關于五維Myers-Perry黑洞隧穿輻射的新處理

陳冬梅 李春艷

摘? 要：從有質量粒子的Lagrangian作用量出發，采用Euler-Lagrange變分原理在一般（非拖曳）坐標系下對五維Myers-Perry黑洞中的類時和類光測地線方程作了自洽的、統一的推導，使得對轉動黑洞隧穿輻射的研究不再局限于拖曳坐標系。緊接著采用Parikh-Wilczek的半經典隧穿方法，對有質量粒子在Myers-Perry黑洞視界附近的隧穿輻射重新做了研究，并給出了其隧穿幾率。

關鍵詞：Myers-Perry黑洞;隧穿輻射;測地線方程

中圖分類號：P145.8 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）18-0116-04

Abstract： Starting from the Lagrangian action of mass particles， the Euler-Lagrange variational principle is used to make a self consistent and unified derivation to the time-like and light like geodesic equations in the five dimensional Myers-Perry black hole in the general （non towed） coordinate system， so that the research on the tunneling radiation of rotating black hole is no longer limited to the towed coordinate system. Then， using Parikh-Wilczek's semiclassical tunneling method， the tunneling radiation of mass particles near the field of view of Myers-Perry black hole is re studied， and its tunneling probability is given.

Keywords： Myers-Perry black hole; tunneling radiation; geodesic equation

0? 引? 言

自廣義相對論建立以來，人們根據Einstein引力場方程，求得了黑洞的精確解。在經典理論中，因為在黑洞的附近萬有引力強大到甚至連光也不能逃逸出來。這就是最初其名稱的由來。在1974年，Hawking輻射[1]從理論上證明了黑洞不再是完全黑的，Hawking通過考察一顆恒星在塌縮形成黑洞過程中的量子隧道效應，得到黑洞從其視界會發出理想的黑體熱輻射。由于黑體輻射不攜帶任何信息，當黑洞完全蒸發后就會得到所謂的信息丟失佯謬。由此對 Hawking輻射人們提出了各種不同的方法。2000年，Parikh和Wilczek[2]采用半經典的隧穿圖像研究了Schwarzschild黑洞中無質量粒子的 Hawking 輻射，得到了黑洞輻射的隧穿幾率，給出了對Hawking輻射譜的修正。他們在考慮到能量守恒和時空背景幾何可以有一定漲落的情況下，證明了黑洞的輻射譜不是純熱譜，提供了一個解決信息丟失問題的可能途經。隨后，人們就把P-W半經典隧穿方法推廣到有質量粒子的Hawking輻射[3]和轉動黑洞情形，例如：Kerr，Kerr-Newman，Kerr-Sen[4-10]和EMDA[11]黑洞。

在推廣的過程中出現以下兩個問題。一方面，采用Parikh-Wilczek半經典隧穿方法研究隧穿輻射時，人們通常采用類似于Painlevé-Gullstrand坐標系。而并非所有的轉動黑洞已知解都已被給出相應的類Painlevé-Gullstrand坐標形式，在文獻[8]中，作者以三維BTZ黑洞為例講清楚了應該如何做坐標變換得到正確的度規的類Painlevé 坐標表示。本文的第一個工作就是利用坐標變換給出了五維Myers-Perry黑洞的類Painlevé-Gullstrand坐標形式。此外，人們對轉動黑洞隧穿輻射還需要進一步作拖曳坐標變換，在與黑洞共轉動的拖曳坐標系中推導類光測地線，因為在非拖曳坐標系中非常難以處理。廣義協變性原理要求物理規律在任意坐標變換下保持形式不變，依據這一原理可以斷定物理規律不應依賴于具體坐標系的選擇。Hawking輻射是黑洞的一個普適的量子效應，我們有理由相信在一般的非拖曳坐標系中研究黑洞隧穿輻射可以與采用拖曳坐標系時得到的結果相同。另一方面，在研究（轉動）黑洞的隧穿輻射中推導各種粒子的測地線方程直接影響到對黑洞視界附近處出射粒子的隧穿幾率計算的數學復雜程度，在文獻中[12]表明類時和類光測地線方程都可以利用Euler-Lagrange變分原理對Lagrangian作用量作最小變分得到。在本文之前，文獻[13]也采用了同樣的思想，以Kerr黑洞為代表性的例子，采用Lagrange力學中的分析方法對有質量粒子和無質量粒子的測地線運動方程在拖曳坐標系和一般的非拖曳系中做統一的推導，然后對Kerr黑洞的隧穿輻射在拖曳坐標系中重新做了進一步的研究，其結果與文獻[8]中一般的非拖曳系是完全一樣的結果，表明對黑洞輻射的研究不再局限于拖曳坐標系。

