基于結構化思維的單元整合教學

鄭建鋒 沈正會

【教材分析】

（一）編排結構

人教版小學數學教材中整數筆算除法的學習分三個階段進行：從二下“有余數除法”（一層豎式）開始，到三下“除數是一位數的筆算除法”（兩層、三層的分層豎式），最后到四下“除數是兩位數的筆算除法”（兩層、三層的分層豎式）。從知識之間的前后聯系可以看出，在三下“除數是一位數的筆算除法”的教學中，學生將經歷從一層豎式跨越到兩層、三層分層豎式的過程，這是學習整數筆算除法的一個轉折點和關鍵期。

“除數是一位數的筆算除法”內容豐富，包含了被除數是兩位數和三位數以及有關0的除法，教材安排了5個課時進行新課教學（如圖1）。

教材的編排結構非常清晰：先編排一般情況的除法，再編排特殊情況的除法。但細致分析后會發現，教材中前4個例題均指向“除哪商哪”（也就是“除到哪位就商在哪位”）的教學，在這3個課時學習中，學生只需要關注并掌握這一個法則。而后面2課時容量明顯增加，如第4課時，既要學習“除0商0”（也就是被除數首位剛好被除盡而被除數中間有0要商0，或被除數前兩位剛好被除盡，而被除數末尾有0要商0），又要學習“不夠商1就商0”（也就是“除到哪位不夠商1就商0”）。同一個課時中要掌握兩個法則，對于學生而言極具挑戰性。

（二）呈現方式

筆者從序、材兩個方面，對“除數是一位數的筆算除法”的例題進行了梳理，在材料呈現上除關注是否編排情境外，還特別關注了是否有直觀的、能夠支撐算理解釋的小棒圖（如表1）。

從表1中可以看出，教材在筆算除法中分別安排了植樹、相冊、購書、購物等不同的情境，以有利于學生溝通數學與生活的聯系。但教材只在“兩位數除以一位數”學習時編排了小棒圖輔助學生理解算理，掌握算法，而在更具挑戰性的“三位數除以一位數”學習中，卻僅僅提供情境，沒有呈現有關算理支撐的信息。學生掌握“三位數除以一位數”遠比“兩位數除以一位數”困難，他們能基于前一節課的直觀理解快速轉換到“三位數除以一位數”的“就式論理”嗎？這一點值得商榷。另外，教材中輔以理解的小棒圖以“累加式”呈現（如圖2），在分的每一步中，都會把前面分得的結果累加到下一次分的過程中。這樣做的優點是能一下看出分得的最后結果，但對學生直觀感知分了幾次，每次分得多少卻容易產生干擾。而除法是講究一步一步除的，在除第二次的時候需要把第一次除掉的部分剝離出去，小棒圖以“分離式”呈現（如圖3）更有助于學生理解，即不同次分小棒的過程彼此分離，上一次分得的結果不再累加到下一次中。這樣學生能更清楚地看到每次分小棒的情況，并將每次分小棒的情景對應到除法每層豎式的書寫中，有利于學生對除法豎式意義的理解。

基于以上分析，筆者在教學時考慮了以下兩點：（1）在更具挑戰性的“三位數除以一位數”學習中，增加輔助直觀的小棒圖。（2）變小棒圖的“累加式”呈現為“分離式”呈現。

【學生情況】

通過前、后測調查發現，學生在“除數是一位數的筆算除法”的學習過程中容易出現以下4個方面的典型情況。

（一）受負面經驗遷移影響大

負面經驗遷移的影響主要來自于：（1）將加、減、乘法的豎式書寫經驗遷移到除法豎式中。（2）在首位沒余數的除法中受一層豎式的負面遷移。具體如表2所示。

（二）商0常會不簡寫

為了幫助學生理解商中間、商末尾有0的特殊除法豎式簡便寫法的原理，教材完整呈現了復雜豎式，并在豎式上用一層的空間詳細表示了有關0的計算全過程。并在右側呈現簡單豎式，以對比的方式引導學生學習（如圖4）。但在后測中發現，基于由復雜到簡單的教學路徑，學生明白了除法豎式在書寫時省掉“計算0這一層”會更簡單的道理之后，仍然會有一定比例（不同班級學生占比有所不同）的學生豎式書寫時停留在了復雜的狀態，常常會出現商0的除法豎式不簡寫的情況（如圖5）。

（三）商0除法錯誤多

商有0的除法是學生特別容易出錯、不易掌握的知識點。前測中學生的錯誤情況如圖6所示。這部分內容比較復雜，如從0在商中所處的位置上看，有“商中間有0”“商末尾有0”“商中間和末尾同時有0”的不同情況;從計算方法上看，既有“除0商0”又有“不夠商1就商0”兩種情況。因此教材在這部分內容的例題安排上，將近一半數量的例題編排在了商0的除法中。

