探究問題本質 提高解題能力
——以一類二元二次方程的研究為例

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

最近在教學過程中遇到一個問題，教師看起來挺容易，但是學生覺得很困難.在我所帶的實驗班中正確率才8%，幾乎全軍覆滅.于是，我對此類問題進行了深入探究.現分享與此，以饗讀者.

一、試題呈現

題目方程2x2+xy-y2-4x+5y-6=0表示( ).

A.一個圓 B.兩條平行直線

C.兩條相交直線 D.不確定

在和學生交流中發現，學生根本無從下手，僅能根據圓的一般方程排除A.至于后面三個選項更趨向于D，我哭笑不得.學生普遍反映不知道方程左邊該怎樣處理.

二、解法探究

首先，我請同學們一起觀摩了參考答案：

由于2x2+xy-y2-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)+2(x+y)-6x+3y-6

①

=(x+y)(2x-y+2)-3(2x-y+2)

②

=(2x-y+2)(x+y-3)，

所以根據(2x-y+2)(x+y-3)=0，得

2x-y+2=0，或x+y-3=0.

據此判斷原方程表示兩條相交直線，故選C.

這個解法遭到了同學們的普遍質疑：①處的2(x+y)是怎樣想到的？②的公因式2x-y+2是偶然的，還是必然的？①中能否去拼湊2x-y呢？這種解法具有一般性嗎？調整系數還可以這樣分解嗎？

在學生急切期盼中，我給學生分析解答如下：

基于2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y)，說明

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+m)(x+y+n).

③

否則，關于x，y的一次項和常數項沒有來源.

下面用待定系數法求解m，n.

(2x-y+m)(x+y+n)

=(2x-y)(x+y)+n(2x-y)+m(x+y)+mn

=(2x-y)(x+y)+(2n+m)x+(m-n)y+mn.

所以2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+2)(x+y-3).

殊途同歸，學生基本接受了，他們認為這種解法可以復制.事實上，這類題目有個大前提：前三項齊次式必須可以分解，否則這種辦法擱淺.

三、本質探究

設二元二次方程為ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(abc≠0)其中a=a1×a2，c=c1×c2，b=a1c2+a2c1.

于是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+dx+ey+f.

令ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y+m)(a2x+c2y+n)=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+n(a1x+c1y)+m(a2x+c2y)+mn=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+(na1+ma2)·x+(nc1+mc2)y+mn,

至此，我們把這一類二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(其中a=a1×a2,c=c1×c2,b=a1c2+a2c1)問題本質理清了.它表示的兩條相交直線是：

四、拓展延伸

我們知道，平面上兩條直線的位置關系有相交、平行、重合三種.既然兩條相交線可以有這樣的表示方式，那么兩條直線平行、重合又該如何表示呢？

兩條平行直線的方程可以分別表示成：ax+by+c1=0和ax+by+c2=0(a2+b2≠0).那么仿照前文可知，它們可以用一個方程表示為

(ax+by+c1)(ax+by+c2)=0.

④

整理，得

(ax+by)2+a(c1+c2)x+b(c1+c2)y+c1c2=0.

⑤

逆向思考可知⑤表示兩條平行的直線.這里尤其需要注意：④式中兩因式變量系數對應相等；⑤式中兩個一次項系數與二次項系數、常數項的關系.

例1方程x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0表示____.

解析因為x2+4xy+4y2=(x+2y)2，所以x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0可以變形為(x+2y)2+(1+2)x+2(1+2)y+1×2=0.

即(x+2y+1)(x+2y+2)=0.

所以x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0表示兩條平行直線x+2y+1=0和x+2y+2=0.

同理，兩條重合的直線表示為(ax+by+c)2=0.

即a2x2+2abxy+b2y2+2acx+2bcy+c2=0.

例2方程x2+2xy+y2+2x+2y+1=0表示____.

解析因為x2+2xy+y2+2x+2y+1=(x+y+1)2，所以x2+2xy+y2+2x+2y+1=0表示兩條重合的直線x+y+1=0，也可以看成一條直線.

五、牛刀小試

練習方程2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示____.

解析因為 2x2+3xy+y2=(2x+y)(x+y)，兩個因子的x，y系數不成比例，所以2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示兩條相交直線.

由前文知a1=2，a2=1，c1=1，c2=1，d=5，e=3.

所以2x2+3xy+y2+5x+3y+2=(2x+y+1(x+y+2).

所以方程2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示兩條相交直線2x+y+1=0和x+y+2=0.

六、教后反思

1.教學中務必注重通性通法教學，學生方可“復制”

所謂通性通法是指具有某種規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學解題方法.建構主義認為,教學應以使學生形成對知識的深刻理解為目標.《普通高中數學課程標準(實驗)》也指出:“高中數學課程應該返璞歸真,努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”《2020年數學科考試說明》也指出:“數學知識考查時,要從學科整體意義和思想含義上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,要有效地檢測考生對中學數學知識中所蘊含的數學思想和方法的掌握程度.”因此,數學教學應重視對通性通法的深層次理解,強化基礎知識、基本技能的訓練,深入理解數學的本質,發展數學應用意識,提高實踐能力.只有學生掌握了通解通法，才不可能短時間就“忘了”，才能做到舉一反三，靈活應用，避開題海戰術，并且提升能力.

2.教學中，比答案更重要的是揭示問題本質

高中學生學得辛苦,但由于缺乏對數學問題本質的認識,常常事倍功半,在重復與茫然的訓練中效率不高．因此,教師的指導作用應該體現在“講清數學道理,揭示數學本質”上．通過教師自身或集體研究,幫助學生反思學習過程、領悟數學背景,從數學知識的根源開始,理清每一類問題的來龍去脈,使得數學知識“拎起來成一串、撒下去鋪一片”,這樣才能讓學生真正學懂弄通,學習和應試都不再迷茫．

3.適當拓寬教學內容，擴大學生視野，激發學習興趣

我們知道，現行初中教材中，因式分解只介紹了提公因式法和公式法.事實上，因式分解有很多方法，但是初中學生精力有限，為了減負，沒有全面鋪開，同時也是教材編寫的原則：螺旋上升.但是到了高中，我們需要更多的因式分解方法以應對各種復雜的問題.此時我們有必要做好拓寬補充工作，否則學生跟不上教學節奏，聽不成課，做不成作業，學習積極性會受到創傷.

另外，二元二次方程在高中現行教材中僅在《圓的一般方程》一節提到過，也沒有詳細介紹.但是圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是它的特例，在大學中還會深入全面研究它.在高中教學過程中有機會給學生適度引入介紹，增加一些了解，對學生來說，不僅從知識的層面有收獲，更重要的是可以激發學生的求知欲，對數學充滿期望，對未來的大學學習也是一個鋪墊.何樂而不為呢！