一道校級競賽選拔題的解答與思考

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學 230000)

一、試題呈現與解答

題目設x,y,z為整數，且x+y+z=3，x3+y3+z3=3，則x2+y2+z2=____.

解法1設x=1+a，y=1+b，z=1+c，由x+y+z=3中，得a+b+c=0，代入x3+y3+z3=3，得a3+b3+c3+3(a2+b2+c2)=0.因為a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0，所以a3+b3+c3-3abc=0.所以a2+b2+c2=-abc，且abc≤0.

所以x2+y2+z2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+3=3-abc.

(1)若a,b,c中存在數為零時，可得a=b=c=0，那么x2+y2+z2=3，此時x=y=z=1滿足條件；

(2)若a,b,c中不存在數為零時，由abc≤0可知它們為兩正一負，不妨設a≥b>0>c.

將c=-a-b代入a2+b2+c2=-abc，得2(a2+ab+b2)=ab(a+b).

當ab=2，a+b=2時，方程組無解；

當a+b=6，ab=9時，a=3，b=3，此時c=-6，即x=4,y=4,z=-5，所以x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

分別解得x=y=1，無解，x=y=4.

當x=y=1時，z=3-(x+y)=1，x2+y2+z2=3；

當x=y=4時，z=3-(x+y)=-5，x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

解法3不妨設x≥y≥z，由x+y+z=3，得x≥1，z≤1，所以x+y=3-z≥2.

由x+y=3-z，得x3+y3=3-z3.

因為x+y|x3+y3，即3-z|3-z3.

(1)當3-z=2，即z=1時，x+y=2，x3+y3=2，得x=y=1，此時x2+y2+z2=3；

(2)當3-z=3，即z=0時，x+y=3，x3+y3=3，方程組無實數解；

(3)當3-z=4，即z=-1時，x+y=4，x3+y3=4，方程組無實數解；

(4)當3-z=6，即z=-3時，x+y=6，x3+y3=30，方程組無實數解；

(5)當3-z=8，即z=-5時，x+y=8，x3+y3=128，得x=y=4，此時x2+y2+z2=57；

(6)當3-z=12，即z=-9時，x+y=12，x3+y3=732，方程組無整數解；

(7)當3-z=24，即z=-21時，x+y=24，x3+y3=9264，方程組無整數解.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

目前太谷縣全縣50%飲用水來源于龐莊水庫，龐莊水庫主要向兩個水廠（站）供水，分別是太谷縣自來水公司在楊家莊村設立的水廠和小白供水站。主要用水區域為太谷縣城、小白鄉、水秀鄉、胡村鎮。

解法4令d=y+z，e=z+x，f=x+y，則d+e+f=6，d,e,f均為整數，不妨設f最大，故f≥2.

3def=3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)3-(x3+y3+z3)=24，所以def=8.

得(f-2)2(f-8)≥0.

當f=2時，則d+e=4，de=4.解得d=e=f=2.即x=y=z=1，此時x2+y2+z2=3；

當f≠2，則f≥8.又def=8，d,e,f均為整數，故f=8，則d+e=-2，de=1，解得d=e=-1，即x=y=4，z=-5，此時x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

評注解法1從增量的角度設元，從而將x,y,z的關系轉化為a,b,c的關系，構建目標x2+y2+z2與a,b,c的聯系，再結合a+b+c=0和abc≤0，利用符號法則進行分類討論，對于“a,b,c中沒有數為零時”，通過變形利用整數的分解進行轉化，無論哪種情況，都要驗證所求值的存在性.

解法2直接聯立消去z，構建xy與x+y的關系，利用整數的性質及數的整除性化無限為有限，求解關于x、y的方程組，最終確定目標.當然也可將3(x+y)2-(xy+9)(x+y)+8=0視為關于x+y的一元二次方程，根據(xy+9)2-96為完全平方數求解.

解法3從x+y與x3+y3之間的關系入手，利用整除的性質得到3-z|24，進而求解關于x，y的方程組，最終確定目標.

解法4根據已知條件巧妙換元，利用公式3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)3-(x3+y3+z3)實施化歸，進而構建不等式進行消元，等價變形是解題的關鍵.

二、兩點思考

1.注重邏輯推理過程，確保過程與結果的正確性

很多學生通過觀察，發現x=y=z=1是滿足條件的一組解，直接得出“結果x2+y2+z2=3”.事實上，x=y=z=1只是滿足條件的局部解，是否是唯一解并未加以證實，豈能用特殊代替一般.以上解答中，根據對稱性均對實數x,y,z進行了排序，從而利用平均值原理簡化求解過程，通過以上過程可知滿足條件的解(x,y,z)為四組，分別為(1,1,1)，(4,4,-5)，(4,-5,4)，(-5,4,4).平時學習時，我們要加強推理，逐步形成嚴謹有序的推理習慣，積累規范表達的基本技能.

2.理解與掌握“四基”，提高解題的合理性與靈活性