用耦合模原理分析RLC串聯電路

陳希有, 齊 琛, 李冠林, 董維杰

(大連理工大學 電氣工程學院， 遼寧 大連，116023)

0 引言

在電網絡或其他系統中，廣泛存在著能量的往返傳遞現象。例如，電場能量與磁場能量、動能與勢能、一個系統的能量與另一個系統的能量等，它們可以振蕩性地相互傳遞和轉換。這種傳遞和轉換物理上叫做模式耦合。著眼于這種模式耦合的分析方法是一種叫做耦合模原理的方法。

早在1963年以前就有專門介紹耦合模原理的著作[1]。耦合模已在行波管、回波振蕩器、參量放大器、均勻傳輸線中得到不同程度的應用。耦合模原理為認識這類具有模式耦合的系統提供了有效的統一方法。

近些年，由于無線電能傳輸技術的研究熱潮，以及MIT學者在他們的研究文獻中使用了耦合模原理，使得耦合模又重新被人們所關注[2,3]。所謂無線電能傳輸，就是不通過物理接觸或電氣接觸，借助某種物理場或波，在一定距離內實現電能從發射系統到接收系統的傳遞。由于電磁現象的固有規律，在系統工作過程中，能量是往返傳遞的。因此無線電能傳輸系統剛好符合耦合模的研究對象。

本文結合筆者在無線電能傳輸技術中的研究，以及“電路理論”課程教學，以簡單的RLC串聯電路為例，介紹了用耦合模原理分析電路的方法和特點。如能將耦合模原理應用到更多的電路分析內容，定會給電路理論帶來一股別樣氣息。

1 耦合模的電路定義

在含有電容與電感的電路中，如圖1所示，由電容電壓和電感電流按下式組成的復數形式的狀態變量稱為耦合模，即

(1)

圖1 含有電容和電感的電路

由耦合模的上述定義，不難總結出耦合模的下列性質：

(1)耦合模是隨時間變化的復數。

(3)耦合模絕對值的平方等于它所聯系的電場能量與磁場能量的總和，即

(2)

(4)由耦合模按照下式可以分別求得電容電壓和電感電流，即

(3)

(5)由耦合模可以分別求得電場能量和磁場能量，即

(4)

(6)以下各式也可作為耦合模的定義：

(5)

(6)

(7)

當使用不同的定義時，由耦合模計算電容電壓、電感電流，以及元件和電路儲能時，計算公式是不同的，但都不難從耦合模的定義推導出相應的計算公式。

所謂耦合模分析，就是以耦合模為狀態變量，依據電路定律列寫狀態方程并求解。下面用具體電路說明用耦合模概念分析電路的方法和特點。

2 理想LC回路的零輸入響應

電路如圖2所示。以耦合模為狀態變量，列寫電路方程的一般步驟如下：

圖2 理想LC回路

(1)依據基爾霍夫定律，對電路列寫狀態方程得

(8)

(2)將式(3)代入式(8)，消去電容電壓和電感電流得

(9)

(3)整理后得到以耦合模為狀態變量的狀態方程

(10)

其中 表示電路的固有角頻率，即

(11)

方程(10)就是圖2電路的耦合模方程。式中的兩個方程不是聯立關系，可以很容易地單獨求解，得到

(12)

式中A+、A-由初始條件確定，即

(13)

而a+(0)、a-(0)又由電容電壓和電感電流的初值，并通過耦合模的定義來計算。例如，設u(0)=U，i(0)=0，則由耦合模定義即式(1)得

(14)

代入式(12)得耦合模的零輸入響應：

(15)

可見a±分別代表了兩個旋轉方向相反的矢量，如圖3所示。矢量長度相等且為常量，即

(16)

因為耦合模絕對值的平方就是總能量，所以長度為常量意味著在時間進程中，電路的總能量保持不變，這與理想LC回路的無損性質是一致的。

從電路課程可知，對于圖2所示的理想LC回路，開關接通后，電路立即按正弦規律變化，并且表達式為

(17)

由式(17)及耦合模的定義式(1)，也可得到式(15)的耦合模響應，即

(18)

由此驗證了式(15)的耦合模響應。

如果按式(2)計算電路的總能量，結果是

圖3 理想LC回路中耦合模的幾何意義

(19)

3 RLC串聯電路的零輸入響應

電路如圖4所示，將固有角頻率和阻尼因子分別記作：

(20)

圖4 RLC串聯電路

按照與圖2相似的分析步驟，先依據基爾霍夫定律列寫狀態方程：

(21)

將式(3)代入式(21)，整理后得到關于耦合模的齊次狀態方程，即

(22)

利用耦合模可以分析電阻消耗的功率，對此有多種途徑。

(1)利用耦合模求出電流，然后代入電阻功率公式，即

(23)

(2)利用電阻消耗的功率必然等于系統總能量隨時間減少的速率，得

(24)

pR=Ri2=R[(2/L)Wm(t)]=4ΓWm(t)

可見電阻消耗能量的速率與磁場能量成正比，這是因為二者都正比于電流的平方。

為求解耦合模方程(22)，可以利用拉普拉斯變換。在“自動控制原理”等課程中已經給出了求解齊次狀態方程的公式，即

(25)

