高中數學解題中圓錐曲線參數方程的應用

吳曉平

(福建省福州延安中學 350001)

高中數學教學中，為使學生能夠靈活運用圓錐曲線參數方程解答相關的數學習題，應加強訓練學生，使其苦練基本功，打牢基礎，能夠實現圓錐曲線標準方程與參數方程之間的互化.同時注重提高學生應用參數方程解答數學習題的意識，在解題中能夠快速找到相關的解題突破口.

一、用于求解參數范圍

求解參數的取值范圍是高中數學常見的習題類型.部分習題和圓錐曲線知識點結合起來，對學生的分析、解題能力要求較高.解答該類習題要么運用圓錐曲線參數的取值范圍，構建不等式關系進行求解，要么使用圓錐曲線的參數方程進行解答.其中運用參數方程求解不僅易于理解，而且解題過程簡單.教學中為使學生掌握參數方程法求解參數范圍問題，應注重圍繞具體的例題為學生展示具體的解題過程，使其帶來解題的啟發.

該題目如采用常規解法不易找到解題思路，而且求解的過程較為繁瑣，因此，可考慮使用橢圓的參數方法，化繁為簡，巧妙突破.

正確選項為B.

二、用于解答定值問題

定值問題在圓錐曲線中出現頻率較高.很多學生由于思維定勢，常運用傳統的解法，不僅花費大量的時間，而且稍有不慎就會出錯.為避免這一情況的發生，提高學生的解題正確率，既要注重為學生講解運用參數方程求解定值問題的相關思路，又要設計相關的問題對學生進行訓練，使學生親身感受參數方程的應用過程，通過不斷的出錯改錯，逐漸深化對圓錐曲線參數方程的理解，提高參數方程在解題中的應用靈活度.如遇到圓錐曲線動點相關的定值問題時，應首先考慮運用參數方程法進行求解.

例2已知雙曲線方程為x2-y2=2a2，點P為雙曲線上的任意一點.設點P到兩條漸進線的距離分別為d1，d2，則d1·d2的值為( ).

A.1 B.a2C.b2D.c2

該題目為雙曲線的動點問題，解題中應注重運用雙曲線的參數方程設出點P的坐標，然后運用點到直線的距離進行分析、解答.

正確答案為B.

三、用于解答最值問題

學生對求解圓錐曲線中的最值問題并不陌生.相關的解題方法也是多種多樣.教學中應注重啟發學生相互交流解題經驗，通過對比、分析，親身感受參數方程在解題中的便利之處.同時，圍繞學生所學為學生布置求解最值問題的作業，要求其應用參數方程法解答.通過做作業能夠認識到運用參數方程解答圓錐曲線問題中的不足，逐漸積累運用參數方程解題的經驗與技巧，促進其解題水平的進一步提升.

例3已知拋物線方程y2=2x，在其上存在異于頂點O的兩點A，B，滿足OA⊥OB，則△AOB面積的最小值為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

該題如采取常規做法需求出OA,OB的長度，表示出三角形的面積，采用函數知識進行求解，計算繁瑣，容易出錯.如使用拋物線的參數方程，可取得事半功倍的解題效果.

正確選項為C.

四、用于解答綜合問題

圓錐曲線的一些綜合問題直接考查學生運用參數方程解答問題的能力.教學中為使學生盡快找到解題思路，得出正確的解題結果，既要注重篩選、精講相關例題，又要鼓勵學生多進行訓練，尤其應做好訓練后的反思與總結，并將解題心得記錄在錯題本中.平時用好錯題本，定期翻閱，時刻提醒避免犯下類似錯誤.

(1)寫出直線l和C的普通方程.

(2)在C上求點M，使點M到l的距離最小，并求出最小值.

該題目考查了極坐標方程、參數方程向普通方程的轉化，以及參數方程求最值.

運用參數方程解答圓錐曲線問題是一種很好的思路.為使學生熟練掌握、靈活應用，教學中既要注重灌輸參數方程基礎知識，又要引導學生進行推導，使其搞清楚參數方程的來龍去脈、相關參數表示的含義等.同時，在課堂上為學生演示如何應用參數方程解答圓錐曲線問題，使學生掌握相關的應用細節，使其真正做到融會貫通，舉一反三.