享創數學發現的魅力

李鐵安 毛海巖

這節課是借助數學史中“完全數”的史料而開發的一節數學文化課。其宗旨是讓學生在探索解決問題的過程中，初步理解什么是完全數，感受完全數的神奇特征，由此對數學產生強烈的好奇心，深層次激發學生發現數學的樂趣。更重要的是，通過問題解決，能有效地培養學生的數學觀念、數學發現意識和數學創造性思維能力等。

【教學過程】

環節一：概括完全數的定義

師：下面等式中的△、□、○分別表示不同的自然數，你能試著填一填，使等式成立嗎？

生：我發現了，△、□、○分別代表1、2、3，這樣等式就成立了。因為1+2+3=1×2×3。

師：好啊！再認真觀察這個等式，你還有什么發現？

生：1+2+3=1×2×3=6，1、2、3是6除了自己以外所有的因數。

生：6的所有因數包括1、2、3、6。除了6以外，1、2、3就叫6的真因數，也叫真因子①。6所有的真因子的和還是它自己。

師：就是啊，6好神奇，它恰好等于它所有的真因子之和。在自然數里，還能找到像6這樣的數嗎？

師：還有沒有呢？（停頓1秒）比如7這個數，行不行？

生：不行，7的真因子只有1，相加不等于它。

生：7的真因子只有1，也沒法相加，它是個質數。

生：質數肯定都不行！所有的質數的真因子只有1。

師：對呀！那我們換一個不是質數的數，比如8這個自然數（停頓1秒），行不行呢？

生：8也不行，8的真因子有1、2、4，1+2+4也不等于8啊。

師：在自然數中，到底有沒有這樣的數？咱們一起去找一找，1～10之間有沒有這樣的數？（師生一起整理）

板書：

生：沒有。

師：再找找11～20之間有沒有。

生：也沒有。

師：那21～30之間有沒有這樣的數呢？

（學生忙于計算、尋找，突然一個學生說：我找到啦！是28。）

師：28確實具有和6一樣的特征嗎？

生：28真的可以！28的真因子有1、2、4、7、14，把它們加在一起，1+2+4+7+14=28，正好等于28。

師：28也可以表示為它所有的真因子之和。那么像6、28這樣的數是不是很奇妙呢？在數學史上，像6和28這樣的數，有一個非常美妙的名字，叫“完全數”。現在你能說一下什么樣的數叫完全數嗎？

生：除了它本身以外，所有的真因子相加等于它本身的數就是完全數。

生：真因子已經不包括它本身了，所以可以直接說，所有的真因子之和等于它本身的數是完全數。

師：在自然數中，如果一個數恰好等于它所有的真因子之和，則稱這個數為“完全數”。這就是完全數的定義。

環節二：猜想完全數的數字特征

師：完全數在數學史上是一個受到關注的話題，也是一個非常有趣的問題。它是由古希臘畢達哥拉斯學派最先發現并命名的。據數學史料介紹，畢達哥拉斯學派發現了前4個完全數，分別是6、28、496和8128。請你讀一讀這些數，再認真地觀察一下，這些完全數有什么特征？

生：我發現這些數都是偶數。

生：這些數的末尾都是6或者8，而且循環出現。

生：我還發現，個位是8的完全數，十位都是2。

生：這些數是從一位數到四位數按順序出現的，第幾個完全數就是幾位數。

師：真是這樣嗎？請你猜一猜，第5個、第6個完全數可能是什么樣的數？

生：我想第5個完全數的尾數是6，它應該是個五位數。

生：我也這么想的，因為第幾個完全數就是幾位數。

生：第6個完全數的尾數是8，它應該是個六位數。

師：這是你們的猜想，真的是這樣嗎？先看第5個完全數。

（教師出示第5個完全數的末尾數字6，學生很興奮！）

師：末尾數字果然是6，猜對了！

（教師繼續按照數位順序，由低位到高位，逐個數位出示第5個完全數：33550336。當學生看到五位數時非常興奮。但緊接著教師出示第六位、第七位、第八位數字，學生很驚訝！）

