關于一類分數階捕食者-食餌的動力學分析

龍馳宇

西北民族大學數學與計算機科學學院 甘肅 蘭州 730000

引言

分數階微分方程將導數推廣至任意階。近年來，分數階微分方程多應用于各類領域中。Huisen Zhang[1]等人研究了由于對捕食者的恐懼而導致的反捕食者行為的影響，指出恐懼效應不僅可以降低正平衡點的捕食者密度，而且還可以通過排除周期解的存在來穩定系統。Xuebing Zhang[2]等人研究了一類具有非光滑連續閾值收獲的時滯擴散捕食系統的動力學分析，研討了該模型內部均衡的存在性，由擴散和延遲引起的Hopf分支，以及不連續Hopf分支。從此之后，生態學家和數學家們就已經發現了許多更復雜且更現實的模型。S. Chakraborty, S. Pal等人研究了一個簡單的捕食者-食餌模型的相互作用，其中捕食者種群服從如下收獲：

然而，一個物種的收獲保持不變或隨著密度的變化而線性變化是不太現實的，因為一旦人口x達到閾值T，由于時間延遲和資本限制等原因，管理者很難立即以速率h收獲。Jorge Rebaza提出了一個連續閾值策略收獲函數，如下所示：

受上述啟發，我們將考查如下簡單的捕食者-食餌模型的相互作用，模型如下

分數階微分方程由于能夠精確描述不同的非線性現象，近年來受到了廣泛的關注和重視。而基于分數階微分系統的模型的發展過程最近在動力系統的研究中得到普及。

基于這些理論，我們將研究分數階微分下簡單的捕食者-食餌模型在時滯擴散的情況下系統的存在性、穩定性。

文章的結構如下，我們將展示模型需要用到的預備引理；我們給出了模型的存在性、穩定性；我們介紹了數值模擬方法，進行了簡要的討論。

1 預備知識和引理

首先介紹分數階微分的相關定義及理論。

定義1 設分數階系統：

引理1 考慮如下相稱的分數階系統：

2 平衡的存在性和穩定性

3 數值模擬

為了求解系統（1.4），我們將使用由Atanackovic和Stankovic引入的數值方法來求解單線性分數階微分方程（PDE）。如下圖所示。

圖1 系統（1.4）相圖

4 結束語

本文介紹了一個帶有時滯擴散的分數階捕食-食餌模型，而且還研究了該數學模型的相關數學行為，還了解其滅絕平衡和邊界平衡的穩定性和存在性。我們研究了系統所有可行平衡態的局部穩定性行為。圖示表明了時滯因子會影響模型的穩定性，加入時滯因子給系統的穩定帶來了一定的影響。