例談誘導公式的轉化誘導功能

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

誘導公式是高中三角函數中的重要公式，利用誘導公式可以使看似復雜的三角函數問題得到巧妙的解答，起到事半功倍的作用.誘導公式充分體現了轉化的數學思想，而轉化的數學思想主要是通過誘導公式的誘導功能實現的.下面舉例說明誘導公式的轉化誘導功能.

一、利用公式轉化誘導出所需要的“角”

分析此題是給角求值問題，利用誘導公式轉化導出特殊的銳角，然后運用特殊角的三角函數值求解.

二、利用公式轉化誘導出所需要的“函數名”

例2 求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值.

分析不難發現1°+89°=90°，2°+88°=90°，…，44°+46°=90°,所以sin89°=sin(90°-1°)=cos1°，sin88°=sin(90°-2°)=cos2°，…，sin44°=sin(90°-46°)=cos44°，再利用公式sin2α+cos2α=1(α∈R)即可求解.

解析由1°+89°=90°，得sin89°=sin(90°-1°)=cos1°，所以sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1.

點評對于正、余弦的互余關系問題，都可用誘導公式轉化誘導出所需要的函數名，即若α與β是互余角，則sinα=cosβ，cosα=sinβ.

三、利用公式轉化誘導出所需要的“函數式”

分析結合函數式的特點，利用誘導公式、二倍角公式以及輔助角公式，把函數式最終化為y=Asin(ωx+φ)+K的形式，然后再求最小正周期和最值.

點評求解本題的關鍵是利用誘導公式、二倍角公式以及輔助角公式，把函數式最終化為我們需要的函數y=Asin(ωx+φ)+K的形式，體現了解題活動的目標意識.

四、利用公式轉化誘導出所需要的“聯系”

點評對于這類問題，要善于發現已知角和結論角互余(或互補)關系，充分利用誘導公式轉化誘導出所需要的已知式和被求值式之間的關系.

例5 設函數f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零實數，且滿足f(2019)=-1，求f(2020)的值.

分析根據已知條件，尋求f(2019)和f(2020)之間的關系，這個聯系就是我們解答問題的關鍵.

解析因為f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，f(2019)=-1，所以f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-1.

所以f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)

=asin[π+(2019π+α)]+bcos[π+(2019π+β)]

=-asin(2019π+α)-bcos(2019π+β)

=-[asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)]

=-(-1)=1.

點評f(2020)和f(2019)是通過“π+α”的誘導公式聯系轉化溝通的.