師：雖然按照前面的規律，咱們的猜想看起來很有道理，不過事實說明，我們猜錯了。現在你想說什么？

生：那第6個完全數不可能是六位數了，因為第5個完全數都已經是八位數了，所以第6個完全數一定不會是六位數。

師：有根據地說明自己的想法，好！第6個完全數的尾數我們猜得對不對呢？

（教師出示第6個完全數：8589869056）

生：我們也猜錯了，尾數不是8。

生：竟然是十位數，真是太讓人吃驚了。

師：同學們有什么想說的嗎？

生：完全數一點規律都沒有。

生：我認為還是有一點規律的，至少我們能確定尾數不是6就是8。

師：同學們，我們是根據前4個完全數所具有的數字特征和尾數特征來大膽地猜想第5、第6個完全數的特征的。事實證明，有些規律我們猜錯了。這說明在數學中，僅僅靠猜想是不夠的！猜想之后必須要經過嚴格的論證和驗證。尾數是6或者8這一規律現在看還依然成立，但能確定對所有完全數一定是成立的嗎？

生：不確定。

師：數學的學習離不開猜想！在數學史上，好多定理都是先經過數學家的大膽猜想，再經過嚴格驗證得出的。所以，同學們依然要養成猜想的好習慣，這是非常寶貴的。要敢猜、敢想，最后再進行驗證。猜想能激發智慧，猜想能創造奇跡。

環節三：探究完全數的奇妙規律

師：讓我們再來回憶一下那個美妙的等式，6=1+2+3。這個等式實際是連續三個自然數的和。是不是很整齊、很好看呢？（生答）

師：讓我們再來看28這個完全數。按照完全數的定義，28=1+2+4+7+14。那么，我感到好奇的是，28能不能也像6這樣寫成幾個連續自然數的和呢？

生：哇，我算出來啦！28=1+2+3+4+5+6+7。

師：果然是這樣啊！你是按照連續自然數依次相加，最后發現加到7正好就是28了吧！這樣雖然不錯，但當我們不知道最后加到幾時，應該怎么辦呢？還有沒有更一般的方法呢？

生：我先把連加算式的最后一個數設為x，那么這個式子就是28=1+2+……+x。

師：好啊！那怎樣得出x是幾呢？

生：可以把算式變成56=x（x+1），得出x=7。

生：等等，56=x（x+1）這個算式是怎么得到的？

生：是這樣的，我先把28=1+2+……+x這個等式變形，變成28=x+……+2+1這個等式的樣子。然后，我再把兩個等式的左邊和右邊分別相加。左邊相加肯定是56啦！再看右邊，每個對應的數相加都得到（x+1），有多少呢？一共有x個，就得到56=x（x+1）。

板書：

師：這位同學通過轉化，得到了這樣一個等式，這也叫方程吧！那怎么解這個方程呢？怎么求這里的x呢？我們可以看一下，這是兩個什么樣的數？

生：是兩個相鄰的自然數。

師：對呀！兩個相鄰的自然數的乘積等于56，這兩個數是幾呢？

生：七八五十六。

生：x是7。

師：是啊！這樣，28就等于1+2+3+4+5+6+7。

師：那么，大家是不是也想把496寫成連續的自然數的和的形式呢？

生：這個不難，列方程得到496=1+2+……+x。所以496=x（x+1）。

生：好像不對，等式右邊的x（x+1）是對的，左邊不是496，還要乘2。

師：是這樣嗎？咱們再回到剛才的式子看一看。等式右邊，為什么能有x個（x+1）呢？是因為我們把上下兩個等式相加了。那等式左邊呢？

生：我們也要把它們相加，否則等式就不成立了。

師：是呀，496當然也要乘2啊！好了，現在我們得到了992=x（x+1）這樣一個方程。又該怎么解呢？

生：這是兩個連續的自然數的乘積，我們只要算一算是哪兩個連續的自然數相乘就可以了。

生：我知道了。x（x+1）是兩個連續的自然數相乘，因為結果是900多，所以這兩個自然數應該是三十幾。

師：對啊！三十幾乘三十幾就等于900多。到底是三十幾呢？

生：我覺得應該是31×32。因為我發現乘積的末尾是2，一二得二啊！

生：我認為有可能是31×32，也有可能是38×39，因為它們相乘后，末尾都是2。

師：個位是2，這是個多重要的信息啊！剛剛有同學說，還可能是38×39，那么，究竟是不是38×39呢？

生：我覺得38×39太大了，兩個數都接近40，再一相乘，得數就接近1600，不可能得992。

師：好啊！那么這次咱們的思路究竟對不對呢？有了剛才的經驗教訓，推理不一定完全正確。咱們還是驗證一下吧！

生：對啦！我算過了，31×32就是等于992。

生：所以，x=31。

生：496就等于1+2+3+……+31。

板書：

師：其實啊，同學們，在數學史上，完全數的發現經歷了一個漫長的過程，截止到2018年，借助計算機，人們也才找到第51個完全數。而關于完全數還有很多奧秘，你們課后可以繼續了解它，關注它，研究它。你會感覺學習數學其實很美妙，讓我們一起享受數學發現之美吧！

