內凹負泊松比蜂窩結構的面內雙軸沖擊響應

姚永永，蘇步云，肖革勝，許海濤，樹學峰

（太原理工大學機械與運載工程學院應用力學研究所，山西 太原 030024）

負泊松比蜂窩結構又稱拉脹結構，因具有許多常規結構不具備的力學特性[1]，而成為研究熱點。蜂窩材料具有較高的相對剛度、強度和高效的能量吸收能力，在抗剪切、抗屈曲、提高硬度以及抗疲勞等方面擁有獨特的優越性[2-3]，在一些應用領域中發揮著關鍵作用，如汽車、航空、軍事、醫學領域[4]。多孔結構的力學性能主要取決于細觀上的拓撲結構。近年來，通過改變細觀結構，人們發現負泊松比結構具有很多特殊優勢，因而被廣泛應用[5]。

馬芳武等[6]研究了一種內凹三角形負泊松比結構，通過改變內凹角度，分析了沖擊端和固定端的平臺應力和能量吸收能力，并與內凹六邊形進行了對比。Zhang 等[7]分析了內凹六邊形蜂窩在兩個正交方向上的后繼屈服拉伸行為，同時考慮結構的塑性影響以及孔壁的非線性行為分析模型，提出了單胞結構的塑性鉸變形機制，得到了單胞結構的應力-應變曲線。Li 等[8-9]對內凹蜂窩結構進行分級、強化，并將正弦曲線引入內凹蜂窩結構，得到了新的改進模型，進而分析了結構的泊松比和能量吸收變化。鄧小林等[10]研究了全參數化的正弦曲線蜂窩結構，以不同振幅、不同厚度建立模型，研究了蜂窩結構在不同沖擊速度下的動力響應，發現正弦曲線蜂窩較常規六邊形蜂窩有更好的能量吸收效果。崔世堂等[11]利用有限元模擬方法研究了負泊松比蜂窩結構面內沖擊動力學特性，發現平臺應力和結構的比吸能隨沖擊速度的增大而增高，隨胞元擴展角的增大而降低。陳鵬等[12]研究了具有零泊松比特征的半凹角蜂窩結構，并將其與正六邊形蜂窩和內凹負泊松比蜂窩在面內沖擊荷載作用下的抗沖擊性能進行對比分析，數值結果表明，半凹角蜂窩的抗沖擊性能介于正六邊形蜂窩和內凹蜂窩之間。Hu 等[13]通過理論分析和數值模擬，研究了內凹角度和壁長對內凹負泊松比蜂窩在大變形下的單軸動態沖擊性能的影響，推導出沖擊過程中平均沖擊應力的經驗公式。Zhang 等[14]通過有限元模擬，研究了內凹蜂窩x 方向的平面內動態沖擊行為，發現內凹蜂窩的面內動態性能不僅與沖擊速度和邊緣厚度有關，還受蜂窩壁角的影響。Li 等[15]通過單軸和雙軸壓縮模擬以及理論分析，研究了正六邊形蜂窩結構的面內壓縮動態力學性能，分析了雙軸壓縮的變形模式，結果表明：相比單軸沖擊，雙軸沖擊下在x 和y 方向的真實應力增強，能量吸收能力也得到了提高，且完全致密化階段比單軸壓縮階段更平滑。此外，Li 等[16]研究了六邊形、內凹、混合3 種蜂窩模型在單、雙軸沖擊下的面內動態力學性能，結果表明：正交雙軸沖擊下，六邊形蜂窩表現出3 種變形模式，內凹和混合型蜂窩沒有明顯的過渡模式，由于負泊松比效應的影響，內凹蜂窩具有較差的耗能能力。