（四）首位不夠定位難

首位不夠除的除法難就難在商的定位上。首位夠除的三位數除以一位數豎式計算中，被除數和商都是三位，不存在商的定位問題，所以前測答題中雖然豎式計算步驟有所錯誤（虛線框部分），但商的定位并沒有什么問題。而首位不夠除的三位數除法中，商定位出錯的占比較大（如表3）。

【教學建議】

根據對教材編排及學生情況的分析，提出如下教學建議。

（一）局部調整建議

1.調序——減少負面遷移

教材例題編排的順序是從“被除數是兩位數，被除數首位能被除盡”的例題，到“被除數是兩位數，被除數首位不能被除盡”的例題（如圖7，情境圖已略去）。

由于學生的原有經驗就是一層豎式，面對首位沒余數的兩位數除法，學生能輕易獲得計算結果，從而容易受弱需求和負遷移影響寫成一層豎式，反而覺得寫兩層豎式麻煩。因此，教師不妨調整學習序列，先教學例2再教學例1，這樣更能激發學生對列兩層除法豎式的強需求，減少一層豎式的負遷移。

2.調徑——化煩瑣為簡單

如前文所述，學生在商有0的除法豎式書寫中，常會出現除法豎式不簡寫的情況。仔細閱讀教材可以發現，教材在商0的章節中多處編排了如圖8所示的從復雜到簡單的教與學的路徑，讓學生充分經歷復雜豎式書寫的“煩瑣”與“沒必要”，從而更好地接受簡便寫法。如果借助小棒圖從算理的角度學習，學生還需要這一“復雜”的過程嗎？既然十位上一根小棒都沒有，還要分嗎？前測中，幾乎沒有學生會把單獨的0搬下來除一次，然后再商0乘0減0。既然如此，教師不妨根據學生實際調整教學路徑，避開這一“煩瑣”的過程。當然，這并不是說完全拋棄復雜豎式，而是當學生結合小棒圖從算理角度理解了簡單豎式的寫法之后，再從算法角度讓學生理解簡單豎式書寫的道理，進行繁簡豎式的溝通就可以了。

3.重組——集中突破重難點

商中間或商末尾有0的除法，學生出現的錯誤比較多。結合前文教材分析，建議重組學習內容，將法則應用相同的內容歸為一類，即“除0商0”一節課，“不夠商1就商0”一節課（如圖9）。這樣重組，可以集中突破重難點，更利于學生對法則的掌握。

4.整合——促進算理理解

教材編排中，首位不夠除的除法是“三位數除以一位數”第二課時的教學內容。建議將這種情況理解成“首位商0”的除法，把它后移到商0的除法中（如圖10）。這樣學生更容易理解既然百位上商是0，商首位（非0）就要寫在十位上的道理。考慮到例7（2）245÷8是首位和末尾同時商0的情況，因此可以將例7（2）改為只有末尾商0的情況，如542÷3，而將245÷8首位和末尾同時商0的情況作為練習再呈現。

（二）單元框架調整建議

綜上內容，本單元教學的整體框架設計調整如下（圖11）。

教學課時調整如下（表4）。

這樣調整，教學內容以“法則”為主線，將相關聯的內容進行整合教學，在結構上形成了“算理探討、算法形成、算法技巧和靈活運用”這4個板塊;在關聯內容整合上進行“除哪商哪”“除0商0”和“不夠商1就商0”的框架設計，并在整體遵循教材編排邏輯順序的同時，將原來5節新課的教學內容整合成4節新課進行教學。空出的一個課時可以本單元課后的思考題為素材，進行一題一課拓展，安排一節算理算法的靈活運用課，拓展學生思維，進一步培養和提升學生的運算能力，從而實現“讓教師更有結構地教，學生更有關聯地學”的目標。

參考文獻：

[1]朱國平.“除數是兩位數的除法”單元整合教學設計與說明[J].小學數學教育，2020（1/2）.

[2]陳兵.小學數學“單元教學”的特征和路徑：從“課時教學”的不足談起[J].教育研究與評論（小學教育教學），2019（2）.

[2]陳芳，邵漢民.單元整體設計? ?完善學習序列：以“三位數乘兩位數”的單元教學為例[J].教學月刊·小學版（數學），2019（3）.

（浙江省泰順縣育才小學? ?325500?浙江省泰順縣教師發展中心? ?325500）

（下期預告：大單元教學是2021年的重點研究內容之一。下期我們將繼續推出有關單元整合的系列文章《創造 擇優 規范——“多位數乘或除以一位數的筆算”單元整合教學實踐》，從不同的視角介紹對北師大教材中這一內容的跨年段單元整合教學實踐研究，與此文相互呼應。希望讀者能從中受到啟發。敬請期待！）