聚焦高考題、研究題、命新題
——以分段函數微專題為例

黃愛芹

(江蘇省姜堰中學 225500)

高考幾乎每年都會出現分段函數的問題，尤其是含參數分段函數和含絕對值函數，結合對應函數定義、性質等多角度探討，交叉知識點較多，命題形式多樣，備受命題者青睞.本節課是高三一輪復習完初等函數的專題課，學生已有一定的學習經驗，通過追本溯源和命制題目，讓學生也來研究高考，對接高考，形成解決分段函數的一般性策略，在解題過程中總結思想方法，培養學生的理性思維，提高解決問題的能力.

一、課前預習

例3 (2019年泰州一調第11題)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)=f(x)，當0

解析因為f(x)是R上的奇函數,

所以f(-1)=-f(1).

因為f(-1)=f(-1+2)=f(1)，

所以f(1)=0,即1-a+1=0,解得a=2.

我們可以看出題目分布在9-11題，題目均給出在某一段上的具體函數，這些函數涉及絕對值函數、一次函數、三角函數、三次函數等，綜合性較強，命題靈活，結合給出函數的周期性或奇偶性等性質，通過分段處理求值，確定參數的值，從而達到解決問題的目的.

二、追本溯源

例4 (蘇教版必修1第44頁10題)已知函數y=f(x)是R上的奇函數，且x>0時f(x)=1，試求函數y=f(x)的表達式.

回顧課本上的這道課后習題，解題方法有圖象法和代數法，讓學生體會數形結合在分段函數題型中的應用，以形思數，以數想形.

三、命制新題

1.更換條件

題1若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)+1,且當x∈[-2,0)時，f(x)=log2(-x+3),則f(2019)=____.

解析因為f(2019)=f(2017+2)=f(2017)+1=f(2015)+1+1=…=f(-1)+1010，

又因為f(-1)=log2(1+3)=log24=2，

所以f(2019)=1012.

此題很容易聯想到等差數列的結構，類比等差數列的奇數和偶數項成等差，不斷遞推，一直遞推到題目給出的區間，特意將函數改成對數函數，讓學生繼續體會分段函數的綜合性.除了這樣更改條件，還可以怎么改？自然而然引出類似于等比數列結構的函數遞推關系，不妨把函數再更改為二次函數，問題也作改動，變成求不等式的解集.

除了求值和解不等式之外，分段函數還經常考查零點問題，函數零點問題是新課標教材新增內容之一，也是高考的重要考點.現以上述分段函數變題為例談談函數零點的處理策略.

2.更換問題

題3已知f(x)是R最小正周期為2的周期函數，且當0≤x<2時，f(x)=x3-x,則函數y=f(x)的圖象在區間[0，6]上與x軸的交點個數為____.

解析當0≤x<2時,由f(x)=x3-x=0，解得x=0或x=1或x=-1.因為函數的周期是2，所以函數的零點依次為2，3，4，5，6.則函數y=f(x)的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點個數為7個.

此題為2011年全國卷的一道選擇題，屬于簡單題，直接求解出函數的零點，再根據周期性求解其他零點，注意區間右端點6也是一個零點.正確求解一個周期內根的個數和理解周期性是這類題的關鍵，也可以通過畫圖找出根的個數.如果此題改為“與x軸交點的橫坐標的和”也是可以的，啟發學生自我命題，舉一反三，感受數學學習的樂趣.

題4 已知函數f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]時，f(x)=x2,g(x)=log5|x|,則方程f(x)-g(x)=0的實根個數為____.

解析因為函數f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1)，

所以?x∈R,有f(x+2)=f(x)，則f(x)周期為2.

因為函數f(x),g(x)是偶函數，所以只需求出y軸右側的交點個數如圖2.

故方程f(x)-g(x)=0的實根個數為8個.

此題主要是引導學生總結思考：周期函數的表述形式有幾種；分段函數可以嵌入哪些函數；涉及幾類問題；分段函數常用處理方法；蘊含哪些思想方法.在這樣的教學過程中，讓學生形成解決分段函數這類問題的策略.

3.更換函數

4.深度探究

如圖3所示，實根的個數為4.

方法2由|f(x)+g(x)|=1，得f(x)=±1-g(x).

分別作出f(x)與-1-g(x)圖象和f(x)與1-g(x)圖象如圖4、圖5所示.

方法3|f(x)+g(x)|=1,即g(x)=±1-f(x).

分別作出g(x)與-1-f(x)圖象和g(x)與1-f(x)圖象，如圖6所示.

方法2和3利用數形結合將問題轉化為兩個函數圖象的公共點的個數問題，對填空題而言是首選，構造了兩種不同的函數模型，在實際解題中可選取自己擅長或熟悉的函數模型，變形作圖.另外，上述這些方法中都應注意x>1這一段是否有交點，而且圖象的精確度需要結合導數判斷單調性與最值，需要培養學生嚴謹的解題習慣.

四、鞏固練習

由此不難看出，處理分段函數零點的基本原則：

1.分段函數，分段處理;

2.分段函數，畫圖處理;

3.分段函數，注意端點.

運用分類討論、等價轉化、數形結合等方法，關注:

1.求值類型，由里而外;

2.遞推函數，關系先行;

3.零點問題，借形探路;

4.數形結合，分類討論.

特別是具有多個分支的分段函數，應充分考慮各個分支內的交點個數.

作為教師我們需要吃透考點，研究高考考題的來源，了解知識的生長點，學會自主命題，多角度思考，靈活處理.相信只有與高考對接，方能贏在高考！