值得注意的是，自然界中的蜂窩結構和人造蜂窩結構在細觀上總存在一定的缺陷，從而引起結構的不規則性，力學性能也會發生一定的變化。Ajdari 等[17]通過數值模擬研究了正六邊形和不規則二維蜂窩的平面內動態沖擊問題，分析了孔壁缺失和空間擾動形成的結構微觀不規則性對力學性能的影響。Alkhader 等[18]用函數定義六邊形蜂窩、隨機Voronoi 泡沫以及正方形和三角形拓撲結構等多種二維拓撲結構的不規則程度，以研究其單軸壓縮響應，結果表明，相對于以彎曲為主的結構，以拉伸為主的結構有表現出災難性屈服后軟化反應的趨勢，而不規則性則會導致更多的彎曲現象。Liu 等[19]對內凹蜂窩材料的面內動態沖擊過程進行了數值模擬，并在此基礎上定義了內凹蜂窩結構的不規則性，分析發現，在準靜態下不規則的內凹蜂窩比規則的正六邊形蜂窩能吸收更多的能量，但這種情況在高速撞擊下逆轉。Zheng 等[20]通過數值模擬研究了坐標擾動和Voronoi 隨機模型兩種不規則模型與正六邊形蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式和平臺沖擊力，得到不規則性結構更具復雜性的結論。Zhu 等[21]研究了孔的不規則性對二維隨機泡沫彈性性能的影響，構造了不規則度不同的周期性隨機結構，并通過數值模擬確定了其有效彈性性能，結果表明，二維隨機泡沫體形狀越不規則，有效彈性模量和剪切模量越大，在一定的壓比相對密度下，體積模量越小。

綜上所述，實際中蜂窩結構往往是不規則的，且易受雙軸沖擊載荷作用。而關于不規則結構在雙軸沖擊下的研究較少，為此本工作將針對不規則內凹負泊松比蜂窩結構在雙軸沖擊下的面內沖擊響應，分析規則度和沖擊速度對結構變形影響的規律。

1 計算模型

1.1 不規則內凹蜂窩結構有限元模型的建立

采用如圖1 所示的節點擾動方法來建立不規則內凹蜂窩的有限元模型。

圖1 坐標擾動Fig. 1 Coordinate perturbation

如圖1 所示，將規則的內凹六邊形蜂窩結構的每個節點按照式(1)中的方法進行隨機擾動

式中： μ為節點擾動的隨機長度； μm為擾動的最大長度， 0 ≤μm≤l1/2。內凹負泊松比蜂窩結構的不規則度 可以定義為

式中： l1為規則蜂窩結構的最短棱壁長度。

假設蜂窩結構所有棱壁的厚度均相同，則可通過改變棱壁的厚度來調節蜂窩結構的相對密度。本研究采用15%的相對密度進行分析，圖2 顯示了部分模型。

圖2 不規則蜂窩模型的建立Fig. 2 Establishment of irregular honeycomb model

圖2 中內凹蜂窩結構的相對密度 Δρ可以表示為

此 外，對于規則的內凹負泊松比蜂窩，其相對密度 Δρr也可以表示為

式中： ρ*為模型的密度， ρs為基體材料的密度， li為各個孔壁的長度， t 為孔壁的厚度， N為孔壁的數量， L1、 L2為整個蜂窩結構的長度和寬度，l2為規則蜂窩結構的最長棱壁長度。

1.2 有限元模型

采用ABAQUS/EXPLICIT 軟件進行分析。模型的邊界條件設置：在兩個正交方向上，將模型置于兩塊剛性板之間、底部剛性板之上，底部和左端的剛性板作為固定端， 頂部和右端作為沖擊端，沖擊速度為3～100 m/s，同時約束內凹蜂窩結構的面內自由度，如圖3 所示。建立的內凹蜂窩結構的主要參數為L1= 129.9 mm, L2= 120.0 mm, l1= 5 mm, l2= 10 mm， θ= 60°。由于蜂窩鋁具有高強度和高剛度的良好力學性能，本研究采用鋁合金作為基體材料，主要參數為：密度 ρ = 2 700 kg/m3，彈性模量E = 72 GPa，泊松比為0.33，屈服強度 σy= 103 MPa，并采用線性強化模型，圖4 為結構基體材料的本構關系，其中Et為切線模量， σs為線性強化模型的屈服強度。蜂窩細胞數量為15 × 15，可保證材料不受尺寸效應的影響。所有單元均采用4 節點殼單元進行網格劃分，網格單元尺寸為0.5 mm，節點數為28 660，網格數為 19 540，建 立無摩擦和通用接觸。

（b）The author，who graduated from the same university I did，gave a wonderful presentation.

