窄帶信號波達方向估計仿真實驗

廖昌俊, 潘 曄, 劉繼芝

(電子科技大學 1.信息與通信工程學院，2.電子科學與工程學院，四川 成都 611731)

0 引言

陣列信號處理是信號處理領域的重要分支，它由以一定形式排列且分布在空間不同位置的若干個傳感器組成[1～4]。傳感器陣列中的所有陣元感應來自空間中的信號，對信號進行特定的處理，使感興趣的目標信號得到強化，無用的干擾和噪聲信號得到抑制，提取到有用的信號參數。陣列信號處理廣泛應用于眾多軍事及國民經濟領域，如雷達、聲納、通信以及生物醫學等。

波達方向估計作為陣列信號處理一個重要的研究分支，廣泛地應用于軍事及民用領域，成為研究的一大熱點[5,6]?，F有的傳統窄帶信號波達方向估計算法都是根據陣列輸出數據的二階統計特性對信源進行波達方向估計的，其需要較多的采樣快拍數據來保證測向精度，并且對噪聲很敏感。

1 遠場窄帶測向模型建立

如果信號帶寬遠小于其中心頻率，則該信號稱為窄帶信號，其滿足：

(1)

式中，WB為信號帶寬，f0為中心頻率。通常將正弦信號和余弦信號統稱為正弦型信號，正弦型信號是典型的窄帶信號。窄帶信號表示為

(2)

式中，a(t)為慢變幅度調制函數，θ(t)為慢變相位調制函數，ω0=2πf0為載頻。一般情況下a(t)和θ(t)包含了全部有用信息。

噪聲模型

設陣元接受到的噪聲均為平穩零均值高斯白噪聲，方差為σ2。各陣元間的噪聲互不相關，且與目標源不相關。這樣噪聲向量的二階矩滿足

(3)

其中

陣列天線統計模型的前提及假設

信號通過無線信道的傳輸情況是極其復雜的，其嚴格數學模型的建立需要有物理環境的完整描述，但這種做法較復雜。為了得到一個比較有用的參數化模型，必須簡化有關信號傳輸的假設。

關于接收天線陣列的假設：接收陣列由位于空間已知坐標處的無源陣元按一定的形式排列而成。假設陣元的接收特性僅與其位置有關而與其尺寸無關(認為其是一個點)，且陣元都是全向陣元，增益均相等。相互之間的互耦忽略不計。

關于空間源信號的假設：假設空間信號的傳播介質是均勻且各向同性的，空間信號在介質中將按直線傳播。同時假設陣列處于空間信號輻射的遠場中，所以空間源信號到達陣列時可被看作一束平行的平面波?？臻g源信號到達陣列各陣元在時間上的不同時延，可由陣列的幾何結構和空間波的來向決定。空間波的來向在三維空間中常用仰角θ和方位角φ來表征。

陣列天線模型

(a) 窄帶模型

(b) 增益和移相器的級聯圖1 一般窄帶波束形成器

均勻線陣

線陣如圖2所示。其中有N個陣元，位于z軸上，具有均勻間距d。把這種陣列稱為均勻線性陣列，且陣列的中心放在坐標系的原點上。

圖2 放置在z軸上的線陣

陣元位置為

(4)

(5)

矢量vk(K)包含了陣列的所有空間特征，稱為陣列流形矢量。為了確定陣列的流行矢量vk(K)，把式(4)和式(5)代入式(6)，得：

(6)

進一步得到

(7)

式(7)中

(8)

(9)

是波數的幅度，線陣在φ方向是沒有分辨能力的。

2 基于塊稀疏算法的窄帶測向仿真

最小范數算法[10～12]BP(Basis Pursuit)和正交匹配追蹤算法[13～16]OMP(Orthogonal Matching Pursuit)，都是基于單快拍的測向算法，測向精度受限于快拍的限制而無法進一步提高，且未能充分利用稀疏信號的統計信息。為此，使用塊稀疏(Multiple Measurement Vectors)的方法來恢復稀疏信號。

壓縮感知理論是基于稀疏信號(或者更廣義地說是可壓縮信號)這一類特殊信號而提出的釆樣與重構理論。對于一個基矩陣Φ∈Rn×n，其各列線性獨立，若一個向量x∈Rn可由這個基矩陣完全表示，即

(10)

最具挑戰的任務是當信號為稀疏向量且非零值位置完全未知時，如何通過少于n的釆樣點數來重構系數向量s。壓縮感知理論正是針對這個問題應運而生，通過構造采樣矩陣使利用遠少于n的釆樣點數就可以精確重構出系數向量s。

壓縮感知的釆樣過程可由式(11)所示：

(11)

其中Ψ∈Rn×n,m

塊稀疏BP算法仿真

根據窄帶信號模型，從N元線陣上得到的有M個入射信號源的K快拍信號為

(12)

基于遠場窄帶獨立目標信號源的數學模型為X(t)=AS(t)+N(t)，由此可以得到天線陣列接收數據的協方差矩陣R，并對其進行特征值分解。

(13)

Us是由大特征值λi,i=1,2,…，M相對應的特征矢量張成的目標信號子空間，而Um則是由小特征值λi,i=M+1,M+2,…，N相對應的特征矢量張成的噪聲子空間。

