二維浮體在聚焦波浪作用下的高頻共振響應研究

朱顯玲,吳英友,齊江輝

(1.武漢船舶職業技術學院 船舶與海洋工程學院, 武漢 430050) (2.廣東海洋大學 海洋工程學院, 湛江 524088) (3.武漢第二船舶設計研究所 海洋核動力平臺研究室, 武漢 430064)

海洋結構物的劇烈橫搖運動是導致船舶或平臺傾覆的主要原因,因此相對于其它五個自由度的運動來說橫搖運動更加受到科研工作者的關注．駁船在進行貨物裝卸或特種作業時,對于船體的橫搖運動有較高的要求．然而當遭遇波浪頻率與駁船的固有頻率接近時,船體的橫搖運動會較為劇烈,這在線性波浪理論研究中已經被證實[1-2]．

然而在波高增大時,波浪的非線性波浪力變得更加明顯,此時高頻分量產生的共振現象通常會被忽略．而在不規則波作用下的模型試驗和實際運行的平臺如張力腿平臺和重力式平臺中常常可以觀測到平臺產生瞬態的大幅度共振運動,這種現象被稱為“ringing”現象,其通常在平臺遭遇較大和較陡的波浪后產生．“ringing”現象是一種近似瞬態的高頻共振響應,其頻率遠高于波浪主導波的頻率,其振動幅度可達到包括一階、二階波浪力及風動力共同作用達到的幅度,對海上結構物的安全有極大威脅[3]．在高頻共振響應研究方面,文獻[4]對規則波作用下的二維駁船結構高頻共振響應現象進行了研究．文獻[5]建立單自由度小尺度樁柱振動模型,在二維完全非線性數值波浪水槽中模擬了海上結構物在極端波浪作用下產生的高頻共振響應．聚焦波浪與結構物的耦合作用方面已取得較多研究成果．在試驗研究方面,文獻[6-7]分別對多向聚焦波浪的影響以及多向聚焦破碎波浪的特性進行了試驗研究;文獻[8]等研究了極限波浪對圓柱的作用力,并與同尺度的五階Stokes波進行了對比．在數值計算方面,文獻[9]在數值波浪水槽中模擬二維聚焦波浪,并分析了不同聚焦波浪參數對圓柱波浪涌高及波浪力的影響;文獻[10]通過數值模擬的方法對極限波浪與結構物的作用進行了研究．通常聚焦波浪與結構物的耦合作用方面均重點關注結構物的運動響應及波浪爬高,而研究表明,高頻波浪載荷更容易使浮體產生ringing現象,且當浮體固有頻率為波浪主頻的3～5倍時最易誘導產生ringing．而聚焦波浪中的波浪分量高倍頻率接近浮體的固有頻率時,浮體也會出現ringing現象．對于聚焦波浪誘導結構物產生ringing現象的機理及聚焦波浪參數對聚焦波浪現象的影響則鮮有相關研究．文中建立完全非線性數值波浪水槽對聚焦波浪的船舶特性進行數值模擬,并進一步探討聚焦波浪作用下結構物發生ringing現象的機理及規律,為海洋工程結構物的設計提供指導．

波浪與結構物的非線性相互作用一直是水動力研究的熱門,各國的學者已經做了較多的有價值的研究工作[11-15]．根據勢流理論及高階邊界元方法,建立了二維駁船結構物與波浪的完全非線性相互作用數值波浪水槽模型．聚焦波浪利用數值水槽的造波板按JONSWAP譜分布形式產生,為了消除由于物體產生的二次反射波浪,在入射邊界附近布置人工阻尼層用于消波[13]．求解波浪載荷及運動時,采用間接求解法引入一個虛擬函數,從而可以在每一步直接求解波浪載荷及物體運動而不需要多次迭代．采用四階Runge-Kutta法實現自由面及瞬時物體濕表面的更新[16]．為驗證所采用數值模型的準確性,對數值水槽中聚焦波浪的傳播規律與理論解和試驗結果進行了對比驗證．同時研究了聚焦波浪與浮體的相互作用．研究重點為高頻波浪力誘導下的浮體高頻共振響應,因此聚焦波浪的主頻三倍頻率設定為浮體橫搖的固有頻率,給出了聚焦波幅和頻率對ringing現象的影響．

1 數學模型和數值求解

1.1 流場定義和坐標系

圖1為浮體與波浪相互作用的坐標系定義和計算域定義．其中,SF為瞬時自由水面邊界,SB為瞬時物面邊界,SD為水底邊界,d為水深．為準確描述物體的運動,共設置兩組坐標系描述物體的運動．其中,oxyz坐標系為固定的大地坐標系,坐標原點為靜水面處;o′x′y′z′是固定在物體上的隨體坐標系,在初始時刻坐標系原點與大地坐標系原點重合．物體的質心和轉動中心在大地坐標系下的坐標分別為Xc=(xc,zc)和X0=(x0,z0),在隨體坐標系中的位置分別為X′c和X′0．

