探討化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

傅永忠

(浙江省東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 322100)

數(shù)學(xué)解題能力，即通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，這也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).需要數(shù)學(xué)教師在講解習(xí)題基礎(chǔ)上，理解與掌握數(shù)學(xué)思想，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成良好解題能力，順利落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)課堂教學(xué)質(zhì)量與效率的提升.

一、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化

函數(shù)解題中運(yùn)用化歸思想，直接表現(xiàn)為動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)換.函數(shù)反映生活中的變量關(guān)系，屬于典型數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)事物運(yùn)動(dòng)與變化的規(guī)律.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)展眼光看待變量間的關(guān)系，從題干中提取出數(shù)學(xué)因素與變量間的關(guān)系.利用化歸思想將靜態(tài)文字描述轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的變量關(guān)系，通過(guò)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

二、數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)化歸思想的表現(xiàn)形式就是數(shù)形結(jié)合.數(shù)形轉(zhuǎn)化，也就是有效結(jié)合函數(shù)解析式與函數(shù)圖象，將抽象難以理解的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)為直觀性強(qiáng)、可以觀察的數(shù)學(xué)解題方法.數(shù)學(xué)思維有許多常用的方法，而形和數(shù)與思維的結(jié)合具有數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法.抽象定量關(guān)系的可視化是直觀的，易于理解和接受.將視覺(jué)數(shù)字量化并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)運(yùn)算通常會(huì)降低難度，使數(shù)學(xué)知識(shí)更加容易理解.數(shù)形結(jié)合法的最大特點(diǎn)就是直觀與簡(jiǎn)潔，同時(shí)還更為形象，符合高中生的思維特點(diǎn)與接受能力.與傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法相比，數(shù)形結(jié)合方法更能吸引學(xué)生注意力，快速、準(zhǔn)確解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題.

A.6 B.8 C.12 D.10

三、拓展延伸

很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，并未做出相應(yīng)的延伸與探究，滿足于簡(jiǎn)單掌握概念的表面含義，沒(méi)有主動(dòng)對(duì)其進(jìn)行深層次的延伸，解題時(shí)無(wú)法靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定理與概念.

我們要注意一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)解題并不是簡(jiǎn)單地獲得最終答案，而是可以從解題過(guò)程中逐步領(lǐng)會(huì)與掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)自身數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行完善.實(shí)際上，中學(xué)生最容易忽視反思這一步驟.大部分學(xué)生只覺(jué)得做題正確即可，但做題后需要總結(jié)與反思解題思路，檢查與回顧整個(gè)思路，深入理解這類(lèi)題目.此外，很多數(shù)學(xué)題都存在“一題多解”的情況，但一些學(xué)生并沒(méi)有理會(huì)這一情況，并未尋求多角度解決問(wèn)題，小知識(shí)點(diǎn)混淆，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.這就需要學(xué)生繼續(xù)整理與歸納，逐步形成完整的知識(shí)脈絡(luò)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，大幅度提升數(shù)學(xué)解題效率.

四、轉(zhuǎn)化遞推公式

高中數(shù)學(xué)試題中最常見(jiàn)的一類(lèi)習(xí)題就是特征方程，這類(lèi)題型可以運(yùn)用相應(yīng)技巧解決，如an+1=pan+qan-1二階遞推式計(jì)算通項(xiàng)公式，可以將特征方程x2=px+q進(jìn)行快速求解.如果方程本身存在兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根x1，x2，可以據(jù)此構(gòu)造出兩個(gè)等比數(shù)列：{an+1-x1an}與{an+1-x2an}，求出通項(xiàng)：{an+1-x1an}與{an+1-x2an}，并將an+1，an當(dāng)做未知數(shù)求出相應(yīng)的表達(dá)式，最后再用待定系數(shù)法求出an的表達(dá)式.如，教師為激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，特意設(shè)計(jì)了一組數(shù)列，且該數(shù)列具有以下特點(diǎn)：

例4已知數(shù)列為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列第一項(xiàng)為1，緊連兩項(xiàng)為1，2，之后三項(xiàng)為1，2，4等.現(xiàn)知N為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，且N為2的整數(shù)冪，求最小整數(shù)N為以下哪一個(gè)( ).

A.440 B.330 C.220 D.110

解決這道數(shù)學(xué)題目時(shí)，常規(guī)解題方式首先要對(duì)其中的規(guī)律進(jìn)行觀察，與數(shù)列計(jì)算公式結(jié)合起來(lái)，通過(guò)計(jì)算大量數(shù)據(jù)得到最終的答案，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高.但這時(shí)引入構(gòu)造方程方法，可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與提高運(yùn)算能力的有效途徑.

五、構(gòu)造函數(shù)法

高中數(shù)學(xué)日常習(xí)題練習(xí)，要熟練運(yùn)用各類(lèi)解題技巧.

1.求導(dǎo)法

高中數(shù)學(xué)解題時(shí)最常見(jiàn)的方法就是求導(dǎo)法，這個(gè)方法最常用于函數(shù)問(wèn)題的解決.

求解函數(shù)值域時(shí)，要充分利用函數(shù)的各類(lèi)性質(zhì)，如圖象、單調(diào)性及奇偶性等，本題函數(shù)帶根號(hào)，利用圖象求解困難，可以借助求導(dǎo)的方式進(jìn)行解答.

所以當(dāng)f′(x)>0時(shí)，有x>-4，所以函數(shù)f(x)在定義區(qū)間[-2,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-2)=-1.

所以函數(shù)f(x)值域?yàn)閇-1,+∞).

2.構(gòu)造法

該法是高中解題時(shí)最常用的一種方法，主要用來(lái)構(gòu)造方程、向量、坐標(biāo)等，是解題的關(guān)鍵.學(xué)生需要憑借自己敏銳的觀察力和經(jīng)驗(yàn)尋找解題突破口，根據(jù)題目要求構(gòu)造出合適的函數(shù)，滿足解題需要，完成構(gòu)造，正確解答.

比如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，主要鍛煉學(xué)生對(duì)公式、定律的選取和應(yīng)用，對(duì)其屬性實(shí)現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)換，再配以三角定律，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)教師要在課堂上引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.如，數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

總之，高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用化歸思想可以豐富學(xué)生的解題思路，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建設(shè).化歸思想的應(yīng)用，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高數(shù)學(xué)解題效率，為類(lèi)似研究提供借鑒.