基于工程實(shí)例的DFT教學(xué)實(shí)踐與探索

王 靜， 楊玲君， 劉開培

(武漢大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，湖北 武漢430072)

0 引言

離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其物理意義抽象，公式表達(dá)復(fù)雜，學(xué)生掌握和應(yīng)用難度大[3～4]。中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T17626.7-2008和國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)IEC61000-4-7: 2002中推薦使用DFT進(jìn)行諧波檢測(cè)[2]。作為電氣與自動(dòng)化學(xué)院學(xué)生，掌握DFT的基礎(chǔ)基本理論，利用DFT解決實(shí)際工程問(wèn)題，是學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)課程的一項(xiàng)基本要求，也是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新科研能力的需要。

DFT直接在時(shí)域離散有限長(zhǎng)序列與頻域離散有限長(zhǎng)序列之間建立一種變換關(guān)系，可以用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析[1]。為了讓學(xué)生更好理解DFT 的基本概念，本文首先梳理了DFT與離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS(Discrete Fourier series)、離散時(shí)間傅里葉變換DTFT(Discrete Time Fourier Transform)之間的關(guān)系；然后引入電力系統(tǒng)典型的諧波分析案例，設(shè)計(jì)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，從而加深對(duì)DFT的理解和應(yīng)用。

1 DFT 理論教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

在對(duì)離散時(shí)間信號(hào)x(n)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，如果x(n)是周期的，周期為N，用DFS計(jì)算頻譜，其頻譜是周期為N的離散頻譜，如式(1)所示。

(1)

如果x(n)是非周期的，可以用DTFT計(jì)算頻譜，其頻譜是連續(xù)的，如式(2)所示。

(2)

DFT的定義如式(3)所示

(3)

式(3)中，x(n)是時(shí)域的離散時(shí)間信號(hào)，X(k)是x(n)的頻譜，兩者都是長(zhǎng)度為N的序列。

比較式(1)和式(3)，可以將DFT看作是將DFS的主值(0～N-1)抽取出來(lái)人為定義的一種變換，其目的就是為了能夠?qū)τ邢揲L(zhǎng)序列的頻譜進(jìn)行計(jì)算機(jī)分析[1]。從物理概念上講，DFS是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)推證得到的，符合實(shí)際信號(hào)特性的，因此它反映了一種客觀的物理現(xiàn)象；而DFT卻不然，因?yàn)閷?shí)際物理信號(hào)中不可能存在一個(gè)時(shí)域有限、頻域也有限的信號(hào)。比較式(2)和式(3)，DFT可以看作是將DTFT在一個(gè)周期的等間隔取樣，取樣間隔為2π/N。

2 工程案例設(shè)計(jì)

隨著智能電網(wǎng)的建設(shè)和大規(guī)模的新能源并網(wǎng)，越來(lái)越多的電力電子設(shè)備接入電網(wǎng)，在減少環(huán)境污染和增強(qiáng)電網(wǎng)功能同時(shí)也給電網(wǎng)帶來(lái)了大量諧波。

2.1 諧波信號(hào)數(shù)學(xué)建模

(4)

式中f0=50 Hz，m表示諧波的次數(shù)。

在對(duì)諧波進(jìn)行頻譜分析時(shí)，首先要對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行采樣，即令t=nTs，Ts為采樣間隔。采樣后的信號(hào)表達(dá)式如式(5)所示。

(5)

令2πf0Ts=Ω，Ω0為數(shù)字基波頻率，單位為rad。則式(5)可表示為：

(6)

本文為了說(shuō)明如何用DFT計(jì)算諧波信號(hào)的頻譜，并便于驗(yàn)證該算法的正確性，將諧波信號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)化，假設(shè)諧波信號(hào)如圖1所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(7)所示。從式(7)中可以看出，該信號(hào)包含了基波，3次諧波，5次諧波和7次諧波。

(7)

圖1 諧波信號(hào)

2.2 諧波信號(hào)的離散化處理

利用DFT對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，首先對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行采樣，變成離散時(shí)間信號(hào)。采樣關(guān)鍵參數(shù)是采樣頻率fs和采樣時(shí)長(zhǎng)T0(采樣點(diǎn)數(shù)N)。根據(jù)采樣定理，對(duì)于帶限信號(hào)，要求采樣頻率fs大于或等于信號(hào)最高頻率的兩倍[1]。在本算例中，要測(cè)量的最高次諧波為7次諧波，所以采樣頻率fs至少選取700Hz。如果采樣頻率為700Hz，采樣后的諧波信號(hào)如式(8)所示，這里數(shù)字基波頻率Ω0=π/7rad，采樣后得到的離散信號(hào)如圖2所示。

(8)

圖2 采樣后的諧波信號(hào)

采樣時(shí)長(zhǎng)T0(采樣點(diǎn)數(shù)N)與離散域頻率分辨率F0有關(guān)。頻率分辨率F0表示應(yīng)用離散傅立葉變換進(jìn)行頻譜分析時(shí)在頻率軸上所能得到的最小頻率間隔。根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知，采樣時(shí)長(zhǎng)T0與頻率分辨率的關(guān)系如式(9)所示：

試劑及耗材：美國(guó)MO Bio公司生產(chǎn)的Power-Soil DNA Isolation Kit、百邁克微生物高通量測(cè)序建庫(kù)試劑盒、美國(guó)BioLabs公司Phusion HF MM高保真PCR酶、德國(guó)Qiagen公司MinElute?PCR Purification Kit、美國(guó)Illumina公司Sample Preparation Kit、全式金Taq DNA Polymerase、北京華大公司的合成引物、西班牙瓊脂糖Agarose、全式金Marker DL5000、Goldview Nucleic Acid Gel Stain等。