圖1 坐標系和計算域定義Fig.1 Definition of coordinate system andcomputation domain

數值模擬的研究物體為二維駁船結構,物體的運動有橫蕩(sway)、垂蕩(heave)和橫搖(roll)．從向量角度,物體的運動可以表示為ζ=(ζ1,ζ2,ζ3)．由坐標轉換可以得到空間中任一點在兩組坐標系下的坐標關系為[17]：

(1)

式中:

(2)

1.2 初邊值問題

勢流理論假設流體無旋、無粘且不可壓縮,同時速度勢滿足拉普拉斯方程．在瞬時自由水面SF滿足非線性自由面條件,在瞬時物面SB和水底邊界SD等固體邊界滿足不可穿透壁面條件．上述邊界條件與初始條件一起就構成了關于速度勢的初邊值問題[14]：

在R內 (3)

在SF上 (4)

在SF上 (5)

在SB上 (6)

在SD上 (7)

式中：rb=(X-X0)為位置矢量；U為物體的平動速度；Ω為物體的轉動速度．入射邊界為造波板邊界,通過給定造波板運動給出造波板上速度勢的法向導數．

1.3 人工阻尼層消波

為防止波浪在出流邊界反射,在水槽右端布置了人工阻尼層進行消波．而波浪在經過物體時,有可能會形成反射波浪,這會影響模擬結果．因此,同時在入射邊界附近布置特殊的阻尼層,增加阻尼項后的自由面條件可寫為[13]:

(8)

(9)

其中:

(10)

式中：x1為左端阻尼層在水槽中的截止位置；η*和φ*分別為流場中無結構物時的波面高度和速度勢.在計算聚焦波浪與浮體相互作用前,計算相同工況下無浮體時聚焦波浪的傳播從而得到η*和φ*．α0為阻尼系數,β0為岸灘寬度系數,取α0=1.0,β0=1.0,λ為特征波長[18]．

在整個流域內應用格林第二定理,上述初邊值問題可以轉換成邊界積分方程．為保證數值結果的精度,數值離散方法采用高階邊界元法,同時利用二次形狀函數插值保證各單元內物理量的連續性[12]．

由于物體的運動和造波板的運動使得計算域邊界隨時變化,因此在每一時間步均進行網格重新劃分,這樣可以避免網格發生變形而導致數值不穩定,進行網格重新劃分后的新網格及節點的物理量可以通過插值進行更新．

2 波浪力和運動求解

作用在物體上的波浪力F={f1,f2}和力矩M={f3}可通過壓強在瞬時物體濕表面SB上積分得到:

i=1,2,3 (11)

方法的難點在于速度勢的時間導數?φ/?t的求解,通過數值差分得到速度勢時間導數的方法不夠精確,同時在浮體運動幅度較大時該方法便不再適用．解決上述問題的一個有效方法是Wu&Eatock Taylor提出的間接法解耦求解物體運動和波浪力[16]．引入虛擬函數ψi(i=1,2,3),其在計算域中滿足拉普拉斯方程,在自由面上滿足ψi=0,在物體表面和造波邊界滿足?ψi/?n=ni,在其他邊界上滿足ψi=0．物體的運動方程可以寫為:

(12)

(13)

(14)

式中：mi,j為質量矩陣；Fe=[fe1,fe2,fe3]T為關于物體質心的外力和力矩；SN為固體邊界之和；fei為作用在結構物上的外力．上述方法中,物體的加速度在求解物體速度勢之后可以直接得到,從而將物體運動和物體受力解耦求解．

3 數值結果

3.1 聚焦波浪的傳播

基于線性波浪理論,在水槽某一位置x=xb產生聚焦波浪的造波機信號為:

(15)

式中：T(fi)為造波機傳遞函數, 其中N為組成波的個數；ai為組成波的波幅;ki為組成波波數;xb和tb分別為假定聚焦位置和聚焦時刻．

通過模擬聚焦波浪的傳播特性對上述數值模型的準確性進行驗證．選取Baldock[19]試驗中的Case D作為模擬工況．選擇3種不同的波高進行模擬,其中各成分波周期范圍為0.8～1.2 s,每組聚焦波包含29個組成波,各組成波波幅相同并按周期范圍等間距分布．計算域長度為12λmin,深度為0.4 m,計算域消波區長度為1.94 m．造波邊界與設定聚焦位置距離為xf=8.0 m,設定聚焦時刻為tf=16.0 s．由于聚焦波假定為各組成波的線性疊加,這就忽略了各組成波之間的非線性相互作用導致的實際聚焦位置和聚焦時刻與設定值有一定差異．實際的聚焦位置和聚焦時刻定義為xd和td,通過在設定聚焦時刻附近輸出每個時刻的波面形狀,其中波高值最大的即視作實際聚焦波面位置,對應的聚焦時刻則為實際聚焦時刻．通過收斂性分析,計算中網格節點間距設為Δx=λmin/40,時間步長設定為Δt=Tmin/60．

