探秘平面圖形中的幾個最小值

鞠峰

【摘要】新編人教版數學八年級（上冊）85頁，北師大版數學七年級（下冊）196頁“試一試”及浙教版八年級上冊50頁例2，都介紹了“最短路徑”問題，又稱“將軍飲馬”問題，而近幾年的中考試題中就經常出現求“線段和的最小值”問題.這類題型綜合性強、靈活性大，相當一部分考生感到非常棘手，較易丟分.事實上，如果考生能抓住這類問題的特征及解題方法，就會發現這類問題其實并非像想象的那么難.本文以2019年部分省市的中考題為例分類談談如何求“線段和的最小值”.

【關鍵詞】探秘;平面圖形;最小值

一、在三角形中求線段和的最小值

圖1例1 如圖1所示，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD邊上的動點，E是AC邊上一點.若AE=2，則EM+CM的最小值為.（運城市）

分析 因為AD是BC邊上的中線，所以由等邊三角形的對稱性知CM=BM，要求EM+CM的最小值，就是求EM+MB的最小值，由“兩點之間，線段最短”知：當點M在線段BE上時，BM+EM最小，從而“化折為直”為線段BE的長度即可.

解 如圖1所示，因為CM=BM，所以EM+CM=BM+EM.當點M在BE上時，BM+ME=BE.過點E作EF⊥BC，垂足為F.因為AE=2，AC=6，所以EC=4，在Rt△EFC中，因為∠ECF=60°，所以∠FEC=30°.又因為EC=4，所以FC=12EC=2.EF=EC2-FC2=42-22=23.因為BC=6，FC=2，所以BF=4.在Rt△BEF中，BE=BF2+EF2=42+（23）2=28=27.故填27.

二、在正方形中求線段和的最小值

圖2例2 如圖2所示，正方形ABCD的邊長為8，點E，F分別在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是對角線AC上的一個動點，求PE+PF的最小值.（麗江市）

分析 正方形的對角線所在的直線是其對稱軸，因此本題可作出點E關于AC的對稱點E′，根據對稱性及兩點之間線段最短的性質，問題即可解決.

解 如圖2所示，作點E關于AC的對稱點E′，根據對稱性，點E′必在AD上，連接E′F交AC于一點，這一點即為滿足題設的點P.通過“化折為直”，此時PE+PF的最小值恰好為線段E′F的長，故作E′G⊥BC于點G，則E′G=AB=8，FG=8-3-1=4，由勾股定理求得E′F=82+42=45，即PE+PF的最小值為45.

三、在圓中求線段和的最小值

圖3如圖3，已知BC=6 cm，以BC為直徑作⊙O，D是半圓BC的一個三等分點，E是半圓BC的一個六等分點，P是直徑BC上一動點，連接DP，EP，則DP+EP的最小值是cm.（西寧市）

分析 圓的直徑所在的直線即為圓的對稱軸，因此本題可作出E點關于BC的對稱點E′，再依據軸對稱性及兩點之間線段最短的性質求出最小值.

解 如圖3，根據圓的軸對稱性，作點E關于BC的對稱點E′，故EP=E′P，且點E′在圓上，故線段DE′的長即為DP+EP的最小值，在這里，弧EC的度數為30°，則弧E′C的度數也為30°，弧DE′的度數為90°，故圓心角∠DOE′=90°.從而可得△DOE′為等腰直角三角形，即DE′=2OD=32，因此DP+EP的最小值是32 cm.

四、在等腰梯形中求線段和的最小值

圖4例4 如圖4，已知四邊形ABCD中，BD=4，直線MN為四邊形ABCD的對稱軸，P為MN上一動點，求PC+PD的最小值.（錦州市）

分析 由于MN為四邊形ABCD的對稱軸，故連接對角線AC或BD均交于MN上，即交于P點，因此PA=PD，從而可知PC+PD的最小值即為線段AC之長，也為BD之長.實現了折線PC+PD轉化為線段AC或BD的變化.

解 如圖4，連接AC，交MN于P，再連接PD，則PD=PA，則PC+PD=PC+PA.易知BD=AC，所以（PC+PD）min=BD=4.

五、在角中求線段和的最小值

圖5例5 如圖5，已知∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動點，求△PQR周長的最小值.（棗莊市）

分析 點P是角內部的一個定點，要在角的兩邊各確定一點使三點連成的三角形周長最小，只需將這三邊的和轉化為以兩定點為端點的一條線段，求出線段長度即可.

解 分別作點P關于OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2，易知RP=RP2，QP=QP1.OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而PR+RQ+QP=RP2+RQ+QP1=P1P2，從而實現了化三線段之和為直線段P1P2的長.因此P1P2=OP21+OP22=102+102=102，這就是△PQR周長的最小值.