(9)

電力系統(tǒng)諧波是工頻(50Hz)的整數(shù)倍，因此要求頻率分辨率為F0≤50Hz，則采樣時(shí)長(zhǎng)T0≥0.2秒，即至少采樣一個(gè)工頻周波，如果采樣頻率為700Hz，則采樣點(diǎn)數(shù)至少為N=T0/Ts=14。

3 基于DFT的工程案例分析

為了治理電網(wǎng)中的諧波污染，確保電網(wǎng)安全運(yùn)行，快速、準(zhǔn)確的諧波參數(shù)檢測(cè)是必不可少的。基于DFT的諧波測(cè)量方法是目前最普遍的電力諧波測(cè)量方法，也是許多新的諧波測(cè)量方法的基礎(chǔ)[5]。

3.1 DFT程序設(shè)計(jì)

DFT是為了利用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜計(jì)算而定義的傅立葉變換，因此程序設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)DFT工程應(yīng)用的前提。本課程建議學(xué)生掌握公式(3)基礎(chǔ)上用Matlab編程實(shí)現(xiàn)DFT的計(jì)算，程序如下。

function [Xk]=dft(x)

N=length(x);

n=0:N-1;

k=0:N-1;

Xk=0;

for n=0:N-1

Xk=Xk+(1/N)*x(n+1)*exp(-i*2*pi*k*n/N);

end

3.2 采樣頻率的選擇

當(dāng)采樣頻率為700Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為14時(shí)，計(jì)算出的頻譜如圖3所示。

圖3 采樣頻率為700 Hz時(shí)信號(hào)的頻譜

由DFT的對(duì)稱性可知，X(k)的幅值|X(k)|關(guān)于k=N/2偶對(duì)稱，幅值為原信號(hào)幅值的1/2，相角關(guān)于k=N/2奇對(duì)稱的，因此只需考察k=0～2/N，即頻率為0～350Hz范圍內(nèi)的頻譜分布。由圖3可知，基波、3次諧波和5次諧波的計(jì)算值與理論值相同，但是7次諧波的幅值和相位有誤差，產(chǎn)生了頻譜混疊。因?yàn)橹C波信號(hào)是正弦信號(hào)的疊加，正弦信號(hào)的頻譜是沖激函數(shù)，因此不能將諧波信號(hào)看作是帶限信號(hào)。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，建議一個(gè)周期至少抽樣3個(gè)點(diǎn)，即采樣頻率為正弦信號(hào)頻率的3倍。因此，對(duì)于上述諧波信號(hào)，采樣頻率可設(shè)為1200Hz，仍然采樣一個(gè)工頻周期，采樣24個(gè)點(diǎn)。由于DFT的對(duì)稱性，計(jì)算所得的頻譜關(guān)于600 Hz對(duì)稱，只考察0～600 Hz范圍內(nèi)的頻譜分布，頻譜如圖4所示。

圖4 采樣頻率為1200Hz時(shí)信號(hào)的頻譜

由圖4可以看出，當(dāng)采樣頻率為1200 Hz時(shí)，用DFT計(jì)算出的頻譜與理論之完全一致，沒有發(fā)生頻譜混疊。

本案例通過(guò)采樣頻率的選擇，讓學(xué)生對(duì)正弦信號(hào)的頻譜特點(diǎn)、采樣定理的應(yīng)用范圍和頻譜混疊現(xiàn)象有了更加直觀的理解。

3.3 采樣時(shí)長(zhǎng)的選擇

如果采樣頻率仍取1200，但是采樣點(diǎn)數(shù)取30，即采樣1.25個(gè)工頻周期，得到的頻譜如圖5所示。

圖5 非整周期采樣時(shí)信號(hào)的頻譜

從圖5可以看出，由于對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行非整周期采樣，發(fā)生了頻譜泄露。在用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，DFT具有隱含周期性[1]，在本例中，采樣30個(gè)點(diǎn)，DFT計(jì)算時(shí)認(rèn)為這30點(diǎn)是一個(gè)周期，進(jìn)行頻譜計(jì)算。因此在對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，一定要滿足采樣點(diǎn)數(shù)是整個(gè)周期[6]。國(guó)標(biāo)GB/T17626.7-2008《電磁兼容試驗(yàn)和測(cè)量技術(shù)供電系統(tǒng)及所連設(shè)備諧波、諧間波的測(cè)量和測(cè)量?jī)x器導(dǎo)則》推薦采樣時(shí)長(zhǎng)為10個(gè)周期，即0.2s，采樣頻率為3200Hz[2]。

本案例通過(guò)采樣時(shí)長(zhǎng)的選擇，讓學(xué)生對(duì)DFT隱含周期性、頻譜泄露和周期信號(hào)的采樣時(shí)長(zhǎng)問(wèn)題有具體的認(rèn)識(shí)，起到了開闊思路的良好作用。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)在課堂理論教學(xué)中引入實(shí)際工程實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握DFT的基本概念，并通過(guò)應(yīng)用DFT計(jì)算電力系統(tǒng)諧波信號(hào)的頻譜，分析DFT計(jì)算過(guò)程中的參數(shù)選擇問(wèn)題，使學(xué)生更直觀認(rèn)識(shí)頻譜混疊和頻譜泄露現(xiàn)象。教學(xué)實(shí)踐表明，將理論知識(shí)與工程實(shí)例相結(jié)合的授課方式，加深了學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力，收到了良好的教學(xué)效果。