玩中學演中悟 從三個水平層次管窺直觀想象素養
——以2020年浙江高考立體幾何解答題為例

王崢嶸 王奇佳 沈 恒

(浙江省湖州市第二中學 313000)

《普通高中數學課程標準(2017 年版)》指出：數學學科直觀想象素養主要表現在建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.可以說，直觀想象素養是數形結合思想的一種具體落實，在學生頭腦中建立起從一維數軸——二維平面——三維空間的逐步學習過程，形成一種具備直觀感受下的空間思考能力.

直觀想象素養分為三個水平層次，其一是直面感官想象的能力；其二是形成數形結合的思想；其三是構建直觀模型的體系.課程標準明確指出，我們教學需要適配的三個方向，即認識、形成、構建！本文結合2020年浙江省高考立體幾何解答題，從直觀想象三個水平層次的角度，談一談如何在教學中培養學生的直觀想象能力.

題目(2020年浙江卷第19題)如圖1，三棱臺DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

(1)證明：EF⊥DB；

(2)求DF與面DBC所成角的正弦值.

層次一：興于形——直面感官想象的能力

立體幾何解答題往往已經給出圖形，這就在水平層次一上.讀懂幾何試題的一般圖形，是最直接的感官想象能力.具體分析一下，第(1)問考查的是異面直線垂直問題，是一個常規問題，這類問題的基本策略就是借助線面垂直證明線線垂直．此處可直接利用平面與平面垂直的性質定理(如圖2)：兩個平面(α和β)垂直，則一個平面垂直于交線(l)的直線(b?α，b⊥l)與另一個平面垂直(b⊥β)．

層次二：立于思——形成數形結合的思想

空間幾何本身就是以圖形為載體，通過傳統歐式幾何定理，利用“形”的視角解決問題，也可以從“數”的視角，利用向量運算解決問題.縱觀近年來浙江高考立體幾何解答題，我們不難發現，命題組一直努力在尋求兩種方式的平衡，即不能讓“代數運算”的向量方式占據絕對優勢，因此命題組在傳統歐式幾何方式和建系向量方式上努力尋求平衡點.這一命題思路，正是暗示了我們的一線教學，需要從兩個方面指導學生立體幾何的學習，“形解”和“數解”都要掌握，因此筆者提出，立體幾何教學要兩法并舉、齊頭并進，切勿“單腿走路”.現在一線教學對于傳統歐式定理的教學往往有所放松，而中學數學更注重“形”的培養，以形輔數在數形結合思想中占據著更為重要的地位，來看“形”解：

解析(1)如圖3，過點D作DO⊥AC于點O，連接OB.

所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB.

由三棱臺ABC-DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB.

(2)過點O作OH⊥BD于點H，連接CH.

由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角.

由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD.

所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角.

層次三：成于新——構建直觀模型的體系

隨著學生掌握知識的進步，我們發現愈來愈多的學生會利用空間向量的方式解決立體幾何問題，這也是方法的進步.記得浙江大學金蒙偉教授說過：我們一直想努力命一道傳統歐式幾何法不吃虧、空間向量不占便宜的立體幾何試題，但是真的很難，就好比是有了計算器之后，無論如何使用算盤都占不到便宜！在教學中，如何快速引導學生建構直觀模型，是空間幾何學習的必備方向.

解析由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為θ，如圖4，以O為原點，分別以射線OC，OD為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.

設平面BCD的法向量n=(x,y,z).

“數”解方式——空間向量法在計算中設而不求的思想在解析幾何中常見，在立體幾何中不常見，對學生是否敢于嘗試帶參數求解是一個考驗．筆者嘗試將這個題目給高二學生去做，竟然有了一個“驚人”的發現，出現了兩種不按常理出牌的思路，通過對這兩位學生的了解發現，他們能準確地發現此題的結果和點E，F的位置無關，僅和兩個45°有關．

第一種思想是將這個臺體圖形內置到一個正方體內，問題就變成了正方體的棱AC和面CMN所成角的問題(如圖5所示)，這也是此題可以設而不求的幾何背景．

拋開這兩種解題過程，筆者發現，提供這兩種解法的學生都是數學實驗社團成員，并且都是參與數學實驗活動積極性很高的學員.在解題過程中聯系平時的數學實驗經驗，提出“猜想”，筆者認為這就是“直觀想象”的一種體現.

因此，于教師而言：作為數學科重要的核心素養直觀想象而言，筆者從課程標準的三個水平層次進行了與一線教學落地的對比解讀．而將核心素養進行落地，是需要一線教師在認真研學課程標準的基礎上，融入自身教學的思考．

于教學而言：

興于形——初等數學要注重幾何圖形的掌握；

立于思——問題解決要關注數形結合的魅力；

成于新——類比學習要尋求思維創新的突破.

因此直觀想象素養恰恰是要求我們將這種啟發、引導、創新帶給學生，從而提高學生直觀想象能力和思維的含量，獲得更好的學習效果和學習體驗，是為直觀想象素養三個水平層次．