圖2為3種不同輸入波幅A=0.022,0.038,0.055 m時實際聚焦位置處的波面時間歷程曲線，η為計算得到的波輻．圖中也給出了Baldock的試驗值和線性以及二階理論解．從計算結果與試驗值等的對比來看,數值結果與試驗值吻合良好,可以驗證所采用數值模型的準確性．同時可以看到,在A=0.022 m時數值結果與線性和二階理論解之間的差異最小,但隨著波幅的增大這種差異也會變大,同時隨著波幅的增大聚焦波的波峰更大且更陡,波谷則更加平緩,這是由于波幅的增大使得各組成波之間的非線性相互作用增強．

圖2 聚焦位置處波面升高時間歷程曲線Fig.2 Time history of wave elevation at exact focuspoint with different wave amplitudes

3.2 浮體的高頻共振響應

駁船結構物與波浪相互作用數值水池模型如圖3．選擇與文獻[2]中相同的幾何模型,坐標系如圖3,其中物體的質心與轉動中心重合,坐標為(0,-0.115),彈簧系數k=197.58 N/m,阻尼系數D11=c=19.8 N/(m·s-1),物體吃水B=0.25 m,物體寬度rd=0.5 m,物體質量m=125 kg,轉動慣量I=4.05 kg·m2,水池深度h=λmax．

圖3 彈簧系泊駁船結構浮體及數值水池示意Fig.3 Sketch of a floating barge in numerical wavetank with spring type mooring

浮體的固有頻率根據頻域無阻尼自由運動方程得到:

(16)

式中：mi,j與公式(12)中定義相同；am(i,j),Ki,j,Ci,j分別為附加質量系數、剛度系數和恢復力系數．剛度系數K11=k=197.58 N/m,K22=K33=0．恢復力系數C11=0,C22=5.016×103N·m-1，C33=91.965 N·m·rad-1．

駁船結構的附加質量am(i,j)為頻率的函數,由線性理論可知,輻射力可以分解為附加質量力和阻尼力．通過給定駁船結構物一個強迫周期性運動,通過對物體受到的周期性輻射力進行傅里葉分析可以得到附加質量．而浮體的固有周期可以通過迭代得到,浮體3個方向的固有周期如表1，ωn，fn分別為浮體的固有圓頻率、頻率．

表1 浮體各方向固有頻率Table 1 Natural frequencies of the floating barge

當入射波浪的三倍頻率接近物體的固有頻率時,物體很容易發生ringing現象．為了研究浮體在橫搖方向的ringing現象,設定入射波浪的譜峰頻率fp=fn/3=0.23 Hz．數值水槽長度L=8λp，其中λp為譜峰頻率對應的波長,消波區域長度為組成波中最大的波長長度．造波板距指定的聚焦位置的距離xt=113.0 m,指定的聚焦時刻tf=25Tp．如同前文所述,實際聚焦位置和聚焦時刻是在數值水槽中沒有浮體時計算得到．數值模擬選取波浪參數及聚焦位置等如表2，rd為浮體寬度，xd為實際聚焦位置．

表2 波浪參數及聚焦位置Table 2 Wave parameters and the focus position

進行數值收斂性分析,選取兩種網格尺度和兩種時間步長分別進行收斂性分析，如圖4．Mesh a網格在浮體附近尺寸為Δx=λp/120=0.125,在遠離浮體后網格增長率為1.1．在浮體表面垂向和水平方向網格數量分別設置為8和4,入射邊界表面和出流面網格設置為60．Mesh b的網格尺寸為Mesh a的一半．對于兩種網格尺寸時間步長均設定為Δt=Tp/60．為對時間步長的收斂性作分析,分別取Δt=Tp/60和Δt=Tp/120,兩種情況下的網格均取Mesh a．圖4中顯示不同網格和不同時間步長下浮體的橫搖運動時歷曲線．可以看出兩種網格尺寸以及兩種時間步長下浮體運動曲線幾乎吻合,因此后續計算中網格尺度及時間步長分別選定Mesh a和Δt=Tp/60，ξ3為浮體位移．