下面按照公式(25)給出主要計算結果。

系數矩陣行列式為

(26)

特征根為

(27)

逆矩陣為

(28)

其中各部分分式的系數為

(29)

拉普拉斯反變換為

(30)

根據公式(25)得耦合模方程即式(22)的解為

(31)

根據耦合模的解答，進一步可以求得電場能量We(t)與磁場能量Wm(t)，及電路總能量W(t)隨時間的變化規律。圖5是根據式(31)和式(4)，并通過數值計算獲得的響應波形，它們與用傳統的電路分析方法獲得的波形完全一致。

圖5 用耦合模計算的電路儲能

由于方程組(22)的兩個方程中存在耦合項，即第一個方程中的Γα-和第二個方程中Γα+，因此需要聯立求解，求解過程略顯復雜。然而，對某些問題，這些耦合項的作用相對其他項很小，因此可以忽略它們。這樣就得到相對簡單的狀態方程，即

(32)

振蕩頻率足夠高，且R很小時可以這樣忽略。對無耦合項的齊次方程(32)，很容易求得解答為

(33)

由耦合模的解答即式(33)，可以求得系統總能量的近似變化規律，

W(t)=a+a-=A+A-e-2Γt=W(0)e-2Γt

(34)

總能量近似按指數規律減少，指數規律的時間常數為1/(2Γ)=L/R。用式(34)表示的能量隨時間的近似變化規律如圖6所示。雖然它與精確計算結果存在誤差，但由于忽略了耦合項，使得耦合模方程的求解變得極其容易。

圖6 用簡化耦合模方程計算的電路儲能

4 RLC串聯電路的正弦穩態響應

圖7是正弦激勵下的RLC串聯電路。根據基爾霍夫定律列出狀態方程，即

(35)

圖7 正弦電壓激勵下的RLC串聯電路

(36)

將耦合模的性質即式(2)及式(36)，代入方程(35)，并利用與式(20)相同的定義，得到正弦激勵下RLC串聯電路的耦合模方程，寫成矩陣形式就是

(37)

這是關于耦合模的非齊次狀態方程。為求其正弦穩態解，即微分方程的一個特解，可使用疊加定理按如下步驟進行。

(1)ejωt對應項單獨作用

此時耦合模方程是

(38)

由于激勵是ejωt形式的函數，根據微分方程性質，它的特解也具有相同的形式，因此令

(39)

其中B'和D'是需要待定的系數。待定方法是，將式(39)代入方程(38)，約掉等號兩邊的ejωt項后再簡單整理得到

(40)

下面給出求解方程(40)的主要結果。系數行列式：

(41)

代數余子式：

(42)

因此，待定系數為

(43)

(2)e-jωt對應項單獨作用

此時耦合模方程是

(44)

此時須令耦合模的特解

(45)

其中待定系數B"和D"，可以仿照B'和D'的求解過程來得到。但由于

(46)

B"=D'*，D"=B'*

(47)

根據耦合模計算出電路儲能的變化規律，如圖8所示。計算條件是R=2Ω，L=0.01H，C=0.1mF,ω=0.8ω0。

圖8 RLC串聯電路正弦穩態下儲能變化情況

當ω=ω0，即滿足諧振條件時，由電路理論早已知道，此時電場能量與磁場能量實現完全互補交換，電路總能量保持不變。這一結論也可由耦合模方程的解答得到驗證。當ω=ω0時，根據式(43)和(47)可知

B"=D'*=0

(48)

此時耦合模解答中只有一個指數項，即

(49)

上述耦合模的絕對值平方為常量，正好符合諧振時電路總儲能不隨時間變化的性質。

根據耦合模計算出諧振時電路儲能的變化規律，波形如圖9所示。

圖9 諧振條件下的電路儲能變化情況

在耦合模方程(37)中，由于存在耦合項，使得待定系數的求解變得比較復雜，需要求解二元聯立方程。如果忽略耦合項(R很小時可以這樣忽略)，則可簡化待定系數的計算。忽略后的耦合模方程為

(50)

其穩態解可以令為

(51)

仍然按照疊加定理的思路確定待定系數，但無需求解聯立方程，得到的待定系數分別是

(52)

并且D'=B"*，D"=B'*

(53)

根據簡化后的耦合模方程及其解答，近似計算諧振條件下電路儲能的變化規律，波形如圖10所示。總能量不再是常量。

圖10 諧振時電路儲能的近似計算

5 結語

本文介紹了用耦合模原理分析電路的方法和特點，結論如下：

(1)本文介紹的耦合模在電路中的基本概念，以及在RLC串聯電路分析中的應用。從分析RLC串聯電路這個簡單例子看，用耦合模分析暫態響應或正弦穩態響應，并沒有表現出明顯的優勢。但它以復數形式的狀態變量為待求量的認識問題的角度是獨特的，是對電路理論的一種豐富。

(2)在分析更多儲能元件的電路、含有耦合回路的電路、機電耦合系統、電熱耦合系統等，還有待深入研究。