封閉氣體壓強計算歸類分析

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學 136200)

縱觀近幾年高考在選修部分的考察，選修3-3部分與初中知識銜接緊密，高考題目難度相對穩定，對比3-4得分相對容易，所以越來越多的一線教師和學生在備考時都將選修部分復習的重點落在了3-3部分.在選修3-3部分中氣體的相關狀態參量的計算一般以10分的計算題形式呈現.壓強作為描述氣體的狀態參量之一，往往是解決問題的關鍵，所以封閉氣體壓強的計算是教學重點但同時也是學生學習的難點.為了幫助學生突破這一難點，我對這一類問題進行了相應的歸納總結，在此和同仁探討.

從密封方式分析，通常有兩種“液封”和“固封”.從封閉氣體所在系統所處于的力學狀態分析，通常也有兩種“平衡系統”和“加速系統”. 下面我們就對具體的問題進行歸類分析：

一、平衡類

處理此類問題首先要選擇合適的研究對象(一般為用來封閉氣體的液體、活塞等)，結合帕斯卡定理和連通器原理對研究對象進行受力分析，列平衡方程求解.

1.直型管

此類問題選擇某一段或幾段水銀柱為研究對象列平衡方程.其中液體柱壓強p=ρgh，帶入相應數據，可求得帕斯卡單位下的壓強數值.而在高中階段通常以水銀柱為例考察，此時液體柱壓強可以表示為p=hcmHg.

(1)試計算下述幾種靜止情況下各封閉氣體的壓強，已知大氣壓強P0=76cmHg，管中每段水銀柱的長度均為10cm.

解析

圖1甲以水銀柱為研究對象：ps=p0s，可解，p=p0=76cmHg

圖1乙以水銀柱為研究對象：

ps=p0s+ρghs，可得p=p0+ρgh=(76+10)cmHg=86cmHg

圖1丙以水銀柱為研究對象：

ps=p0s+ρghssin30°

(2)如圖2所示，在裝滿水銀的槽內有一個體積非常小的氣泡，氣泡距水銀液面10cm，已知大氣壓強P0=76cmHg，求氣泡內氣體壓強

解析取氣泡上方橫截面積為s高為10cm的水銀柱，列平衡方程

ps=p0s+ρghs，可得p=p0+ρgh=86cmHg

注：也可直接分析，氣泡內壓強來源于大氣和10cm高水銀柱壓強之和

p=p0+ρgh=86cmHg

(3)如圖3所示，已知大氣壓P0=76cmHg，水銀的密度為ρ，管中兩段水銀柱的長度均為10cm，求上下兩段封閉氣體的壓強P1和P2

解析以B段水銀柱為研究對象，列平衡方程

p0s=p2s+ρghs，可得p2=p0-ρgh=66cmHg

以A段水銀柱為研究對象.列平衡方程

p2s=p1s+ρghs，可得p1=p2-ρgh=56cmHg

注：在計算上端氣體壓強p1時，也可以以AB兩段水銀柱和下端封閉氣體這一整體為研究對象.此時有p0s=p1s+2ρghs，可得p1=p0-2ρgh=56cmHg.

解決直型管平衡類問題時，通常以某一段水銀柱(若題中未直接給出水銀柱，可在系統中“構建”一個水銀柱，如題2)為研究對象，通過對其兩側氣體壓力和重力的分析，列取力學平衡方程，代入相應數據并計算.多段水銀柱封閉多段氣體時，通常情況下分析的順序為，先對與大氣相接觸那部分水銀柱為研究對象，求出第一段封閉氣體的壓強，再逐級分析.也可以將所有水銀柱視為一個整體分析出最邊緣一部分封閉氣體的壓強，再逐個分析.

2.U形管

在U形管類問題中，關鍵的問題在于解決左右兩側不同位置的壓強關系.即同一種連續不間斷的液體在同一水平面上的壓強相等.此類問題通常以兩側“液面差”那一部分水銀柱為研究對象，列方程求解.

