基于終端滑模的四旋翼飛行器非線性軌跡跟蹤控制

李忠林

(中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西 景德鎮(zhèn) 333000)

0 引言

傳統(tǒng)的旋翼式無(wú)人直升機(jī)具有一個(gè)主旋翼和一個(gè)尾旋翼，主旋翼和尾旋翼的轉(zhuǎn)速保持恒定，依靠主槳舵機(jī)伸縮輸出帶動(dòng)主旋翼產(chǎn)生變距，從而產(chǎn)生垂向、縱向和橫向的力，尾槳舵機(jī)伸縮輸出帶動(dòng)尾旋翼產(chǎn)生變距，用以平衡主旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的反扭矩，主旋翼和尾旋翼的變距相互搭配就可以實(shí)現(xiàn)無(wú)人直升機(jī)各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。由于具有垂直起降、無(wú)人駕駛、懸停及可機(jī)動(dòng)飛行等特性，無(wú)人直升機(jī)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在軍事和民事領(lǐng)域中。

與傳統(tǒng)的旋翼式無(wú)人直升機(jī)的構(gòu)型不同，四旋翼飛行器具有四個(gè)呈十字交叉布局的螺旋槳，每個(gè)螺旋槳都具有相同的變距，但是每個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速都可以變化，并且螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)方向兩兩相反，依靠四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速的搭配就可以實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，完成各種飛行動(dòng)作。由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉和機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，四旋翼飛行器已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于偵查、航拍、勘探和救援等各方面，在國(guó)民生活中扮演著重要的角色。

自四旋翼飛行器問(wèn)世以來(lái)，便以其獨(dú)特的布局結(jié)構(gòu)和新穎的飛行方式引起廣大學(xué)者的注意，其控制問(wèn)題也隨之成為研究熱點(diǎn)。四旋翼飛行器有六個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，但只有四個(gè)控制輸入，這意味著它是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，并且四旋翼飛行器的垂向、縱向、橫向和航向具有較強(qiáng)的耦合性和非線性，因此，研究其控制問(wèn)題具有較大的難度。

目前，已有眾多學(xué)者設(shè)計(jì)了不同的控制方法，比如，文獻(xiàn)[1]提出了經(jīng)典的PID控制器和LQ控制器，并比較了兩種控制器的特點(diǎn)和不同，之后將控制算法應(yīng)用在了試驗(yàn)平臺(tái)上，以檢驗(yàn)控制效果。文獻(xiàn)[2]將四旋翼飛行器模型分解為位置運(yùn)動(dòng)學(xué)、位置動(dòng)力學(xué)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)四個(gè)子系統(tǒng)，針對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)利用軌跡線性化方法設(shè)計(jì)控制器，最后的仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器具有一定的魯棒性。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[3]，自適應(yīng)反步法[4]，自適應(yīng)滑模控制[5]，模型參考自適應(yīng)控制[6]和魯棒控制方法[7]等也被應(yīng)用到了四旋翼飛行器的控制中，并且取得了不錯(cuò)的控制效果。

以上介紹的這些控制方法一般都是基于時(shí)標(biāo)分離假設(shè)，將四旋翼飛行器系統(tǒng)分為內(nèi)外環(huán)兩個(gè)級(jí)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，外環(huán)用來(lái)控制位置，內(nèi)環(huán)用來(lái)控制姿態(tài)，先根據(jù)控制目標(biāo)在位置外環(huán)中提取期望的姿態(tài)角，然后再設(shè)計(jì)姿態(tài)內(nèi)環(huán)，使內(nèi)環(huán)姿態(tài)能夠快速跟蹤位置外環(huán)中提取出的期望姿態(tài)角。然而，時(shí)標(biāo)分離假設(shè)要求內(nèi)環(huán)姿態(tài)比外環(huán)位置具有更大的增益，以使得內(nèi)環(huán)姿態(tài)能夠快速跟蹤位置外環(huán)中提取出的期望姿態(tài)角，這使得內(nèi)環(huán)控制器參數(shù)選取難度增大，并且整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更加復(fù)雜。大多數(shù)文獻(xiàn)都是在內(nèi)外環(huán)結(jié)構(gòu)之上利用不同的控制方法去設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定或軌跡跟蹤控制器。

