鄧宇星：人生在挑戰(zhàn)中前行

劉有婷 范德強(qiáng)

鄧宇星在加州大學(xué)圣地亞哥分校圖書館前

2006年12月22日，美國(guó)《科學(xué)》雜志評(píng)出了2006年十大科學(xué)進(jìn)展，龐加萊猜想證明被列為首位。龐加萊猜想進(jìn)入大眾視野始于2000年的千禧年數(shù)學(xué)會(huì)議。在該會(huì)議上，數(shù)學(xué)家們選定了七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)問(wèn)題”。美國(guó)馬薩諸塞州的克雷研究所將懸賞七百萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。每解決其中一個(gè)問(wèn)題，就可以獲得一百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)。這七個(gè)問(wèn)題分別是NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊·米爾斯理論、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。

“龐加萊猜想是到目前為止唯一一個(gè)被解決的千禧年問(wèn)題。”北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授鄧宇星介紹。那一年，鄧宇星剛剛參加完高考，這場(chǎng)數(shù)學(xué)界的狂歡也深深吸引了他的注意力。在龐加萊猜想的指引下，鄧宇星登上了數(shù)學(xué)之舟，同無(wú)數(shù)前輩數(shù)學(xué)家一樣，搖著科研的槳，駛向這片蘊(yùn)藏?zé)o數(shù)未知奧秘的數(shù)學(xué)海洋。

從龐加萊猜想到里奇流研究

龐加萊猜想由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊于1904年提出，這個(gè)猜想是說(shuō)：任何單連通的三維閉維流形一定同胚于三維球面。更通俗地說(shuō)，在一個(gè)封閉的三維空間中，如果任何封閉的曲線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)，那么這個(gè)三維空間一定是一個(gè)三維球面。作為拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)具有本質(zhì)意義的猜測(cè)，龐加萊猜想敘述簡(jiǎn)單卻證明困難。無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家在證明龐加萊猜想的道路上折戟沉沙。直到2006年，這條路已走了一百余年。

“佩雷爾曼證明龐加萊猜想的關(guān)鍵工具就是里奇流。”鄧宇星說(shuō)道。盡管龐加萊猜想最終的證明者是佩雷爾曼，但創(chuàng)造里奇流的卻是另一位數(shù)學(xué)家理查德·漢密爾頓。“漢密爾頓于1982年引入里奇流分類了具有正里奇曲率的三維閉流形。”鄧宇星介紹，里奇流是關(guān)于度量的拋物方程，是研究微分幾何的重要工具。直觀來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的幾何體，它在里奇流下會(huì)產(chǎn)生形變，在形變的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生奇點(diǎn)。“通過(guò)不斷對(duì)奇點(diǎn)做手術(shù)，我們讓它繼續(xù)形變，最終演化成一個(gè)形狀比較好的幾何體。這也是用里奇流證明龐加萊猜想的思路。”

“里奇流對(duì)黎曼幾何和復(fù)幾何的研究都有重要意義。里奇流現(xiàn)在仍然是一個(gè)活躍的方向。”鄧宇星介紹，里奇流可以用來(lái)研究四維流形的幾何與拓?fù)洌ū热?1/8猜想，四維光滑龐加萊猜想），研究丘成桐的一致化猜想和極小模型綱領(lǐng)等重要問(wèn)題。

鄧宇星選擇做數(shù)學(xué)研究正是受到了龐加萊猜想的影響。“2006年高考完之后，剛好聽到新聞?wù)f千禧年七大難題之一的龐加萊猜想被解決了。我比較好奇龐加萊猜想到底是什么？上網(wǎng)查了一些資料，雖然當(dāng)時(shí)也看不懂，但就覺(jué)得挺有意思的，感覺(jué)數(shù)學(xué)是一門很有趣的學(xué)科。”鄧宇星如是說(shuō)道。

2006年，立志于考北京大學(xué)的鄧宇星在高考時(shí)將數(shù)學(xué)考砸了。那年江西省是先估分填志愿后出高考成績(jī)。對(duì)自己成績(jī)沒(méi)有信心的鄧宇星在提前批次報(bào)了北京師范大學(xué)。結(jié)果他的分?jǐn)?shù)比那年的北大線高一分。最終，鄧宇星進(jìn)入了北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。剛進(jìn)大學(xué)時(shí)，鄧宇星曾考慮過(guò)是否要轉(zhuǎn)到物理系，因?yàn)樵诟呖贾八€更偏愛(ài)物理。“在學(xué)了一年之后，我就感覺(jué)自己的思維更適合學(xué)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)只需要假設(shè)整數(shù)系和加減乘除，在此基礎(chǔ)上，每個(gè)概念都有嚴(yán)格的定義，每個(gè)定理都可以通過(guò)邏輯推導(dǎo)來(lái)證明。很多直觀而深刻的定理也都能給出嚴(yán)格的證明，整個(gè)體系讓我覺(jué)得很神奇、很有用。”鄧宇星說(shuō)。

