等軸雙曲線的十點圓

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

定理1 以等軸雙曲線上任意三點為頂點的三角形的垂心也在該雙曲線上.

解析(1,0).我們用平移的方法解這道題.

定理2 以等軸雙曲線上任意三點為頂點的三角形各邊中點為頂點的三角形的外接圓過定點且該定點就是該等軸雙曲線的中心.

①

②

③

①-②，③-②，分別得

④

⑤

又由①，可求得F=0.

⑥

⑦

可求得圓⑥與圓⑦的公共點是坐標原點O.因此，若以曲線Γ上的任意三點為頂點的三角形各邊中點為頂點的三角形的外接圓(即圓⑥)經過定點，則該定點只可能是坐標原點O.

又因為圓⑥過坐標原點O，所以結論成立.

題2 (題1的類題)在平面直角坐標系xOy中，設A,B,C是曲線x2-y2+2x+4y+a=0(a≠-3)上三個兩兩互異的點，且D,E,F分別是線段BC,CA,AB的中點，則過D,E,F三點的圓一定經過的定點是____.

解析(-1,2).可得題中的曲線即等軸雙曲線(x+1)2-(y-2)2=-a-3(-a-3≠0)，其對稱中心是點(-1,2).再由定理可得答案.

筆者由定理1,2聯想到了九點圓定理：三角形三邊的中點，三條高的垂足和三個歐拉點(連接三角形各頂點與垂心所得三線段的中點)這九點共圓.由此結論及定理1,2，可得.

定理3 如圖1,2所示，若三點A1,A2,A3均在等軸雙曲線Γ上(在圖1中，三點A1,A2,A3均在雙曲線Γ的同一支上；在圖2中，三點A1,A2,A3不均在雙曲線Γ的同一支上)，則△A1A2A3的垂心H也在雙曲線Γ上，且△A1A2A3三邊A2A3,A3A1,A1A2的中點B1,B2,B3、三條高AiHi的垂足Hi、三條線段AiH的中點Ci(i=1,2,3)及雙曲線Γ的中心O這十點共圓.