圖3 雙軸加載模型的邊界條件Fig. 3 Boundary conditions for the biaxial loading model

圖4 基體材料的本構關系Fig. 4 Constitutive relation of the matrix material

2 結果與討論

2.1 雙軸沖擊下的變形模式

為了對雙軸沖擊條件進行分類，采用與雙軸沖擊有關的參數 λ，表達式為 λ=vx/vy，其中 vx、 vy分別為 x、y 方向的沖擊速度。這里只討論 λ =1 的情況，顯然 λ =1 時為等雙軸沖擊。首先研究了不同規則度（K = 0, 0.6, 1.0）的內凹負泊松比在不同沖擊速度（6、50 和100 m/s）下的變形模式。圖5、圖6 和圖7 給出了內凹蜂窩結構的結構變形情況。需要說明的是，為更好地展示變形結果，每隔約10%的應變截取一張變形模態圖，同時為了清晰、規律地顯示圖像，所有圖形都設置了相同的大小。

圖5 K = 0 時不同沖擊速度下的變形模態Fig. 5 Deformation modes under different impact velocities at K = 0

圖6 K = 0.6 時不同沖擊速度下的變形模態Fig. 6 Deformation modes under different impact velocities at K = 0.6

從圖5 可以看出，對于規則的內凹蜂窩，在等雙軸低速沖擊過程中，結構首先在交叉處棱壁堆積，從而使內部先形成四邊形，結構整體的變形在近端和遠端都較均勻。這與文獻[15]中內凹蜂窩的變形是一致的，也驗證了本模型的有效性。持續的壓縮使孔壁進一步堆積形成局部致密化，結構的致密過程主要是局部致密。由于負泊松比效應的影響，材料在一個方向受壓時，其另一個正交方向會出現頸縮。因此，在雙向沖擊受壓的情況下，結構會更早進入完全密實階段。隨著沖擊速度的增大，結構從沖擊端（上部和右端）開始密實，而固定端幾乎沒有變形。隨著應變增加，致密向固定端傳遞，直至完全進入密實化。從圖5 中第2 行和第3 行圖像還可以看出，隨著沖擊速度的增大，蜂窩結構的下端會產生部分“翹起”現象，這是由于負泊松比效應的影響會導致結構頸縮，且結構與固定端端部是無綁定約束，從而造成這類現象。

圖7 K = 1.0 時不同沖擊速度下的變形模態Fig. 7 Deformation modes under different impact velocities at K = 1.0

與規則蜂窩不同的是，不規則蜂窩結構在低速沖擊下，其內部不會形成較為規則的四邊形。這是由于不規則度的存在使結構棱壁處的堆疊也變得不規則。此外，從圖5～圖7 中 ε=0.5 列可以看出，由于不規則度的引入，結構的變形模式由局部密實轉變為整體密實，從而使內凹蜂窩結構在相同壓縮程度下，密實化程度明顯降低。在高速沖擊下（v = 100 m/s），從圖5～圖7 中可以看出，不規則程度越高，沖擊端的致密程度越大。這是因為高速沖擊下，結構在沖擊端的密實主要是棱壁的彎曲折疊過程，隨著不規則度的增加，棱壁的彎曲折疊受到的約束增大，向固定端傳遞的速度也會降低，所以不規則蜂窩結構的密實過程會更長，而在沖擊端密實程度也會更高。此外，從圖6、圖7 中 ε =0.6、v = 100 m/s 對應的變形情況可以看出，固定端還有尚未變形進入密實的孔，說明不規則蜂窩結構具有較長的平臺階段，能 夠承受更大的壓縮變形。

2.2 不同沖擊速度下的應力-應變曲線

圖8 和圖9 給出了蜂窩結構在雙軸沖擊下兩個正交方向沖擊端的名義應力-應變曲線，其中名義應力 σ通過沖擊端的反力除以對應截面的原始面積獲得，名義應變 ε通過沖擊位移除以對應的原長獲得。從圖中可以看出，內凹蜂窩結構在不同方向上的 σ-ε曲線均表現出典型多孔材料在受壓時所具有的彈性階段、平臺階段和密實階段3 部分。

圖8 蜂窩結構在不同沖擊速度下x 方向的應力-應變曲線Fig. 8 Stress-strain curves of honeycomb structure in x direction under different impact velocities