2010年，鄧宇星以優(yōu)異的成績(jī)被保送北京大學(xué)直接攻讀博士學(xué)位，師從陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主朱小華教授。入學(xué)后，朱小華教授建議鄧宇星研究丘成桐的一致化猜測(cè)，即具有正的雙全純截面曲率的完備非緊凱勒流形一定全純同胚于復(fù)歐式空間。

丘成桐的一致化猜測(cè)是復(fù)幾何領(lǐng)域非常重要的猜測(cè)。這個(gè)猜測(cè)有40多年的歷史。丘成桐、蕭蔭堂、莫毅明、施皖雄、譚聯(lián)輝、朱熹平、倪磊、陳兵龍、劉鋼等數(shù)學(xué)家都先后在該猜測(cè)中取得過(guò)重要進(jìn)展。讀博前幾年，他對(duì)這一問(wèn)題的研究一直沒(méi)有太大進(jìn)展。但幸運(yùn)的是，他發(fā)現(xiàn)這期間學(xué)到的技巧卻可以用來(lái)研究凱勒里奇孤立子。里奇孤立子分類是里奇流研究中的重要問(wèn)題，利用這些技巧，鄧宇星部分解決了Bennett Chow、呂鵬、倪磊所著的Hamilton’s Ricci flow（《漢密爾頓的里奇流》）書中關(guān)于擴(kuò)散型里奇孤立子的猜測(cè)，終于完成了第一篇論文。

和漢密爾頓討論數(shù)學(xué)問(wèn)題

“2013年，Simon Brendle證明了三維佩雷爾曼關(guān)于穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子唯一性的猜測(cè)。這是在自然的條件下得到穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子完整分類的第一個(gè)結(jié)果。所以當(dāng)時(shí)，穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類也引起了很多人的關(guān)注，越來(lái)越多人開始研究這個(gè)方向。從2014年開始，我主要的精力開始轉(zhuǎn)到研究里奇孤立子的分類問(wèn)題上，特別是穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類。”就這樣，鄧宇星調(diào)整了科研方向，并迅速邁入了“高速”軌道。

向里奇孤立子發(fā)起挑戰(zhàn)

自佩雷爾曼利用里奇流解決龐加萊猜想以來(lái)，如何利用里奇流解決更高維數(shù)的幾何與拓?fù)鋯?wèn)題成為里奇流領(lǐng)域的重要問(wèn)題。而要理解里奇流的演化過(guò)程并對(duì)里奇流做手術(shù)，至關(guān)重要的一步是分析里奇流的奇性，也就是分類里奇流的奇點(diǎn)。

分類里奇流的奇點(diǎn)往往歸結(jié)為分類這些奇點(diǎn)的自相似解。“里奇流之父”漢密爾頓將里奇流的奇點(diǎn)分為三大類，而這三類奇點(diǎn)的自相似解分別為：收縮型孤立子、穩(wěn)態(tài)型孤立子和擴(kuò)散型孤立子。如何分類這些里奇孤立子則成為里奇流研究中的關(guān)鍵問(wèn)題。在佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的論文中，他提出了如下猜測(cè)：三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，即必然是Bryant孤立子。2013年，Simon Brendle證明了這一猜測(cè)，他在截面曲率正和漸近柱狀條件下將該結(jié)果推廣到高維。他所引入的漸近柱條件包含曲率線性衰減和降維假設(shè)，但降維假設(shè)定義復(fù)雜。

“我們希望在更弱、更自然的條件下得到分類結(jié)果。”鄧宇星如是說(shuō)道。經(jīng)過(guò)幾年的研究，他們終于取得了重要進(jìn)展。通過(guò)引入水平集流，他們得到了水平集的直徑估計(jì)，從而能精確地描述穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的漸近幾何，并最終證明了高維曲率線性衰減、曲率算子非負(fù)的非塌縮非平凡的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子唯一。當(dāng)維數(shù)為4時(shí)，曲率算子非負(fù)可以弱化為截面曲率非負(fù)。不僅如此，他們還完全分類了曲率線性衰減的三維穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子。三維時(shí)不需要假設(shè)體積非塌縮條件。值得注意的是，三維時(shí)，曲率線性衰減條件嚴(yán)格弱于體積非塌縮條件。相關(guān)結(jié)果已經(jīng)被Journal of the European Mathematical Society、International Mathematics Reseach Notices等著名數(shù)學(xué)雜志錄用或發(fā)表。Journal of the European Mathematical Society雜志的兩位審稿人對(duì)鄧宇星等人的工作一致給予了高度評(píng)價(jià)，稱“該論文中的結(jié)果是目前大于等于四維的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子最好的分類結(jié)果”。