圖4 浮體橫搖運動收斂性分析(A/rd=0.8，fp=fn/3)Fig.4 Convergence study with mesh and time step formotion responds with A/rd=0.8 at fp=fn/3

探索浮體高頻共振響應現象的特征．圖5為入射波幅A/rd=1.6時浮體橫搖運動的時間歷程曲線．圖6給出了在沒有浮體時不同時刻數值水槽中的波形．從圖6(b)中可以看出在(t-tf)>15 s時,聚焦波浪已經越過浮體,此時從圖中仍可以看到浮體橫搖方向有較大的運動幅度．實際上,在入射波譜峰頻率的3倍頻率設定為浮體橫搖方向的固有頻率時,聚焦波浪中各組成波之間的非線性相互作用就變得不可忽略．由于這種非線性作用,在聚焦波浪越過浮體之后,浮體仍會以高頻振動的方式持續運動幾個周期,這屬于典型的ringing現象特征．

圖6 數值水槽不同時刻聚焦波波形Fig.6 Wave profile along the waveflume at different times

圖5 浮體橫搖運動時歷曲線(fp=fn/3, A/rd=1.6)Fig.5 Roll motions of the barge with (fp=fn/3, A/rd=1.6)

為進一步研究高頻共振響應的特性,計算分析了入射波浪頻率對高頻共振響應的影響,計算中選取入射波幅為A/rd=1.6．圖7分別給出了fp=0.18、0.23、0.28 Hz時浮體的橫搖運動響應．可以看出,在fp=fn/3=0.23 Hz時浮體的高頻共振響應最為明顯,而在入射波頻小于fn/3時,高頻共振響應現象有明顯的減弱;而在入射波頻大于fn/3時,高頻共振響應仍舊非常顯著．這表明導致浮體發生高頻共振響應的入射波浪頻率范圍較大．

圖7 不同譜峰頻率時浮體橫搖運動時歷曲線(A/rd=1.6,fp=fn/3)Fig.7 Roll motions of barge with A/rd=0.8 atdifferent typical wave frequencies

圖8為不同譜峰頻率時物體橫搖運動的響應譜對比(15s≤(t-tf)≤60 s)．從圖中可以看出,在共振譜峰頻率附近取譜峰頻率(fp2=0.225 Hz,fp4=0.235 Hz)時,高頻運動非常明顯,總體來看計算結果與共振譜峰頻率(fp3=0.23 Hz)時的計算結果相差不大．同時可以看出,不同譜峰頻率下物體橫搖運動譜中最大幅值均出現在f=3fp3=0.690 7 Hz時．但在遠離共振譜峰頻率取譜峰頻率(fp1=0.18 Hz,fp5=0.28 Hz)時,高頻運動的幅值相對于fp3=0.23 Hz時分別減少35%和42%．此外,浮體的固有頻率是依據頻域無阻尼線性理論方程求解得到,而由于波浪的非線性影響,浮體高頻共振響應最明顯時的頻率可能要比浮體的固有頻率大．所有上述表述均表明在海洋工程設計中避免入射波浪的三倍頻率接近浮體固有頻率的重要性,同時也強調了該類問題中波浪非線性特性所起的重要作用．

圖8 不同譜峰頻率下物體橫搖運動響應譜對比(15 s≤(t-tf)≤60 s)Fig.8 Comparison of response spectra of rolling motionat different typical wave frequenics

4 結論

(1) 建立了二維完全非線性數值波浪水槽模型,基于該數值模型,研究了完全非線性聚焦波浪在數值水槽中的傳播特性,數值計算結果與試驗值對比良好,驗證了所建立數值模型的準確性．

(2) 當入射波浪主頻的三倍頻等于物體橫搖方向固有頻率時,物體橫搖運動發生明顯的ringing現象,在聚焦波浪經過浮體之后的幾個周期內浮體仍存在較大程度的ringing現象且ringing現象與入射波幅和譜峰頻率密切相關．

(3) 入射波浪譜峰頻率三倍頻接近浮體固有頻率時,高頻共振響應幅值與譜峰頻率三倍頻等于固有頻率時相差不大;譜峰頻率三倍頻遠離浮體固有頻率時(分別為固有頻率的0.8倍和1.2倍),高頻共振響應幅值與譜峰頻率三倍頻等于固有頻率時分別減小35%和42%．

(4) 導致浮體發生ringing現象的入射波頻率范圍較大,同時由于波浪的非線性特性使得實際ringing現象最顯著時對應譜峰頻率的三倍頻要比浮體的固有頻率略大,上述情況均表明了在海洋結構物設計和運行過程中盡量避免入射波浪的三倍頻接近浮體的固有頻率的重要性．

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