巧解全國Ⅰ卷第21題的四種方法

歐永華

(福建省仙游第一中學 351200)

2019年全國課標Ⅰ卷理科綜合第21題：

在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖1中實線所示.在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖1中虛線所示，假設兩星球均為質量均勻分布的球體.已知星球M的半徑是星球N的3倍，則( ).

A．M與N的密度相等

B．Q的質量是P的3倍

C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

解析考題通過a-x圖像描述P、Q兩物體分別在M、N星球上壓縮彈簧的物理過程中物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系.

由牛頓第二定律得

mg-kx=ma

圖像“縱坐標軸的截距”的意義：表示重力加速度有

星球MgM=3a0

(1)

星球NgN=a0

(2)

(3)

(4)

(5)

關于密度的求解略.

現將本題C、D選項關于最大動能和最大壓縮量的四種求解方法轉錄如下

一、彈性勢能定義法

1.當物體加速度為零時，速度最大動能最大，有

mg=kx

(6)

(7)

由機械能守恒定律得

(8)

(9)

2.當物體速度為零時，設彈簧最大壓縮量為xm，

二、a-x圖像拓展法

2.圖像的圖線延伸的物理意義：通過a-x圖像中加速度對位移的累積量的意義拓展，將圖線延伸到橫坐標下方.當壓縮量最大時是物體速度重新為零的位置，由于a-x圖像是線性關系，根據對稱性可得彈簧的最大壓縮量是橫坐標截距的的兩倍如圖2所示.

三、F-x圖像轉換法

1.將a-x圖像進行重構，轉換為F-x圖像進行處理.根據牛頓第二定律F=ma知對確定質量的物體有F∝a，所以F-x圖像也是線性關系.其中已求得mP：mQ=1∶6，所以P物體的F-x圖像縱軸截距是FP=mP×3a0=3ma0，Q物體的F-x圖像縱軸截距是FQ=mQ×a0=6ma0.可得P、Q物體的F-x圖像如圖3所示.

由于F-x圖像中所包圍的“面積”是表示力對位移的累積效果即總功W，所以動能最大時就是對應圖像在x軸上方所包圍的“面積”時.

四、簡諧運動法

(2)又由簡諧運動的對稱性可得，最大壓縮量是振幅的兩倍，xm=2A