基于大概念落實數學學科的育人價值
——以小學度量教學為例

劉曉萍

大概念是一種更高層次的上位概念，是一種更深層次的本質概念，是學生建構學習圖式的認知框架，具有整合作用，并能廣泛遷移。大概念這一教育理念可以追溯到懷特海（惰性觀念）、布魯姆（基本概念）、布魯納（一般概念）和奧蘇伯爾（要領概念）等人的教育思想。在我國教育界，引入大概念是大家基于對核心素養教學實踐的反思，這能為落實學科育人提供一條新的路徑。具體到小學數學學科，史寧中、鮑建生等教授的研究與國外學者一致，認為度量是數學學科中一個適切的大概念，因為度量是一種數學基本思想，具有知識的兼容性與整合性，貫穿于整個數學學習過程，而且度量本身蘊含著人與自我、人與自然、人與社會的價值對話。

一、小學度量教學的育人價值分析

從認識論的角度來看，度量是對事物某個特征、某種屬性進行刻畫的量，其基礎是兩點間的距離，由此可以將時間與空間、貨幣與溫度、運動與靜止等多個領域的量進行拓展，使其成為具有特定意義的量；從價值論的角度來看，度量是利用測量技術與工具對物理世界和智力世界進行數學表達的過程，它是一種理解世界、解釋世界的手段。因此，不少國家的中小學數學課程都將度量和數與運算、代數、統計等內容相提并論。在我國，度量內容則主要集中在“圖形與幾何”內容領域，分散于單位的認識與換算、角度、平面圖形的周長、平面圖形的面積、立體圖形的體積、某些實物（如土豆）的體積測量方法等知識點的學習中，主要體現度量的意義、度量的必要性、常見圖形度量的基本方法，但這都無法體現“度量是數學的本質”。因此，就需要基于大概念重新定位度量教學的育人價值。

1.數學抽象。數學抽象是一種核心的數學素養，是一種重大的數學思想，它決定著數學學科的走向，是哲學范疇的數量側面。任何事物都有質與量兩個方面。作為質與量統一體的“度”，就是保持事物本身質的、量的限度與幅度。所以說，度量的學習就是幫助學生通過度與量的數學方式積淀抽象思想。度量有著豐富的人文和生活背景，引導學生從多個視角展開學習，能使他們體會到數學概念的真諦，從而形成一種心理學上的概型，也就是學生終身受用的數學抽象素養。

2.數形結合。數形結合是與一般科學方法相應的數學方法，用于數學思考、刻畫世界時能夠明顯體現學科特點。例如，在“數與代數”內容領域，以1 的度量為起點，通過數軸等幾何圖形將運算律從自然數推廣到有理數；在“圖形與幾何”內容領域，以確定1 個度量單位為起點，通過數數的方式對圖形的運動、空間進行定量分析。這樣教學，能使學生融通“數與代數”和“圖形與幾何”兩個內容領域，使得學生對數學學習有更上位的理解，同時有助于培養他們的直覺力與洞察力。

3.數學創造。人類一直在探索宇宙和大自然的奧秘，并在不斷揭秘的過程中提升智力水平。在探索與揭秘時，必然涉及度量工具，并不斷挑戰提高度量工具精確度的問題。一旦我們用度量來刻畫現實與未知，便擁有了一種數學創造工具的能力。這種創造將數形體驗與現實世界相連，極其有趣又充滿想象。說到底，度量是為了更好地解釋有限與無限、近似與精確、離散與連續等數學基本矛盾，是為了描寫、表示、反映現實時空，為各種時空觀提供數學模型以及反映客觀事物的運動規律。用度量打量生活是數學眼光與數學表達的具體體現，是未來公民應具備的必要素養。

4.理性思維。度量的學習常常伴隨著學生生活經驗的激活與再現，常常需要學生經歷觀察、操作、想象等活動，這些活動也是學生發展空間觀念與推理能力的重要途徑。學生在統一度量單位、形成度量方法的過程中，在感性認識的基礎上進行合理的猜想、比較、分析、綜合、概括，這又能促進他們發展理性思維。總之，通過度量學習，學生學會的是基于證據和邏輯來解釋世界的方法，進而用理性思維來影響其實踐創新，指導其實踐探索。

二、學科育人視角下小學度量教學策略

史寧中教授指出：“沒有度量就沒有數學，度量是人們認識數學，進而認識現實世界的基本工具和表達語言。”筆者認為，教師在度量教學中應當注意：其一，度量是思維的結晶，可以通過數學抽象得到；其二，度量是實踐的產物，可以借助工具得到。在具體的小學度量教學中，可以圍繞以下幾個教學策略來實現學科育人。