【育人意蘊解析】

本節課依托完全數的數學史料對其進行了深入挖掘，設計了三個探究環節：概括完全數的定義;猜想完全數的數字特征;探究完全數的奇妙規律。

在“概括完全數的定義”這一環節，教師首先通過一個非常精巧的等式模型，引出1+2+3=1×2×3=6這個數學事實。當學生驚奇地發現這個事實后，油然生發一種感嘆：多么奇妙而美麗的結論啊！這不僅為激發學生的學習熱情創設了良好氛圍，也為引出6可以表示為它的三個真因子1、2、3的和做了巧妙鋪墊。事實上，這還為學生概括完全數的定義埋下了伏筆。進而，教師順勢引導學生探究10以內、20以內自然數中是否存在如6這樣的數。這個過程看似對于尋找第2個完全數28沒有實際意義，實則讓學生通過推理和驗證，來深化對完全數概念的理解，并且可以讓學生懷著既興奮又迫切的情緒積極地尋找如6這樣的數。當學生帶著一絲隱隱的失落，依然鼓舞興致尋找30以內是否存在如6這樣的數時，當28這個數被學生次第發現時，可以想見，學生的興奮度陡然提升。至此，教師再宣布像6和28這樣的數在數學史上有一個漂亮的名字——完全數，學生就會對完全數生發一份熱愛。學生經歷了這個豐厚的尋找和探究的過程，之后概括完全數的定義自然水到渠成了。

在“猜想完全數的數字特征”這一環節，教師先給出前4個完全數——6、28、496、8128，接著讓學生認真觀察這四個數的數字特征，大膽猜想第5個和第6個完全數具有怎樣的特征。這真是一個精巧的數學問題情境！這個問題情境是激發學生自覺發現數學規律的興趣和引導學生進行大膽猜想的一個絕妙的“誘餌”！所以，正像學生所發現和猜想的那樣：第5個完全數應該是一個五位數，末尾數字是6，第6個完全數是六位數，末尾數字是8。這是合情推理和歸納猜想，可謂無懈可擊！而當幾乎所有的學生都滿心興奮之時，教師將第5個完全數和第6個完全數陸續展現出來，學生一下子驚呆了——我們的猜想錯啦！正當學生處于失落與不解之時，教師不失時機地點撥學生——數學學習離不開猜想，但在數學中僅僅靠猜想是不夠的！猜想之后必須要經過嚴格論證與驗證，等等。可以說，這個猜想的過程既讓學生的詩性智慧縱情綻放，也使理性思維受到痛徹洗禮。對于學生的情感與思維來說，不啻經歷一次“冰與火”的考驗！這才是曼妙的數學學習！而這個教學過程，是位于數學知識技能之上的對學生數學觀念與數學方法論的啟迪與塑造。這才是具有育人價值的數學課堂！

在“探究完全數的奇妙規律”這一環節，教師首先展示“6=1+2+3”這個表達式，讓學生發現這是一個連續自然數的和的形式結構，進而啟發學生探索28是否也可以類似地寫成若干連續自然數的和。可以想象，學生在將“28=1+2+4+7+14”改造為“28=1+2+3+4+5+6+7”的過程中不僅建立了數學模型，而且充分調動了數感，培養了數學直覺。而當教師追問是否還有更一般的方法解決這個問題時，學生又自然地想到設立未知數，這就在這一問題的解決過程中滲透了方程的思想。特別是學生推出56=x（x+1）這個關系式時，直面了一個非常好的數學問題——究竟如何求得x？雖然從表面上看這是一個一元二次方程，但x（x+1）所表示的實質是兩個連續自然數的乘積，當學生從這個視角審視56=x（x+1）時，問題就迎刃而解了。無疑，對這個問題的探究與解決，必將培養學生思維的深刻性和變通性。

細細品味這三個問題的內容結構設計：各個問題的子問題之間不僅具有嚴謹精妙的內在邏輯，而且蘊含著豐富的數學思想，這不僅可以讓學生經歷完滿的問題解決過程，還可以讓學生在這一過程中積累寶貴的數學活動經驗，提升數學創造水平和素養，盡情享創數學發現的魅力。

（中國教育科學研究院基礎教育研究所? ?100088北京市海淀區民族小學? ?100089）