六、在直角坐標系中求線段和的最小值

圖6例6 如圖6，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B（6，4），點C（0，4），點D（6，2），P（2，4）.點N為線段AO上的動點，又有點M為線段CO上的動點，求線段PM+MN+ND的最小值.（洛陽市）

分析 要求線段PM+MN+ND的最小值，只要作出P點關于y軸的對稱點P′，作出D點關于x軸的對稱點D′，使MN在P′D′上即可.

解 如圖6所示，作點D關于x軸的對稱點D′，作點P關于y軸的對稱點P′，此時由軸對稱性知MP′=MP，ND=ND′，連接P′D′，分別交y軸、x軸于M，N兩點，此時線段PM+MN+ND的最小值=MP′+MN+ND′=線段P′D′的長度，∴在Rt△P′BD′中，P′D′=BP′2+BD′2=82+62=10，因此線段PM+MN+ND的最小值為10.

七、在菱形中求線段和的最小值

圖7例7 在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，

P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是.（赤峰市）

分析 如圖7，在菱形ABCD中，點B與點D關于AC對稱，設DE交AC于點P′，則點P運動到點P′時，PE+PB的最小值就是線段DE的長，用勾股定理可求出DE的長.

解 因為在菱形ABCD中，AD=AB，∠BAD=60°，

所以△ABD是等邊三角形，因為E是AB的中點，

所以∠DEA=90°，AE=12AB=1，

所以DE=AD2-AE2=

22-12=3，

所以PE+PB的最小值是3.

八、在矩形中求線段和的最小值

圖8例8 如圖8，矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，

若在AC，AB上各取一點M，N，使得MB+MN的值最小，求這個最小值.（湖州市）

分析 要使BM+MN的值最小，應設法將折線“拉直”，于是從作出B點關于AC的對稱點入手.

解 如圖8，作B關于AC的對稱點B′，連接AB′，交DC于P，則點N關于AC的對稱點為AB′上的N′點，這時BM+MN的最小值等于BM+MN′的最小值，顯然等于B到AB′的距離BH.連接BP，則S△ABP=12×20×10=100（cm2），設AP=x，則PC=x，DP=20-x.由x2=102+（20-x）2，解得x=12.5.

過點B作BH⊥AP于H.

∵S△ABP=12·AP·BH=100，∴BH=100×212.5=16（cm）.∴BM+MN的最小值為16 cm.

綜上所述，求線段和的最小值問題，用得較多的依據是“軸對稱性質和兩點之間線段最短的性質”，有時還可依據“直線外一點與直線上各點的所連線段中垂線段最短”求解.

附練習題

圖91.如圖9，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°，E是AB的中點，當F在對角線AC上時，FE+FB的最小值是.（宿遷市）

（提示：根據菱形的性質，可知B，D兩點關于直線AC對稱.連接DE交AC于點F，則FE+FB=FE+FD=DE.因為∠ABC=120°，所以∠DAB=∠ABD=60°，所以△ABD是正三角形，不難求出DE=33，即FE+FB的最小值是33.）

圖102.如圖10，已知點A是半圓MN上的一個三等分點，點B是弧AN的中點，點P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則PA+PB的最小值是 .（北海市）

（提示：作點A關于直線MN的對稱點A′，根據圓的軸對稱性可知A′在⊙O上.連接A′B交MN于點P.不難求出弧A′B的度數等于90°.在Rt△A′OB中，OB=OA′=1，所以A′B=2，即PA+PB的最小值是2.）

圖113.已知點A是銳角∠MON內的一點，請分別在OM，ON上確定點B、點C，使△ABC的周長最小.如圖11，若∠MON=30°，OA=8，則△ABC的周長的最小值是.（溫州市）

（提示：仿例5解，△ABC的周長的最小值是8.）

圖124.如圖12，BC=6，以BC為邊作△ABC，點D，E分別是AB，AC邊的中點，且BC邊上的高為4，BC邊上有一動點P，使得△PDE周長最小，請求出△PDE周長的最小值.（信陽市）

（提示：作點E關于BC的對稱點E′，求出DE′=5，即可求出△PDE周長的最小值.）

圖135.如圖13，在邊長為1的正方形ABCD中，點M，N，O，P分別在邊AB，BC，CD，DA上.如果AM=BM，DP=3AP，求MN+NO+OP的最小值.（泉州市）

（提示：作點P關于CD的對稱點P′，作點M關于BC的對稱點M′，P′M′分別交BC，CD于點N，O，則MN+NO+OP的最小值=P′M′=1+342+1+122=854.）

【參考文獻】

[1]于志洪.用拋物線軸對稱性求線段和的最小值[J].初中生天地，2017（7）：90-93.

[2]于志洪.應用軸對稱變換求線段和的最小值[J].現代中學生，2019（4）：16-18.

[3]胡錦秀.智用軸對稱巧求最小值[M].初中數學一點通，2016（2）：12-14.