本文將上述工作推廣到五維轉動Myers-Perry黑洞中有質量粒子的隧穿輻射情形，采用Lagrange力學中的變分法在一般的坐標系中重新推導出了有質量粒子的測地線方程，并在考慮了自引力修正的條件下，在一般的非拖曳坐標系中給出了Myers-Perry黑洞Hawking輻射的隧穿幾率。

1? Myers-Perry黑洞解的新度規形式和有質量粒子的測地線方程

1.1? Myers-Perry度規的新形式

1986年，Myers 和Perry首次得到了具有兩個獨立角動量的五維旋轉黑洞的度規[14]。在1999年霍金給出了具有負宇宙常數的解[15]。在Boyer-Lindquist坐標中，Myers-Perry度規的線元可以被寫成這一種優雅的形式：

為了消除其視界處的表觀坐標奇異性，需要完成適當的坐標變換，仿照文獻[8]，這里先引入以下坐標變換：

然后，便得到了五維轉動 Myers-Perry黑洞解的一種新的類Painlevé-Gullstrand 坐標形式，其線元的新形式為：

經過坐標變換后的線元描述的黑洞時空是一般的非拖曳坐標系，其優越性表現在于已完全消除了視界的坐標奇異性。

1.2? 有質量粒子的測地線方程

在一般的五維轉動Myers-Perry黑洞時空中，類時與類光測地線都至少存在4個守恒的積分常數[12]，用它們完全可以確定經典粒子的運動方程，所以本小結我們用變分法從Lagrangian作用量中導出積分常數，即與三個Killing矢量分別對應的能量E和角動量?1，?2以及哈密頓，然后利用它們推導出有質量粒子的測地線方程。其中，Hamiltonian量為一守恒量H=-m0k/2，它等價于類時測地線的4-速度歸一化條件。

我們首先將從黑洞的類Painlevé-Gullstrand坐標形式出發，在此坐標系中，我們考慮質量為m0的粒子的經典作用量：

其中，t和φ，ψ是循環坐標，分別對應了三個守恒積分常數Pt=E和PФ=?1，P?=?2。經過 Legendre變換，可得到有質量粒子的 Hamiltonian 為：

至此，我們已采用Myers-Perry度規的新的類Painlevé-Gullstrand坐標表示（4）并在一般（非拖曳）坐標系下統一地推導出該時空中有質量帶電粒子的測地線方程，式（17）～（19） 的無質量極限m=0或k=0即為類光粒子的測地線方程。

2? 事件視界處粒子的隧穿幾率

這一小節我們使用Parikh-Wilczek半經典隧穿圖像方法來研究Hawking輻射。粒子的隧穿過程發生在黑洞視界附近，在黑洞外視界內產生出一對正能粒子和負能粒子，其中正能粒子將通過隧穿效應從黑洞外視界逃離至無窮遠處，而負能粒子則被黑洞吸收。由于有粒子隧穿出黑洞，黑洞的外視界面會發生收縮，收縮前后的視界半徑ri和rf對應于隧穿勢壘的兩個轉折點。考慮到有質量粒子間的自引力作用，根據能量守恒和角動量守恒的條件下，我們保持時空的總能量固定而允許黑洞質量發生漲落。當黑洞輻射出能量為ω=m0的粒子后黑洞的質量和角動量分別為（M-ω）和（M-ω）a。

（37）即為Myers-Perry黑洞在輻射有質量帶電粒子前后的熵差。

我們在對Myers-Perry黑洞的隧穿輻射進行重新研究的過程中，利用了Parikh-Wilczek半經典隧穿方法，得到了有質量粒子在Myers-Perry黑洞外視界輻射出來的隧穿幾率，其結果與其他方法的一致。

3? 結? 論

本文在給出五維Myers-Perry黑洞的（一般非拖曳坐標系）度規新形式后，運用Lagrange作用量變分原理對該時空中有質量帶電粒子的測地線方程做了新的推導。然后采用Parikh-Wilczek半經典隧穿方法對五維Myers-Perry黑洞的隧穿輻射重新做了研究，給出了隧穿幾率。結果表明，對轉動黑洞隧穿輻射的處理不僅可在任何坐標系中完成，而且也不再局限于采用拖曳坐標系。

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作者簡介：陳冬梅（1998.01—），女，漢族，四川南充人，碩士研究生在讀，研究方向：理論物理。