(4)如圖4甲所示，豎直放置的U形管，左端開口右端封閉，左右兩測液面差為10cm，已知P0=76cmHg，求右側封閉氣體的壓強

解析在右側管中選取與左側液面A點等高的B點，由連通器原理可知AB兩點壓強相等.選取以右側高出左側的10cm水銀柱為研究對象，設水銀柱橫截面積為s，受力分析如圖4乙所示，列平衡方程

p0s=ps+ρghs，可得p=p0-ρgh=66cmHg

(5)如圖5甲所示，直管插入水銀槽內，管內水銀液面比槽內液面高10cm，已知P0=76cmHg，求管內封閉氣體的壓強.

解析本題實際上是一個U形管問題，點睛之筆找出等效的連通部分構建出一個液面以下的U形管如圖5乙所示，由此可知解法同上題一致

p0s=ps+ρghs，可得p=p0-ρgh=66cmHg

注：如圖5丙所示，若管內液面低于水銀槽液面，選槽外橫截面積為s的高為10cm水銀柱為研究對象，則有

ps=p0s+ρghs，可得p=p0+ρgh=86cmHg

(6)如圖6所示，豎直放置的U形管，左端開口右端封閉，水銀柱a、b將A、B兩段空氣柱封閉在管內．已知水銀柱h1=h2=10 cm，大氣壓強P0=76cmHg，求空氣柱A、B的壓強.

解析以a水銀柱為研究對象，設水銀柱橫截面積為s，列平衡方程

p0s=pAs+ρgh1s，可得pA=p0-ρgh1=66cmHg

以b段水銀柱中左右兩側液面差h2段為研究對象，列方程可得

pAs=pBs+ρgh2s，可得pB=pA-ρgh2=56cmHg

在U形管類問題中，關鍵的問題在于借助連通器相關知識分析求解左右兩側液體中不同位置的壓強關系.我們首先需要找出題目中直接或間接存在的“連通器”，再以兩側液面多出部分的水銀柱(如例4中B點上方水銀柱和例5中比槽內液面高出的10cm水銀柱)為研究對象，分析水銀柱兩側受到的壓力和自身重力，列受力平衡方程求解.

3.汽缸活塞

汽缸活塞類問題一般情況下解法不唯一，選擇的研究對象可以是汽缸或活塞，也可以是汽缸和活塞的整體，不同的研究對象對應不同的受力情形，多數情況下選擇受力個數較少或受力情況簡單的物體為研究對象.

(7)用細線將汽缸懸掛在天花板上,如圖7所示,汽缸筒的質量為M,活塞質量為m,活塞面積為S，大氣壓強為P0,求汽缸內氣體的壓強.(忽略活塞和汽缸間摩擦)

解析以汽缸為研究對象，列平衡方程

注：本題亦可以活塞為研究對象，其中利用整體法可求繩對活塞拉力T=(M+m)g，列方程可求答案.

(8)一汽缸靜置于地面上,如圖8甲所示,活塞質量為m,活塞底面積為s斜面傾角為θ,大氣壓強為p0,求汽缸內氣體的壓強p.(忽略摩擦)

以活塞為研究對象，活塞處于受力平衡狀態，作出受力分析圖，如圖8乙，列豎直方向平衡方程

注：由大氣對活塞豎直分量p0scosθ=p0s可以看出，大氣向下的壓力只與活塞面積的水平分量有關，與斜面傾角無關，即該類問題與活塞的上下表面形狀無關.

(9)如圖9所示，兩端開口的汽缸水平固定，A、B是兩個厚度不計的活塞，面積分別為S1=20 cm2，S2=10 cm2，它們之間用一根細桿連接，B通過水平細繩繞過光滑的定滑輪與質量為M的重物C連接，靜止時重物C的質量M=3 kg，已知大氣壓強P0=1×105Pa，取g=10 m/s2，(缸內氣體可看作理想氣體，不計一切摩擦).求：汽缸中的氣體壓強P.

解析以兩活塞整體為研究對象，桿中彈力對兩活塞等大反向，對整體的受力無影響.由于兩活塞面積不等，封閉氣體對兩活塞的壓力滿足PS1>PS2，封閉氣體對活塞整體有力的作用.列平衡方程

PS1+P0S2=P0S1+PS2+Mg

代入數據可得：P=1.3×105Pa

注：本題也可單獨分析兩個活塞的受力平衡狀態，設出桿對兩活塞力的方向，分別列取關于兩個活塞的平衡方程，消去桿中力，即可求解出封閉氣體壓強.

