用COMSOL實現圓波導中電磁波的可視化

衛 延， 鄭晶晶， 申 艷

(北京交通大學 1.全光網與現代通信網教育部重點實驗室，2.電子信息工程學院，北京100044)

0 引言

金屬圓波導具有低損耗，雙極化等特點，且加工方便，常用作天線饋線和微波諧振腔[1]。圓波導是常見的傳輸TE波和TM波的導波裝置，根據電磁場理論，圓波導中電磁場的各種分布形態，即模式場，具有解析解，但是各模式電磁場的空間分布復雜，從解析解中不能看出電磁場分布的宏觀概況與細節變化。為直觀描述圓波導中電磁場的性質，對其中的電磁場傳輸模式進行可視化是非常必要的。近年來已經有多種軟件可以用來對電磁場進行可視化，如Mathematica、Matlab[2～7]等。文獻[2～3]中作者用Mathematic繪制了圓波導TM01模式和TM22模式的橫截面圖，但沒有指出TE模式和TM模式圖的區別，也沒有繪制縱向圖。文獻[4]用Matlab對矩形波導TE01模式的電場矢量、磁場矢量和管壁電流的縱向圖，并制作了動畫，為圓波導模式的可視化提供了良好參照。

為達到理想的可視化效果，對于各模式，應制作以下幾種圖形或動畫：橫截面電磁場矢量分布圖、縱向中截面電場或磁場振幅圖、縱向中截面上的電場、磁場矢量圖，管壁電場、磁場矢量和管壁電流圖等。

COMSOL Multiphysics是COMSOL公司針對多物理場建模與仿真解決方案的旗艦產品，其核心是有限元計算方法，不僅具有強大的計算能力，而且有卓越的后處理能力，可用來對電磁場和電磁波進行計算仿真，繪制清晰精美的圖形，制作生動形象的動畫，是進行電磁場與電磁波可視化的一種有力工具[8～9]。本文利用COMSOL Multiphysics，以下簡稱COMSOL，對圓波導中的三種典型模式TE11、TE01和TM01進行三維仿真，用圖形和動畫描述其模式電磁場分布的精細結構。

1 圓波導的結構和電磁場模式

圓波導是橫截面為圓形的空心金屬波導管，結構如圖1所示，內半徑為a，管內填充介電常數為ε，磁導率為μ的理想介質。圓波導具有軸對稱性，宜采用圓柱坐標來分析。對于TM波，縱向磁場分量為零，電場分量為[1]：

(1)

(2)

(3)

圖1 金屬圓波導結構示意圖

(4)

對于TE波，縱向電場分量為零，各電場分量可表示為[1]：

(5)

(6)

Ez=0，

(7)

每一組m,n值對應一個P'mn，且kc=P'mn/a，kc是TE的截止波數，其中P'mn為m階第一類貝塞爾函數的一階導函數的根。利用式(8)可求出對應的傳播常數k'z，從而形成一種TEmn模式。

(8)

2 電磁場仿真參數設置

在COMSOL中選擇電磁波模組，進行3D建模，繪制圓柱體，設定正確的邊界條件后，進行數值計算即可求出圓柱體中任意點的電場和磁場分量。邊界條件的設置如圖2所示，圓柱面上邊界條件設置為PEC，即理想導體；電磁波輸入的底面設置為Port，即輸入端口；電磁波輸出的底面設置為PML，即理想匹配層，將電磁波完全吸收。對于TE11、TE01和TM01三種模式，Port邊界條件設置各不相同。

計算圓波導中的電磁場時，需要求解電場3分量或磁場3分量的波動方程。在COMSOL中，求解的是電場3分量Ex、Ey和Ez在空間各點的數值。Port邊界，就是設定電場初始值的邊界，在此邊界上設置電場分量的初始值。TE11模式，需要用到公式(5-7)，令m=n=1，將Eρ、Eφ進行坐標變換，轉換成Ex、Ey。為呈現真實的波傳輸效果，需要將電場分量乘以因子cos(ωt)。TE01模式的Port邊界設置類似于TE11模式，不同的是m=0,n=1。TE01模式的Port邊界設置方法與此類似，除了令m=0,n=1外，要用到公式(1)-(3)。

圖2 邊界條件設置

3 圓波導電磁場的可視化效果

3.1 TE11模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=6a，頻率f=12.07 GHz，計算得到某時刻基模TE11的電磁場分布如圖3所示，從中可觀察到電場、磁場分布的細節。圖3(a)為中截面上的電場強度的模值圖，呈現明顯的基模的波動形態；圖3(b)為縱向中截面上的電場、磁場矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭代表電場矢量，中截面內的箭頭代表磁場矢量，電場和磁場相互垂直；圖3(c)為管壁電流密度矢量和磁場矢量圖，圓波導內表面上沿著圓柱軸線方向的箭頭代表磁場矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，管壁電流和磁場相互垂直，為呈現好的圖形效果，圖中隱去了里側四分之一圓柱面上的電流和磁場矢量圖。

(a)電場強度的模值圖

將一個周期內各個不同時刻的圖形在時間軸上串聯起來后，制作成3D幀動畫，可更清楚、形象地展示出TE11模式的電磁場在圓波導中的傳輸過程的宏觀形態和細節變化。

3.2 TE01模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=3a，頻率f=25 GHz，計算得到某時刻模式的電磁場分布如圖4所示。圖4(a)為中截面上的電場強度的模值圖，呈現明顯的二階模的波動形態；圖4(b)為縱向中截面上的電場、磁場矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭表示電場，中截面內的箭頭表示磁場，電場和磁場相互垂直；圖4(c)為管壁電流和磁場矢量圖，圓波導內壁上沿著波導軸線方向的箭頭代表磁場矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，管壁電流和磁場相互垂直。圖4展示出了圓波導 模式的電磁場細節分布。將不同時刻的圖形串聯起來，可制成3D動畫，可更清楚、形象的展示出 模式的電磁場在圓波導中的傳輸過程的宏觀形態和細節變化。

(a)電場強度的模值圖

3.3 TM01模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=3a，頻率f=25 GHz，計算得到某時刻模式的電磁場分布如圖5所示。圖5(a)為縱向中截面上的磁場強度的模值圖，呈現明顯的二階模的波動形態；圖5(b)為縱向中截面上的電場、磁場矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭代表磁場矢量，中截面內的箭頭代表電場矢量，電場矢量和磁場矢量相互垂直；圖5(c)為管壁電流和磁場矢量圖，圓波導內壁上沿著圓柱軸線方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管磁場矢量，管壁電流和磁場相互垂直。從圖中可明顯看出TM01模式與TE01模式電場、磁場矢量在空間分布上的區別。根據圖5，選擇不同的時間點，串聯起來可做出3D動畫。

(a)磁場強度的模值圖

4 結語

利用COMSOL有限元分析軟件，可以對圓波導中的電磁場進行可視化，繪制清晰的圖形和制作生動、形象的動畫。這使學生對圓波導中的電場、磁場分布看的更準確、全面、細致，既開拓了視野，又加深了對波導模式和電磁場規律的理解，提高了學習興趣。與Matlab、Mathematic等相比，COMSOL繪圖效果更清晰絢麗，可對更一般的無解析解的電磁場問題進行可視化，功能更強，軟件使用更簡便，不需要編制程序，僅需設置適當的參數。COMSOL有望作為一種有效的輔助手段，在電磁場教學領域廣泛采用。