“由因探果,由果索因”
——“定義與命題”的教學(xué)與思考

◎ 陳曉慧

在一次跨地區(qū)“說課”交流活動(dòng)中，筆者展示了說課“定義與命題”(浙教版八年級(jí)上第一章第2 節(jié))，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)與思考予以呈現(xiàn)。

一、備課思考

1.說教材

本章內(nèi)容為《三角形的初步認(rèn)識(shí)》，含有初中幾何入門階段所必需的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，為后續(xù)繼續(xù)學(xué)習(xí)四邊形，圓，相似三角形等內(nèi)容打下良好基礎(chǔ)。而本節(jié)課“定義與命題”，以及“證明”這些內(nèi)容的編入，意味著從本章開始，學(xué)生的初中幾何學(xué)習(xí)將從實(shí)驗(yàn)幾何階段過渡到論證幾何階段，這也意味著我們將對(duì)學(xué)生提高要求。

2.說學(xué)情

八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)積累了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，且具有一定的觀察，歸納，概括，抽象等能力，但他們還不完全具備嚴(yán)密的邏輯推理和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫳磉_(dá)能力，因此老師在教學(xué)中既要嚴(yán)格要求，但也不能操之過急。

3.說教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

基于以上分析，筆者制定了如下教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)。

(1)通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“定義與命題”概念的產(chǎn)生，并了解“定義與命題”的含義。

(2)通過教師引導(dǎo)，師生探討，小組合作，學(xué)生互評(píng)等方式，讓學(xué)生了解命題的結(jié)構(gòu)，能區(qū)分命題的條件與結(jié)論，并且會(huì)改寫成“如果...那么...”的形式。

二、教學(xué)過程及分析

基于以上對(duì)教材，學(xué)情，教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)的分析，制定了如下教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

1.識(shí)“定義”

開門見山地問學(xué)生:你能寫出一個(gè)水仙花數(shù)嗎?

此時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況:如果有學(xué)生知道水仙花數(shù)，就請(qǐng)這位學(xué)生介紹水仙花數(shù)的定義;如果沒有學(xué)生知道，就由老師來介紹。我們把像這樣，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的立方和等于這個(gè)數(shù)字本身的3位數(shù)，叫作水仙花數(shù)。

提出這個(gè)問題的目的是為了引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們從數(shù)學(xué)活動(dòng)中讓學(xué)生經(jīng)歷“定義”概念的產(chǎn)生，并且體會(huì)到“定義”的必要性。

回歸教材配套練習(xí)，但做適當(dāng)改編。

練習(xí)1:將下列定義補(bǔ)充完整.

(1)無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).

(2)有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形.

(3)從所有考察對(duì)象中抽取一部分作調(diào)查分析，這種調(diào)查方法叫作抽樣調(diào)查.

4.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線.

本題改編自書本“做一做”，原題是“請(qǐng)說出下列數(shù)學(xué)名詞的定義”，但筆者將它改為“請(qǐng)將下列定義補(bǔ)充完整”，改為填空題。這樣改的意圖是，讓學(xué)生完整并且清晰正確的表述某個(gè)數(shù)學(xué)名詞的定義是很困難的，改為填空形式，不僅能幫助學(xué)生回憶起這些數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)，也不至于將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移，否則學(xué)生會(huì)誤以為本節(jié)課的重點(diǎn)是要嚴(yán)格清晰正確的去說每一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的定義。

2.知“命題”

追問:124 是水仙花數(shù)嗎? 此時(shí)學(xué)生會(huì)根據(jù)已獲得的水仙花數(shù)的定義，做出判斷。原來定義不僅有對(duì)事物做出“清楚規(guī)定”的功能，它能作為依據(jù)，具有判斷的功能。

(1)說一說:

生活中有許多語句，都具有判斷的功能，你能說一說，說出一些具有判斷功能的語句嗎? 此時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)，說出一些具有判斷功能的語句，比如“……是……”，“……不是……”，“如果，那么”等形式，這時(shí)候老師可引導(dǎo)學(xué)生去感受，這些具有判斷功能的語句都有怎樣的語氣。

(2)選一選:

練習(xí)2:比較下列句子在表述形式上，哪些對(duì)事情做出判斷?哪些沒有對(duì)事情做出判斷?

①兩直線平行，同位角相等②畫一個(gè)角等于已知角③對(duì)頂角相等④a，b兩條直線平行嗎?

⑤鳥是動(dòng)物⑥若2a=4，求a的值⑦若a2=b2，則a=b⑧2008年奧運(yùn)會(huì)在北京舉行.