近年來(lái)，終端滑模控制方法[8]異軍突起，與傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法相比，終端滑模控制方法設(shè)計(jì)的是一個(gè)非線性滑模面，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)并停留在滑模面之后，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。由于具有更快的收斂特性，控制性能也更加優(yōu)異，終端滑模控制方法受到了專家學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究，被應(yīng)用到越來(lái)越多的控制系統(tǒng)中。在四旋翼飛行器的控制中也越來(lái)越多的見(jiàn)到終端滑模控制方法的身影。

本文首先對(duì)四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖儞Q，將其分解為高度、偏航角和縱橫向三個(gè)級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)，然后基于終端滑模控制方法和變量非線性變換對(duì)三個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤控制器，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析證明了所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差漸近穩(wěn)定到原點(diǎn)，最后仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

與傳統(tǒng)內(nèi)外環(huán)控制策略相比，本文提出的軌跡跟蹤控制器不依賴時(shí)標(biāo)分離假設(shè)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更加容易，并且選取控制器參數(shù)更加簡(jiǎn)單，控制性能更加優(yōu)異，可以使四旋翼飛行器系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂到期望跟蹤軌跡上。

1 問(wèn)題描述

1.1 參考坐標(biāo)系及飛行原理

如圖1所示，四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型建立在慣性坐標(biāo)系I={Oexeyeze}和機(jī)體坐標(biāo)系B={Oxyz}中。慣性坐標(biāo)系I固連于地球，原點(diǎn)Oe位于地球表面某點(diǎn)；xe軸指向地理東方；ze軸垂直地面向上，ye軸與xe軸、ze軸符合右手定則，指向地理北方。機(jī)體坐標(biāo)系B固連于四旋翼飛行器機(jī)體，原點(diǎn)O位于四旋翼飛行器的質(zhì)心位置；x軸位于連接旋翼1和旋翼3的直線上，指向旋翼1；y軸位于連接旋翼2和旋翼4的直線上，指向旋翼4，z軸與x軸、y軸符合右手定則，垂直于機(jī)體指向上方。

圖1 四旋翼飛行器示意圖

與傳統(tǒng)的主旋翼帶尾槳式旋翼機(jī)的飛行原理不同，四旋翼飛行器依靠四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速的相互搭配完成各種飛行動(dòng)作。四旋翼飛行器的基本飛行動(dòng)作包括垂直運(yùn)動(dòng)、滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)、偏航運(yùn)動(dòng)四種運(yùn)動(dòng)方式。

垂直運(yùn)動(dòng)：四旋翼飛行器沿著z軸做線運(yùn)動(dòng)，可以分為懸停、爬升和下降。從圖1中可以看出，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，而旋翼1、3和旋翼2、4的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，當(dāng)旋翼1、2、3、4的轉(zhuǎn)速相同時(shí)，恰好可以平衡其對(duì)機(jī)身的反扭矩。以同等幅度增加四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，則相應(yīng)的升力隨之增加，當(dāng)升力小于自身重力時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的垂直下降；當(dāng)升力恰好等于自身重力時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的懸停；當(dāng)升力大于自身重力時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的垂直爬升。

滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：四旋翼飛行器繞著x軸旋轉(zhuǎn)做角運(yùn)動(dòng)。在懸停狀態(tài)下，旋翼4轉(zhuǎn)速降低，旋翼2轉(zhuǎn)速增高，飛行器會(huì)左滾，產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角的變化，為了不改變飛行器總升力和總反扭矩，旋翼4轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼2轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)使?jié)L轉(zhuǎn)角發(fā)生變化，升力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿y軸方向的分量，進(jìn)而產(chǎn)生橫向左右運(yùn)動(dòng)。

俯仰運(yùn)動(dòng)：四旋翼飛行器繞著y軸旋轉(zhuǎn)做角運(yùn)動(dòng)。在懸停狀態(tài)下，旋翼1轉(zhuǎn)速降低，旋翼3轉(zhuǎn)速增高，飛行器會(huì)低頭，產(chǎn)生俯仰角的變化，為了不改變飛行器總升力和總反扭矩，旋翼1轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼3轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。俯仰運(yùn)動(dòng)會(huì)使俯仰角發(fā)生變化，升力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿x軸方向的分量，進(jìn)而產(chǎn)生縱向前后運(yùn)動(dòng)。