2.整體感知。盡管度量內容幾乎貫穿整個小學階段，但基本沒有引導學生發現幾何上測量單位與算術上計數單位的一致性，如不斷產生更小的測量單位其實就是產生分數單位、小數單位，反之亦然；也沒有引導學生在整體上梳理度量是如何發展的。關注面積、體積的計算與應用，卻沒有形成度量是單位的運算的思想，如長度、面積、體積是累加，速度是長度與時間的比，由此由一個量或幾個量的運算就可以度量萬物，如可以用身高÷體重來度量胖瘦。前文說長度是最重要的度量，就是因為有了1 米，便有了1 平方米、1 立方米的度量概念，在一維上可以1米1米地數，在二維上就可以用邊長為1 米的正方形去1 平方米1 平方米地數，在三維上就可以用棱長為1 米的正方體去1 立方米1立方米地數。如同在線上1米1米地數，在角里可以1 度1 度地數，在時間軸上可以1 時1 時地數。因此，度量教學就要啟發學生在整體上感知度量是基于數數而得，并因此與計數單位建立關聯。具體而言，學生通過學習能感知1米1米地量是1 個1 個地數，那1 分米1 分米地量就是0.1 個0.1 個地數；反之，1 千米1 千米地量就是以千為單位1個1個地數。1平方米1平方米地量是1 個1 個地數，那1 平方分米1 平方分米地量就是0.01 個0.01 個地數；反之，1 公頃1 公頃地量就是以萬為單位1 個1 個地數。學生一旦學會整體考量數、運算、度量，就能體悟數形結合的妙處，也能自由而符合邏輯地創造新的數與新的度量。

3.并置模型。“我們需要對它進行度量，并不是使用諸如直尺、量角器之類的笨拙的現實工具，而是使用我們的頭腦。”筆者認為，美國數學家洛克哈特這句名言的意義在于：希望度量教學在幫助學生習得制作、使用度量工具的方法的同時，促進其拓展思維邊界。更進一步，可以理解為，基于度量視角的教學要不斷去除現實背景和量綱，將量抽象成數，這樣更便于運算，更便于從感性走向理性。要實現這一教學目標，并置模型的教學策略可以一試，如教學“小數的意義”，復習如何表征1 后，教師提問：按照這樣的思路，0.1 怎樣表示？0.01 呢？待學生回答完畢，教師并置學生的表達，全部呈現于一張課件（如下頁圖1）。然后，教師再次追問：不同的表達都在說明哪一個數學故事？相較于群組、數軸、面積等模型，錢幣等模型更加直觀，能更好地闡釋數是量的抽象。將這些模型并置在一起，有助于學生理性地思考：以1 為度量單位，自然數是以一而十、十而百的方式大起來的，小數是以不斷均分10 份的方式小起來的。進而明晰：度量工具是以一而十、十而百的創造方式往大數量測量，如百元、千米、噸；度量工具是以不斷均分10 份的創造方式往更精確的方向測量，而且都是基于1 元、1 米、1 度等單位往大小兩個方向延展。在對模型并置后尋找其共同原理的過程中，學生能逐漸產生整體感知，從而在量與數之間自由切換，或者由量推理數，或者由數返回到現實意義。這樣教學，能使學生明晰度量工具是度量手段，理性思考是度量目的，但它們是一體兩面，通過理性思考會創造出更理想的度量工具，度量工具的發展會促進數學更理想地闡釋世界。

（圖1）

4.自主冒險。只有學生自己經歷豐富的、深刻的思維冒險，才能建立真正的數學聯結，才能讓數學能力轉化為扎扎實實的數學眼光、數學表達。因此，教師還應注意留足時間供學生自主觀察、猜測、想象、歸納、類比。如教學“角的度量”，教師提出問題：同學們通過比較，知道∠A大于∠B，但∠A到底比∠B大多少呢？學生有的嘗試著用線段去表達角張開的大小，有的去尋找所測量的角與直角的倍數關系，有的試圖仿照線段的測量定一個角度基本單位“1”……之后，教師引導學生分析數學冒險的起點、過程、困難與問題解決的矛盾。有的學生基于理性思考周角、平角、直角、1°角的比例關系，從而循著“360°→180°→90°→1°→10°→100°”的路徑，在頭腦中創造度量角的方法，其實這就是再創造了量角器。甚至有的學生會思考角度的進率與長度單位的進率不一致，從而追求用十進制進行統一。

上述種種表述，都暗合洛克哈特的洞見：度量是一種很好的哲學訓練，我們在頭腦中創造完美的虛擬對象，這些對象也有完美的度量尺寸。因此，當以度量為大概念時，無論是“數與代數”的教學，還是“圖形與幾何”的學習，其背后無不體現出數學抽象、數形結合、數學創造、理性思維等育人價值。課堂再輔以求真驅動、整體感知、并置模型、自主冒險等教學策略，學生將會始終感受著數學的震撼——智力自由的震撼，理性解釋世界的震撼。