給出書本中的這八個(gè)句子，讓學(xué)生根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，去選一選，哪些語句對(duì)一件事情做出判斷，哪些語句沒有。此時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，去尋找其中的陳述句，因?yàn)橄褚蓡柧浜推硎咕洌鼈儾]有對(duì)一件事情做出判斷。而像①③⑤⑦⑧這幾個(gè)陳述句，都對(duì)一件事情做出了判斷。這里可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)困難點(diǎn)，學(xué)生會(huì)誤以為一定要作出正確的判斷才叫命題，此處可以引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)定義去辨析，只要作出判斷，不管判斷的結(jié)果是對(duì)還是錯(cuò)，都是命題。這樣也為下一節(jié)課學(xué)習(xí)真假命題埋下伏筆。

3.析“命題結(jié)構(gòu)”

在這八個(gè)語句中，我們可以根據(jù)定義知道哪些是命題。筆者會(huì)請(qǐng)同學(xué)們特別去關(guān)注①③⑦這幾個(gè)數(shù)學(xué)命題。讀一讀，感受這些命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是否存在某些因果聯(lián)系。

以命題①為例:兩直線平行，同位角相等。你能感受其中的因果關(guān)系嗎? 何為因，何為果。學(xué)生會(huì)說，兩直線平行是原因(也就是已知條件)，同位角相等是結(jié)果(也就是結(jié)論)。如果條件發(fā)生了，那么結(jié)論就可以成立。那么，我們就可以把這個(gè)命題改寫成“如果+那么”的形式，清晰的找到命題條件與結(jié)論，體現(xiàn)它們之間的因果聯(lián)系。

學(xué)生可能想，這個(gè)命題條件和結(jié)論很好找到，為什么非要改寫成如果那么呢? 這時(shí)候筆者會(huì)馬上給出命題③:對(duì)頂角相等。這個(gè)命題語言非常簡(jiǎn)潔，乍一看好像只有結(jié)論，找不到條件，難以區(qū)分，正是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。可以這樣引導(dǎo)學(xué)生:我們不妨從命題的概念出發(fā)，命題是對(duì)一件事情做出判斷的句子，讀一讀，這句命題做出了怎樣的判斷，能找到關(guān)鍵詞嗎? 學(xué)生會(huì)說:相等。追問:誰相等。學(xué)生會(huì)說:兩個(gè)角相等。這樣，我們就從問題串中理清了思路，由果索因，找到了這個(gè)命題的條件與結(jié)論。結(jié)論是:兩個(gè)角相等。條件是:兩個(gè)角是對(duì)頂角。再用如果，那么去改寫，讓語句表達(dá)通順，清晰表達(dá)其中的因果關(guān)系。

為了檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握，筆者會(huì)再配兩個(gè)類似命題(1)同角的余角相等(2)三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。將采用小組合作，生生交流的形式，并且小組之間相互評(píng)價(jià)，看誰改寫的更合理，這也體現(xiàn)了教學(xué)評(píng)的一致性。

對(duì)于兩個(gè)命題的改寫，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)多種情況，比如:如果一個(gè)圖形是三角形，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。或者“如果三個(gè)角是一個(gè)三角形的內(nèi)角，那么這三個(gè)角的和等于180°”等等。我們可以繼續(xù)采用由果索因的方式，看看這個(gè)命題做出的判斷是什么? 是180°? 和等于180°? 還是三角形內(nèi)角和等于180°? 其實(shí)找判斷關(guān)鍵詞，應(yīng)該是和等于180°更合理，然后再追問誰的和是180°，是3 個(gè)角的和為180°，那這3 個(gè)角有什么條件呢?是三角形的三個(gè)內(nèi)角。其實(shí)本質(zhì)就是搞清楚，我們要判斷的對(duì)象是誰? 是三角形? 還是三角形的三個(gè)內(nèi)角? 我想應(yīng)該是后者更合理，更凸顯三角形的本質(zhì)。

三、教學(xué)思考

根據(jù)命題的定義，只要做出判斷就是命題。所以并不是所有的命題都具有條件和結(jié)論這樣的結(jié)構(gòu)，像命題⑤和⑧，他們都是簡(jiǎn)單命題，或者說直言命題，它沒有明顯的因果聯(lián)系，不具備條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)。因此在教學(xué)中，避免引起學(xué)生鉆牛角尖，可以避開這幾個(gè)命題，而是讓學(xué)生特別關(guān)注我們的數(shù)學(xué)命題，因?yàn)閿?shù)學(xué)命題通常都具有“條件+結(jié)論”這樣的結(jié)構(gòu)，而且這類復(fù)合命題也正是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要命題。若有學(xué)生問起怎么改寫，再向他們介紹簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題，并鼓勵(lì)學(xué)生課下查閱資料去繼續(xù)深入學(xué)習(xí)和探討。