此外，鄧宇星在穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子的剛性研究中取得了重要進(jìn)展。在用凱勒里奇流研究丘成桐一致化猜測(cè)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的一類奇點(diǎn)是雙全純截面曲率非負(fù)且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子。“為了分類這類里奇孤立子，我們希望將三維佩雷爾曼猜測(cè)推廣到凱勒情形。”為此，鄧宇星考慮了下面的問(wèn)題，也就是雙全純截面曲率正且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子是否存在？而這個(gè)問(wèn)題也是曹懷東猜測(cè)的重要情形，曹懷東猜測(cè)雙全純截面曲率正的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子是唯一的。

和同學(xué)游中途島航母

“丘成桐先生的這個(gè)猜測(cè)是復(fù)幾何最重要的猜測(cè)之一。曹懷東的猜測(cè)是里奇孤立子分類的重要猜測(cè)，對(duì)丘先生的猜測(cè)也有重要作用。20多年來(lái)，曹懷東的猜測(cè)幾乎沒(méi)有任何進(jìn)展。我們的假設(shè)比之多了體積非塌縮條件，體積非塌縮是奇性分析中的自然條件。”最終，利用龐加萊整體坐標(biāo)系，鄧宇星找到了穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子上一列趨于無(wú)窮遠(yuǎn)的閉曲線，這列閉曲線的長(zhǎng)度在適當(dāng)?shù)淖儞Q后會(huì)趨于零，從而證明了這類孤立子是塌縮的。這是凱勒流形上的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子所具有的特殊性質(zhì)。相關(guān)結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在Transactions of the American Mathematical Society、Mathematische Annalen等著名數(shù)學(xué)雜志上。Math Review上的評(píng)論表示：“鄧宇星等人的結(jié)果是重要的。結(jié)果中的截面曲率正條件可以被雙全純截面曲率正替換，該結(jié)果也被鄧宇星等人所證明。”

正里奇曲率拼擠的擴(kuò)散型里奇孤立子的不存在性是鄧宇星團(tuán)隊(duì)第三個(gè)重要成果。

2000年，朱熹平和陳兵龍證明了三維截面曲率有界、非負(fù)且里奇曲率一致拼擠的完備黎曼流形一定平坦。倪磊猜測(cè)高維也有類似的結(jié)果，同時(shí)倪磊還猜測(cè)只要求里奇曲率非負(fù)，比截面曲率非負(fù)要弱得多。為了用里奇流的辦法解決倪磊的猜測(cè)，Bennett Chow、倪磊、呂鵬提出“n維正里奇曲率且里奇曲率一致拼擠的擴(kuò)散型里奇孤立子不存在”的猜測(cè)。

基于上述背景，鄧宇星證明了n維正里奇曲率且里奇曲率一致拼擠的擴(kuò)散型凱勒里奇孤立子不存在。鄧宇星帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)創(chuàng)新性地把用里奇流研究丘成桐一致化猜測(cè)的方法應(yīng)用到里奇孤立子的研究中，并且觀察到相應(yīng)技巧在更弱的曲率條件下仍然成立。這一結(jié)果證明了Bennett Chow、倪磊、呂鵬猜測(cè)在凱勒流形上成立，可用來(lái)進(jìn)一步研究倪磊猜測(cè)。文章已于2015年發(fā)表在Mathematische Zeitschrift雜志上。

盡管博士畢業(yè)的時(shí)間并不長(zhǎng)，但鄧宇星的一系列成果已被國(guó)內(nèi)外同行廣泛關(guān)注，相關(guān)工作被菲爾茲獎(jiǎng)得主Freedman、加州大學(xué)圣地亞哥分校Bennett Chow教授、明尼蘇達(dá)大學(xué)Jiaping Wang教授等引用。鄧宇星在加州大學(xué)圣地亞哥分校訪問(wèn)期間，有了更多機(jī)會(huì)和國(guó)際相關(guān)領(lǐng)域的著名數(shù)學(xué)家交流，而且幸運(yùn)地見到了“里奇流之父”漢密爾頓，當(dāng)面討論了里奇流的一些問(wèn)題。

