對三角形中的最值問題的解法探究

宗 仲

(江蘇省前黃高級中學國際分校 213161)

解三角形中的最值問題，在近幾年各類考試中頻繁出現，頗受命題者的青睞.要求學生們有較強的邏輯思維能力、準確的計算能力才能順利解答.這類問題的實質是將幾何問題轉化為代數問題，主要運用三角形的內角和定理、正余弦定理、面積公式、三角恒等變形、三角函數的性質、基本不等式、導數等知識解題.下面舉例說明三角形中的最值問題的常見解法，供各位參考.

例1在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanA·tanB·tanC的最小值為____.

分析本題僅涉及三個角變量，優先考慮利用內角和定理實現消元，并結合兩角和的正切公式挖掘出整體，從而實現整體消元.

解析因為sinA=2sinBsinC，

所以sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

兩邊同除以cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC.

設tanAtanB=x(x>0)，則tanA+tanB=2x.

分析本題雖然依舊涉及三個角變量，但與例1相比較，所求的cosC不易表示，因此利用解三角形的基本思想：邊角互化，將三個角變量轉化成三個邊變量，從而實現消元，再利用基本不等式求解.

由余弦定理，得

分析本題依舊是三個角變量，與變式1相似，用角無法實現消元，依然利用邊角互化和三角恒等變形進行求解.

解析由正弦定理，得2a2+b2=2c2.

因為2a2+2b2-2c2=b2，

所以4abcosC=b2.

所以4acosC=b.

所以4sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.

所以3sinAcosC=cosAsinC.

所以3tanA=tanC.

分析本題與前面三題相比較，最困難的地方就是角關系的挖掘，需要借助于正余弦定理的混合使用才能實現.另外本題與前三題有一個本質區別，本題是求取值范圍，所以自變量范圍的確定需要精確，這點也是本題的一個易錯點.

解析由余弦定理，得a2+b2-2abcosC-b2=ab.

所以a2-2abcosC=ab.

所以a-2bcosC=b.

由正弦定理，得sinA-2sinBcosC=sinB.

所以sin(π-B-C)-2sinBcosC=sinB.

所以sin(B+C)-2sinBcosC=sinB.

所以sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=sinB.

所以cosBsinC-sinBcosC=sinB=sin(C-B).

在銳角△ABC中，B=C-B，所以C=2B.

例2設△ABC的面積為2，若A，B，C所對的邊分別為a,b,c,則a2+2b2+3c2的最小值為____.

分析1 依舊采取例1的消元、正余弦定理的結合，本題比較困難的地方在于融合了放縮的思想，等號滿足同時取得，最終最值的求解還需要借助于導數.

由余弦定理，得

a2+2b2+3c2=a2+2b2+3(a2+b2-2abcosC)

分析2 以上的題目都是將幾何問題代數化解決，而幾何問題本身可以從幾何的角度考慮.因此聯想坐標化來實現，本題坐標化后再轉化成方程有解，簡單易操作.

當然，題目千變萬化，具體處理手法還需要按照題目具體分析研究.但不管如何變化，解決的思想始終是：幾何問題代數化、消元思想、邊角互化思想、正余弦定理的合理轉化思想等，抓住這些，在遇到此類問題時，學生們可以從容應對.