圖9 蜂窩結構在不同沖擊速度下y 方向上的應力-應變曲線Fig. 9 Stress-strain curves of honeycomb structure in y direction under different impact velocities

從圖8 和圖9 中v = 6 m/s 時的曲線可以看出，對于K = 0 時的應力-應變曲線，在應變接近0.4 處，結構變形的平臺階段均出現一個上升的階梯，并且x 方向最明顯。結合2.1 節關于變形模態的分析，認為這主要是由于在等低速雙軸沖擊下內凹蜂窩結構變形主要經歷兩種棱壁堆疊過程，即堆疊形成四邊形以及四邊形的進一步彎曲堆疊。由于第1 步的堆疊，棱壁基本不會屈曲，主要是旋轉折疊，因此這一平臺階段的應力水平較低；第2 步的堆疊主要是棱壁的屈曲折疊，所以此階段的應力水平較高。從圖8 和圖9 中也可以看出，K = 0 時，結構會更早進入密實化階段，而不規則度的引入使結構擁有較長的平臺階段，密實化階段出現滯后現象，此現象與2.1 節中變形模態的分析結果是一致的。隨著沖擊速度的增大，平臺階段的應力升高，說明結構的能量吸收能力隨著沖擊速度的增大而增強。

蜂窩結構的平臺應力一般表示為

式中： σp為 平臺應力； ε0為對應初始應力峰值的名義應變； εd為鎖定應變，為蜂窩結構密實化階段所對應的應變； σ(ε)為名義應力-應變曲線。

圖10 給出了不規則度不同的內凹蜂窩結構在兩個正交方向上不同沖擊速度下的平臺應力變化趨勢。從圖10 可以看到：隨著沖擊速度的增大，兩個方向上的平臺應力值都會上升；對于K = 0的規則蜂窩結構，其在兩個方向上的平臺應力相差較大，這是結構的各向異性所導致的。引入不規則度時，在高速沖擊下兩個方向上的平臺應力變化大小及趨勢都較接近，說明結構的各向異性降低，這一點從2.1 節內凹蜂窩結構的變形模態中也可以看出。

圖10 不同沖擊速度下不規則內凹蜂窩結構在x、y 方向的平臺應力比較Fig. 10 Comparison of the plateau stress of irregular re-entrant honeycomb structures in x and y directions under different velocities

2.3 內凹蜂窩結構的能量吸收能力

在動態沖擊過程中，能量主要由材料的塑性變形消耗。采用比塑性耗散能表征單位質量的能量吸收能力，表達式為

式中： EPED為塑性耗散能，可以從有限元分析軟件中直接獲得；M 為結構的質量。

圖11 給出了內凹蜂窩結構在6、50 和100 m/s 3 種不同沖擊速度下的比塑性能量耗散與 y 方向沖擊應變的關系。從圖11 中可以看出，當應變較低時，比塑性耗散能 W上升較緩慢，且所有曲線基本重合。這表明在早期，不規則度對內凹蜂窩結構的影響較小。隨著壓縮程度的增加， W增加的速率變大，且K = 0 時， W增加得最快，表明結構開始進入密實階段，這是由結構的負泊松比效應引起的。對于不規則蜂窩結構，曲線上升得較緩慢，表明不規則度的引入使結構的平臺階段延長，結構具有更強的能量吸 收能力。

圖11 蜂窩結構在不同沖擊速度下的比塑性耗散能曲線Fig. 11 Specific plastic dissipation energy curves of honeycomb structure at different impact velocities

3 結 論

采用有限元方法研究了具有不同不規則度內凹負泊松比結構的面內雙軸沖擊響應，得到了以下結論。

(1)內凹蜂窩結構的變形受沖擊速度的影響。隨著沖擊速度的提高，蜂窩結構的變形逐漸轉向逐層致密，受結構負泊松比效應的影響，在等高速雙軸壓縮時，結構的固定端會有局部“翹起”現象。此外，由于不規則度的引入，在低速沖擊下，結構的密實化過程從局部致密轉變為整體致密，從而導致在相同的壓縮程度下，結構的密實化程度降低。

(2)隨著沖擊速度的增大，平臺階段的應力上升，能量吸收能力更強，比塑性耗散能也上升。不規則度的引入延長了平臺階段，降低了結構的各向異性程度，從而提高了結構的能量吸收能力。