敢于挑戰(zhàn)，無(wú)問(wèn)西東

數(shù)學(xué)中有很多公開問(wèn)題和猜想，這些問(wèn)題被很多數(shù)學(xué)家研究過(guò)卻長(zhǎng)年沒(méi)有進(jìn)展。初學(xué)者面對(duì)這些問(wèn)題容易心生畏懼而選擇簡(jiǎn)單的問(wèn)題。“讀博期間，我也經(jīng)常這樣懷疑自己。”鄧宇星回憶，讀博最后兩年，他的時(shí)間基本全部用來(lái)研讀Brendle解決三維佩雷爾曼猜測(cè)的工作和佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的工作。尤其是龐加萊猜想，這個(gè)難倒了數(shù)學(xué)領(lǐng)域無(wú)數(shù)巨匠長(zhǎng)達(dá)百年的難題。在佩雷爾曼2002年公布其論文時(shí)，沒(méi)有一位數(shù)學(xué)家能完全看懂。后來(lái)世界各地幾組頂尖數(shù)學(xué)家們花了整整4年時(shí)間，才能理解佩雷爾曼的證明，他們分別撰寫了幾百頁(yè)的書或論文來(lái)解釋佩雷爾曼的工作。

“為了理解佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的工作并推廣他的技巧，我花了兩年多的時(shí)間去學(xué)習(xí)。”幾百頁(yè)的論文又長(zhǎng)又難懂，這兩年多時(shí)間，鄧宇星完全沉浸在論文的理解與學(xué)習(xí)中，沒(méi)有任何產(chǎn)出，也沒(méi)有發(fā)表任何論文，對(duì)于當(dāng)時(shí)面臨博士畢業(yè)的他而言，壓力可想而知。

有一段時(shí)間，他甚至想過(guò)放棄。最終，在導(dǎo)師朱小華教授的支持與鼓勵(lì)下，他選擇了堅(jiān)持。當(dāng)然，堅(jiān)持的前提還是因?yàn)闊釔?ài)。“如果沒(méi)有興趣，我肯定無(wú)法堅(jiān)持下來(lái)。”鄧宇星說(shuō)道，“對(duì)于我感興趣的東西，我愿意花很多精力去把它弄明白。尤其當(dāng)你意識(shí)到某個(gè)結(jié)果很重要而且你又感覺(jué)自己能證明它的時(shí)候，這時(shí)候就有無(wú)窮的動(dòng)力在推動(dòng)著自己繼續(xù)堅(jiān)持。”

在近兩年沒(méi)有寫出論文后，臨近博士畢業(yè)的鄧宇星終于得到了一個(gè)有意思的結(jié)果。但朱老師認(rèn)為這個(gè)結(jié)果中的一個(gè)條件可以去掉，遲遲不愿意拿去發(fā)表。又過(guò)了半年多，已經(jīng)開始從事博士后研究的鄧宇星才終于去掉了這個(gè)條件。“即使壓力重重，也不能降低對(duì)自己科研成果的要求。”鄧宇星還強(qiáng)調(diào)，“想要做出好的數(shù)學(xué)，有時(shí)候就得偏執(zhí)一些。”

山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村——熬過(guò)了最艱難的階段，鄧宇星的研究終于邁入正軌。這幾年來(lái)，鄧宇星的科研成果便如雨后春筍般爭(zhēng)先涌出：他先后解決了凱勒流形上的Bennett Chow-倪磊-呂鵬猜測(cè)，在曹懷東猜測(cè)研究中取得重要進(jìn)展，改進(jìn)了Brendle解決三維Perelman猜測(cè)的工作，去掉了Brendle高維孤立子分類的降維假設(shè)……從博士畢業(yè)以來(lái)，短短5年間，他先后主持了兩項(xiàng)國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目。2020年，他又獲得了國(guó)家優(yōu)秀青年科學(xué)基金。

穩(wěn)扎穩(wěn)打、踏實(shí)邁進(jìn)，讓鄧宇星在科研道路上走得越發(fā)從容自信。回首投身數(shù)學(xué)研究的歲月，那些挑戰(zhàn)難題的日子依然歷歷在目。如今回味，他不覺(jué)艱苦，沉淀下來(lái)的除了挑戰(zhàn)難題的興奮與成就感，還有對(duì)數(shù)學(xué)與日俱增的好奇與興趣。

“數(shù)學(xué)里的猜想和公開問(wèn)題都是很難的。把這些問(wèn)題作為自己的研究方向會(huì)很有挑戰(zhàn)。但研究生應(yīng)該有勇氣去挑戰(zhàn)這些困難，而不是為了畢業(yè)去做一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。”鄧宇星表示，即使最終沒(méi)有解決，但在挑戰(zhàn)這些高峰的過(guò)程中一定會(huì)有所收獲。“這樣的訓(xùn)練多了，基礎(chǔ)知識(shí)與科研水平自然可以提升。”

喜歡數(shù)學(xué)的人也許都難以擺脫“挑戰(zhàn)難題”的通病，鄧宇星同樣如此。解決了一個(gè)問(wèn)題之后又有下一個(gè)。11/8猜想、四維光滑龐加萊猜想、丘成桐一致化猜想……都是他未來(lái)的目標(biāo)。對(duì)于鄧宇星而言，向著數(shù)學(xué)高峰前行，挑戰(zhàn)是一件永無(wú)止境的事。