三維Zakharov-Kuznetsov方程解的衰減性

種鴿子,于浩洋,王海權,付英

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

本文考慮三維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程的初值問題:

三維ZK方程是Korteweg-de Vries(KdV)方程的三維推廣,該方程是由文獻[1]從含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子體中推導出來的.文獻[2]得出,該方程描述的是在磁化等離子體中離子聲波的傳播.

關于指數衰減解,文獻[8]證明了:對于β>0,若初值

則對應的KdV方程初值問題的一個全局解u滿足如下估計

和

本文的主要目的是研究初值問題(1)解的指數型衰減性,類似于已在文獻[8]中討論的KdV方程解的指數衰減性,現將空間維數升高到三維,即對于三維ZK方程的解是否也有同樣的衰減性呢？

2 衰減性

考慮一個一般的三維ZK方程:

顯然,初值問題(2)滿足如下守恒律

利用文獻[8]中類似的方法,可得下面結果.

其中

同理可得

將上面所有結果代入(6)式可得

其中[,]為交換子.在(6)式中,令s=0可得

其中

其中a3被定義為

將上面的估計代入(8)式可得

因為eb(x+y+z)是無界的權函數,直接證明相當困難,所以首先用有界的權函數來逼近eb(x+y+z).令

其依賴于參數ε>0.利用輔助函數

在 (8)式中,令p=q2,利用(14)式及px=py=pz,可得

由Gronwall不等式可得

因為K 不依賴于ε,當ε↓0時對上式取極限,由單調收斂原理可得

|rx|=|ry|=|rz|

又由(13)式知0

由(16)式可得

進而可得

對上式關于時間t積分可得

因為K 不依賴于ε,當ε↓0時,對上式取極限,由單調收斂原理可得

同理可證

于是,定理2.1得證.