一道2020年高考數(shù)列填空題的深入思考

蔡海濤 陳凌燕 翁建新

(1.福建省莆田第二中學(xué) 351131;2.福建省廈門市海滄中學(xué) 361022;3.福建省莆田第四中學(xué) 351100)

高考對數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性，重點考查考生對數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用，有時也考查綜合性較強的數(shù)列問題，如以遞推關(guān)系為載體的數(shù)列問題，這類問題將基礎(chǔ)知識的考查和能力的考查有機地結(jié)合，解題方法靈活多樣，技巧性較強．本文以一道2020年高考全國Ⅰ卷文科第16題的數(shù)列問題為例，談?wù)労f推關(guān)系數(shù)列問題的常用求解策略.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2020年高考全國Ⅰ卷·文16)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1，前16項和為540，則a1=____.

二、試題分析

本題以遞推數(shù)列的關(guān)系式為載體，考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識，考查推理論證及運算求解能力，考查分類與整合、特殊與一般、函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

本題只需對n分奇偶數(shù)進行討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用a1表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立以a1為變量的方程，求解即可得出結(jié)論.

三、解法探析

解析當(dāng)n為偶數(shù)時，有an+2+an=3n-1.

所以(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92.

因為數(shù)列{an}前16項和為540，所以a1+a3+a5+…+a15=448.

當(dāng)n為奇數(shù)時，有an+2-an=3n-1.

則an+2=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(an+2-an)

解得a1=7.

點評本題的難點在于已知式子中含有(-1)n，可對其進行分類討論，分為奇數(shù)項和偶數(shù)項再進行分組求和，而偶數(shù)項的求和又注意到每連續(xù)兩項的和構(gòu)成等差數(shù)列，通過并項求和得出前16項中偶數(shù)項的和為92，而奇數(shù)項的求和是先利用累加法求得an+2與a1的關(guān)系，然后把奇數(shù)項的和用a1表示，進而把前16項和用a1表示，最后求得a1的值.

四、變式拓展

變式1已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+(-1)nn(n∈N*)，則a20=____.

解析當(dāng)n為奇數(shù)時，an+1-an=-n；

當(dāng)n為偶數(shù)時，an+1-an=n.

故a20=[(a20-a19)+(a18-a17)+…+(a2-a1)]+[(a19-a18)+(a17-a16)+…+(a3-a2)]+a1

=-(19+17+…+1)+(18+16+…+2)+1

=-9.

變式2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+1+(-1)nan=n，若S17=70，則a2021=____.

解析當(dāng)n為奇數(shù)時，有

an+1-an=n，an+2+an+1=n+1.

則an+2+an=1.

當(dāng)n為偶數(shù)時，有an+1+an=n，an+2-an+1=n+1.

則an+2+an=2n+1.

故(a3+a5)+(a7+a9)+(a11+a13)+(a15+a17)=4,

(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)

=5+13+21+29=68.

從而S17=a1+72=70，解得a1=-2.

因為an+2+an=1,所以a1=a5=a9=a4n+1.

所以a2021=a1=-2.

點評變式1及變式2與本文2020年高考題解法類似，先對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論，通過分組求和尋找規(guī)律性突破難點.

變式3(2012年高考全國Ⅱ卷·理16)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為____．

解析設(shè)a1=a，由已知,得a2=1+a,a3=2-a,a4=7-a,a5=a,a6=9+a，a7=2-a，a8=15-a，a9=a…

令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,

則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4

=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n+16

=bn+16.

又a1+a2+a3+a4=10，

則{an}的前60項和為

點評解決遞推數(shù)列的問題，通常可以用特殊值探路，寫出前幾項，先歸納后猜想尋求一般規(guī)律.本題就是基于特殊與一般的思想，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}每連續(xù)四項之和成等差數(shù)列這個關(guān)系，從而突破了難點.

五、歸納總結(jié)

由以上例題及變式的解題分析，可以總結(jié)出含遞推關(guān)系數(shù)列問題的一般求解策略：首先要重視通性通法，理清知識網(wǎng)絡(luò)，切實掌握數(shù)列的概念與性質(zhì)，把已知的遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造等差或等比數(shù)列；其次要強化合情推理，數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，這決定了數(shù)列解題中離不開規(guī)律性和技巧性的探究，故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問題就顯得尤為重要，通常應(yīng)用分類與整合及特殊與一般的數(shù)學(xué)思想尋找解題的突破口.教師要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會以上兩條解題策略,啟發(fā)學(xué)生學(xué)會聯(lián)想、探索、反思、創(chuàng)新、總結(jié)歸納，這樣才會在解題過程中不斷提升能力和素養(yǎng)．

六、對點訓(xùn)練

答案:3018．

(1)a3=____；

(2)S1+S2+…+S100=____．