偏航運(yùn)動(dòng)：四旋翼飛行器繞著z軸旋轉(zhuǎn)做角運(yùn)動(dòng)。在懸停狀態(tài)下，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)速降低，旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)速增高，飛行器的反扭矩會(huì)產(chǎn)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生偏航角的變化，為了不改變飛行器總升力，旋翼1和旋翼3轉(zhuǎn)速的降低量應(yīng)與旋翼2和旋翼4轉(zhuǎn)速的增高量保持一致。

1.2 數(shù)學(xué)模型

為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)控制器的前提便是建立四旋翼飛行器的精確數(shù)學(xué)模型。將四旋翼飛行器視作一個(gè)六自由度剛體，假設(shè)它的機(jī)械結(jié)構(gòu)對(duì)稱，忽略空氣阻力和旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)引起的陀螺效應(yīng)，利用牛頓-歐拉方程可建立其數(shù)學(xué)模型[9]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，p=[x,y,z]T和v=[vx,vy,vz,]T分別是四旋翼飛行器質(zhì)心位置和質(zhì)心速度在系I中的表示，γ=[φ,θ,ψ]T為描述四旋翼飛行器姿態(tài)的歐拉角(分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角)，ω=[ωx,ωy,ωz]T為四旋翼飛行器角速度在系B中的表示，m為四旋翼飛行器質(zhì)量，g為重力加速度常數(shù)，e3=[0,0,1]T，f為四旋翼飛行器升力在系B中的表示，J=diag{J1,J2,J3}為四旋翼飛行器機(jī)體慣性張量陣，τ為作用到四旋翼飛行器機(jī)體的力矩在系B中的表示，W為角速度變換矩陣，可表示如下：

式中，s(·)=sin(·)，c(·)=cos(·)。因?yàn)閐et(W)=cθ，所以當(dāng)θ∈(-π/2,π/2)時(shí)，W可逆。R為由系B到系I的旋轉(zhuǎn)矩陣，可用歐拉角表示如下：

S(·)代表叉乘矩陣，對(duì)于向量x=[x1,x2,x3]T，其運(yùn)算定義如下[10]：

1.3 實(shí)際控制輸入

四旋翼飛行器的位置和姿態(tài)是通過(guò)改變四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速來(lái)實(shí)現(xiàn)控制的，上述數(shù)學(xué)模型中的升力f和力矩τ并不是實(shí)際控制輸入，然而，設(shè)計(jì)完升力f和力矩τ之后，可以很容易的利用文獻(xiàn)[11]中所述的f、τ和四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，反解出實(shí)際的控制輸入旋翼轉(zhuǎn)速：

式中，Ωi(i=1,2,3,4)為四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，b為常值升力系數(shù)，l為旋翼中心到機(jī)體中心的距離，d為常值反扭矩系數(shù)。因此，本文以升力f和力矩τ作為四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制輸入來(lái)設(shè)計(jì)控制器。

1.4 控制目標(biāo)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律f和τ使得由式(1)～(4)描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)能夠漸近跟蹤期望軌跡：

qd(t) =[pdT(t),γdT(t)] =

[xd(t),yd(t),zd(t),0,0,ψd(t)]T

1.5 模型變換

聯(lián)立(1)式和(3)式，(2)式和(4)式得到：

(5)

(6)

取控制律為：

(7)

(8)

(9)

(10)

則四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型可由(9)和(10)表示，重寫(xiě)如下：

(11)

(12)

四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型(12)可以分解為級(jí)聯(lián)的高度、偏航角和縱橫向三個(gè)子系統(tǒng)：

(13)

(14)

(15)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)高度子系統(tǒng)(13)的控制律為：

(16)

(17)

選取滑動(dòng)模態(tài)為[8]：

(18)

其中：β1>0，α1和σ1均為奇數(shù)，且α1>σ1。滑動(dòng)模態(tài)s1沿系統(tǒng)(18)軌跡的導(dǎo)數(shù)為：

(19)

(20)

其中:ρ1>0，λ1>0。由(19)式和(20)式得到：

(21)

約去(21)式左右兩邊的|s1|，得到：

(22)

微分方程(22)的解為：

(23)

因?yàn)棣?>0，λ1>0，所以(23)式是遞減的，故系統(tǒng)會(huì)在有限時(shí)間:

(24)

到達(dá)滑動(dòng)面s1=0。

在滑動(dòng)面s1=0上，高度子系統(tǒng)(13)可以用下面的一階微分方程描述：

(25)