注:汽缸活塞類問題一般情況下解法不唯一，選擇的研究對象可以是汽缸或活塞，也可以是汽缸和活塞的整體，不同的研究對象對應不同的受力情形.多數情況下，單個活塞問題使用隔離法，選擇受力個數較少或受力情況簡單的物體(活塞或汽缸)為研究對象，可以避免分析不必要的外力.雙活塞問題時使用整體法，選擇兩個活塞構成的整體為研究對象.可以避免分析連接兩活塞的繩或桿中的力，但應重點注意內力(封閉氣體對活塞的壓力之和)是否為零.在(7)的求解過程中，大部分學生借用以往經驗直接按內力為零處理，而未考慮兩活塞受力面積不等，這是造成此類問題失分的最大陷阱.

二、加速類

(10)如圖10甲所示，有一段長L=12cm的水銀柱，在均勻玻璃管中封住一定質量的氣體，若開口向上將玻璃管放置在傾角為θ=30°的光滑斜面上，大氣壓強P0=76cmHg,g=10 m/s2.求下滑的過程中被封住氣體的壓強P.

解析水銀柱與玻璃管一起沿光滑斜面勻加速下滑，可以看成連接體問題.分析這一整體

可得，a=gsin30°

再以水銀柱為研究對象，畫出受力分析圖，如圖10乙所示，沿斜面方向列牛頓第二定律方程，設水銀柱橫截面積為S

P0S+mgsinθ-PS=ma,其中m=ρLs

代入數據可得P=P0=76cmHg

注：本題中斜面光滑，水銀柱的重力沿斜面分量全部用來產生加速度，對封閉氣體壓強無貢獻，同理將玻璃管開口沿斜面向下，氣體壓強不變.

(11)如圖11所示,粗細均勻的玻璃內有一橫截面積為S質量為m的活塞，活塞封閉了一段氣體.現使試管在水平面內以角速度ω繞軸OO′勻速轉動,此時活塞和轉軸的距離為L.活塞不漏氣且不考慮摩擦和溫度的變化,大氣壓強為P0.求此時封閉氣體的壓強為P.

解析活塞繞軸做勻速圓周運動，其所受合力充當向心力,列向心力方程

(12)如圖12所示.粗細均勻的U形細管水平部分長為L,管中盛有一定質量的液體,當U形管以加速度a向右運動時,求兩管中液面的高度差Δh.

解析以管中水平部分水銀柱為研究對象，U形管中水平該部分左右兩端受到豎直水銀柱的壓力，設管中右側水銀柱高為H,大氣壓強為P0，則

左端受到向右的力F左=P0S+ρg(H+Δh)S

右側受到向左的力F右=P0S+ρgHS

水平水銀柱質量m=ρLS

列牛頓第二定理

F左-F右=[0S+ρg(H+Δh)S]-[P0S+ρgHS]=ma

加速類問題比平衡類問題復雜，首先應通過分析確定研究對象(與氣體相關的活塞或水銀柱)，確定加速度(合外力)的方向，確定研究對象受力情況(特別注意分析氣體對各部分的壓力區別)，最后列牛頓第二定律求解.

封閉氣體壓強的計算，是分析求解理想氣體狀態方程類問題的關鍵步驟.計算封閉氣體問題是一般遵循以下幾個步驟，

1.確定適當的研究對象.封閉結構簡單的問題一般選擇隔離分析活塞、缸體或液柱，受力較為簡單，易于求解.封閉結構復雜的問題一般選擇整體法，此時可以有效地避免分析復雜的內力.

2.分析研究對象受力.隔離分析時，應注意分析研究對象的重力.整體分析時，應重點注意內力(封閉氣體對活塞的壓力之和)是否為零.

3.列方程求解.在選擇合適的研究對象后，根據研究對象所處的力學狀態，列出相應的力學平衡方程或牛頓第二定律方程，即可代入數據進行相應的求解.