采樣協方差矩陣為：

(14)

設置空間搜索分辨率為1，根據陣列的信息建立稀疏重建的字典：

(15)

采用多快拍的BP算法重建信號：

(16)

仿真參數：c=3×108m/s，陣元數為8個，1000快拍，陣元間距與波長之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°,設為多目標，目標方向為-43°,49°,如圖3所示。

圖3 非相干信號測向

3 相干信號塊稀疏算法測向仿真

由于在塊稀疏算法重建信號的過程中需要用到信號的協方差矩陣，而信號的相干性會導致協方差矩陣不滿秩從而無法估計出信號的波達方向。

仿真參數：c=3×108m/s，陣元數為8個，1000快拍，陣元間距與波長之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°，設為多目標，目標方向為-31°,25°，如圖4所示。

類似于傳統的窄帶相干信號測向算法，先對信號的協方差矩陣進行空間平滑預處理使得協方差滿秩。

空間平滑技術可以解相干，陣列陣元數為M，信源數為N，將陣列劃分為K個相互重疊的子陣列，子陣列中的陣元數相等，且子陣列陣元數m>N且K+m=M+1 。每個子陣列組成結構相同，子陣列劃分方案如圖5所示：

陣元{1,2,…,m}構成子陣列1，陣元{2,3,…,m+1}構成子陣列2，從左到右以此類推。利用向量形式表示子陣列的接收數據：

圖5 前向平滑子陣列

(17)

(18)

可得子陣的接收數據協方差矩陣為：

(19)

上式中，Rk為m×m維矩陣，空間平滑法處理后數據協方差矩陣定義為：

(20)

為了與前后向空間平滑區分，上式所描述的空間平滑又稱前向空間平滑。可以證明，若 則可以保證空間平滑協方差矩陣為滿秩矩陣。利用空間平滑法將協方差矩陣恢復為滿秩后，就可以利用特征空間原理分離出等效的信號子空間與噪聲子空間。從推導過程可以看出空間平滑法的有效陣元數減少，是以損失陣列孔徑為代價換取解相干能力的，可分辨的入射信源數目最多為M/2。

為了減少陣列孔徑損失，在前向空間平滑基礎上發展出了前后向空間平滑算法。前后相空間平滑增加了后向空間平滑，后向空間平滑與前向空間平滑的子陣構成方案相似，與前向空間平滑法方向相反，抽取陣元組成子陣列。后向平滑子陣列構成方案如圖6所示：

空間平滑子陣列：

(21)

圖6 后向平滑子陣列

(22)

前后向空間平滑法輸出協方差矩陣為：

(23)

對于前后向空間平滑法，前向子陣與后向子陣的結構是一致的，子陣總數為2K，實際上只需要進行前向子陣抽取就可以得到協方差矩陣?？梢宰C明，若子陣總數大于等于入射信號總數，即 2K≥N時，可以保證輸出協方差矩陣為滿秩矩陣。所以前后向空間平滑算法可分辨的入射信源數目最多為2M/3。

空間平滑是一種解相干的經典算法，以空間平滑算法發展出基礎更多的改進算法如空間差分算法、虛擬空間平滑算法、加權空間平滑算法。

對降秩后的協方差矩陣進行奇異值分解，求出信號子空間Us。由于協方差矩陣已進行降秩處理，等價于所建立稀疏信號的字典時需要根據平滑預處理后的陣列信息而不是原先的陣列信息。設平滑預處理后的陣列的子陣列數為m，則字典D為：

(24)

塊稀疏重建模型為：

(25)

解出的稀疏矩陣S采用同樣的方式處理即可得出波達方向。設計代碼模塊如圖7：

圖7 仿真代碼模塊

設置仿真參數：c=3×108m/s，陣元數為8個，1000快拍，陣元間距與波長之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為0.1°。

設為多目標，目標方向為-31°,25°。

圖8 相干信號解相干后測向

相干非相干信號塊稀疏混合測向仿真

設置仿真參數：c=3×108m/s，陣元數為18個，1000快拍，陣元間距與波長之比為0.5，信噪比為10dB，分辨率為1°。假設目標為多目標，非相干目標方向為-43°,-49°；相干目標方向為-31°,25°。

圖9 混合信號解相干后測向

通過仿真仿真實驗，可得到空間平滑與處理的塊稀疏相干測向也可用于相干非相干混合測向。

4 結語

陣列信號處理是信號處理領域的一個重要 分支，而其中的波達方向估計是學生學習的一個難點。學生通過本仿真實驗，能夠學習分析傳統窄帶測向的不足。并利用波達方向對于全空域角度維的稀疏特性，將壓縮感知的算法應用到DOA估計中來。

學生通過仿真試驗，能夠學習建立遠場窄帶測向的噪聲模型，陣列天線模型和均勻線陣。同時學生在對相干信號塊稀疏算法測向和相干非相干信號塊稀疏混合測向的仿真實驗中，學習到了如何能夠恢復基矩陣的稀疏系數，從而得到DOA估計值。通過本仿真實驗，可以進一步加強學生對相關知識的理解和應用。