻阻礙了學生理解線性變換是將一般的向量映射到它的象，將思想固著于線性變換的具體例子。信息技術是一把“雙刃劍”，教師必須慎重決定是否、何時、怎樣使用信息技術，教材的編寫也要合理設置信息技術的比重與質量，如何合理使用信息技術是今后需要努力的方向[11]。

（二）滲透算法思想，培養智能計算思維

圖靈獎得主Edsger曾說：“我們所使用的工具影響著我們的思維方式和思維習慣，從而也將深刻影響著我們的思維能力。”[12]隨著人工智能時代的到來，智能計算思維（Computational Thinking，簡稱CT）被明確地視為21世紀的關鍵技能，是信息化社會中數字公民所應該具備的基本素養。據美國計算機科學教師協會（Associationof Computer Science Teachers， CSTA）的報告，2020年會產生920萬與STEM有關的工作，其中一半都與智能計算思維緊密相關[13]。

2011年美國國際教育技術委員會（International So?ciety for Technology in Education）聯合計算機科學教師協會（Computer Science Teachers Association）給出了智能計算思維的一個操作性的定義：“智能計算思維是一種解決問題的過程，該過程包括明確問題、分析數據、抽象、設計算法、評估最優方案、遷移解決方法六個要素。”美國的《線性代數及其應用》教材是當前數學教材中為數不多的滲透智能計算思維的教材，數值計算的注解部分從計算機的角度分析數值計算過程，算法總結體現了豐富的算法思想，正文中也會涉及算法的比較與優化的問題，這些都和智能計算思維密切相關。

蔡金法和徐斌艷（2016）首次提出將智能計算思維作為數學核心素養納入數學課堂教學之中[14]。數學課程的教學實踐和教材編寫都應該有意識地訓練學生的智能計算思維，讓學生既可以用數學的思維解決問題，又能以計算機的思維解決問題，并能夠充分認識到人的思維過程與計算機自動化過程之間存在的共性與差異，借助計算機來解決問題[15]。

（三）開發建設可供學生自主學習的網絡平臺

美國重視學生的合作學習、自主學習，提倡E-lear?ing的學習方式，2010年11月，美國時任總統奧巴馬頒布了其任期內最新一輪《國家教育技術計劃》（NETP），提出“用技術支持的學習模型”，要保證所有的學生和教師都有足夠的寬帶訪問因特網，并提出大力開發開放性教育資源。而我國的網絡平臺建設相對缺乏，網絡資源更多是面向教師，可供學生自主學習的網絡資源較少，這對學生的發展相當不利。

從20世紀50年代開始，自主學習成為教育心理學研究的一個重要課題，維果斯基學派、操作主義現象學派、社會認知學派等都從不同角度對自主學習進行了一些探討并給出積極評價。采用網絡環境下的自主學習平臺可以很大程度上提高學生的學習興趣，激發學生的學習熱情。由于網絡不受地點時間的限制，學生可以方便地在任何時間地點進行交流，但是這樣的網絡學習環境對學生的監控尚有不足，這也是人們在開發網絡教育平臺時應該注意的問題。