α1和σ1均為奇數(shù)保證對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)ze，zeσ1 /α1也是一個(gè)實(shí)數(shù)。微分方程(25)的解為：

ze(t)1-σ1/α1=ze(tr)1-σ1/α1-β1(1-σ1/α1)(t-tr),t≥tr

(26)

因?yàn)棣?>0，α1和σ1均為奇數(shù)，且α1>σ1，所以(26)式是遞減的，則系統(tǒng)從到達(dá)滑動(dòng)面的狀態(tài)ze(tr)到ze(t)=0的時(shí)間間隔ts為：

(27)

由(16)和(20)可得到高度子系統(tǒng)(13)的控制律為：

(28)

2.2 航向子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

(29)

其中:β2>0，α2和σ2均為奇數(shù)，且α2>σ2，ρ2>0，λ2>0。

2.3 縱橫向子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

(30)

取可逆的狀態(tài)變換：

縱橫向子系統(tǒng)模型(30)可變換為：

(31)

上面的系統(tǒng)模型(31)可以寫(xiě)為下面級(jí)聯(lián)的兩個(gè)子系統(tǒng)：

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

可使得縱向子系統(tǒng)(32)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng):

(37)

系統(tǒng)(37)可寫(xiě)為如下?tīng)顟B(tài)方程的形式：

(38)

利用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制律：

(39)

將控制律(39)代入系統(tǒng)(38)得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

λ4+p4λ3+p3λ2+gp2λ+gp1=0

利用Hurwitz判據(jù)，選取：

p3>0,p4>0,0

0

(40)

(41)

(42)

(43)

可使得橫向子系統(tǒng)(33)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)：

(44)

系統(tǒng)(44)可寫(xiě)為如下?tīng)顟B(tài)方程的形式：

(45)

利用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制律：

(46)

將控制律(46)代入系統(tǒng)(45)得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

λ4+k4λ3+k3λ2+gk2λ+gk1=0

利用Hurwitz判據(jù)，選取：

k3>0,k4>0,0

0

(47)

上面的控制器設(shè)計(jì)可總結(jié)為如下結(jié)果。

定理1：對(duì)于由式(1)～(4)描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)，給定一條時(shí)變的期望軌跡：

qd(t) = [pdT(t),γdT(t)] =

[xd(t),yd(t),zd(t),0,0,ψd(t)]T

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制器的有效性，使用MATLAB 軟件對(duì)四旋翼飛行器非線性模型進(jìn)行仿真。仿真步長(zhǎng)設(shè)置為0.005 s，利用文獻(xiàn)[3]中給出的仿真模型參數(shù)：

m=0.9 kg，g=9.81 m/s2，

J=diag{0.32,0.42,0.63} kg·m2。

控制器參數(shù)選取為：

β1=β2=1，α1=α2=5，σ1=σ2=3，ρ1=ρ2=0.1，

λ1=λ2=7，

p1=0.1，p2=0.5，p3=4，p4=4，

k1=0.1，k2=0.5，k3=4，k4=4。

期望位置軌跡為：

[xd(t),yd(t),zd(t)]T=[t,-t,8]Tm，

期望偏航角軌跡為：

ψd(t)=0.2 rad。

設(shè)置系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

[x(0),y(0),z(0)]T=[1,-2,1]Tm，

[φ(0),θ(0),ψ(0)]T=[0,0,0]Trad，

仿真結(jié)果如圖2～4所示，圖2為三維位置跟蹤圖，圖3為位置、姿態(tài)角、線速度、角速度變化曲線圖，圖4為升力和力矩曲線圖。

圖2 三維位置跟蹤圖

圖3 位置、姿態(tài)角、線速度、角速度變化曲線圖

圖4 升力和力矩曲線圖

從圖2中可以看出，在所設(shè)計(jì)的控制器作用下，四旋翼飛行器可以跟蹤上期望軌跡；從圖3中可以看出，位置跟蹤誤差、姿態(tài)角跟蹤誤差、線速度誤差和角速度誤差均漸近穩(wěn)定到原點(diǎn)；從圖4中可以看出，四旋翼飛行器升力和力矩都是有界的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種與傳統(tǒng)內(nèi)外環(huán)控制策略不同的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的漸近穩(wěn)定。基于終端滑模控制方法和變量非線性變換所設(shè)計(jì)的控制器避免了對(duì)時(shí)標(biāo)分離假設(shè)的依賴，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析簡(jiǎn)單，控制器參數(shù)選取容易，控制性能優(yōu)異，具有較大的應(yīng)用前景。