導數壓軸題中隱零點問題探究

謝振宗

(河北師范大學附屬中學 050011)

導數壓軸題集數學知識、能力和方法于一身，是考查學生的關鍵能力和數學素養的綜合性試題.其中導數中的隱零點問題更是集應用性與創新性于一體，是高考中較難的問題.下面對一道試題的不同解法進行分析，從中提出新問題、探求新規律、歸納新結論，并將其中周密論證、積極探索的過程與大家共賞.

一、試題及解答再現.

題目已知函數f(x)=x(ex+1-a) .

(1)若a=2，求f(x)在區間[0，+∞)上的最小值；

(2)若f(x)-lnx≥1，求實數a的取值范圍.

解析(1)若a=2，則f(x)=xex-x.

所以f′(x)=(x+1)ex-1.

當x≥0時，x+1≥1,ex≥1 ，故(x+1)ex≥1，

即f′(x)=(x+1)ex-1≥0.

故f(x)在區間[0，+∞)內單調遞增.

故f(x)min=f(0)=0.

(2)由題意可知f(x)-lnx-1≥0，

即xex+(1-a)x-lnx-1≥0在區間(0，+∞)內恒成立.

令h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1.

當x∈(-∞,0) 時，h′(x)<0 ，h(x) 單調遞減；

當x∈(0，+∞) 時，h′(x)>0 ，h(x) 單調遞增,

所以h(x)≥h(0)=0 ，即ex≥x+1 .

又xex=elnx+x，所以xex≥lnx+x+1.

當φ(x)=lnx+x=0 時等號成立.

所以a≤2，即實數a的取值范圍為(-∞,2].

二、第(2)問解法再探究，采用分離參數法

當x∈(1,+∞)時，g′(x)>0 ，g(x) 在(1，+∞)上單調遞增；

①

綜上可知,當x∈(0,x0)時，g′(x)<0；

當x∈(x0，+∞)時，g′(x)>0.

故當x=x0時，

②

由上面解法可知,若能推出g(x0)=2問題迎刃而解.

三、提出問題，借助信息技術驗證真假.

圖1

問題轉化為：

③

本人對于③的推導難以進行下去，百思不得其解，甚至懷疑自己的運算能力是否有誤，進而用幾何畫板作出g(x)圖象進行觀察取證以辨真偽,如圖1.

從圖象觀察，g(x)的最小值的確存在且為2，但是為什么求不出來呢？

四、撥開迷霧，隱零點問題得以解決

1.采用分析法

不妨從另一個角度觀察③式，在兩個等式成立的條件下將等式進行變形，以便尋求其證明方法.

問題終于得到解決.真是山窮水復疑無路，柳暗花明又一村.

圖2

從它們的圖象也可以得到結論的正確性，如圖2.

2.采用直接法

五、隱零點問題涉及常用結論

圖3

圖中A，B，C三點的橫坐標x0是一樣的，分別對應下面三個等式：

從上面的推證我們再次體會數學之美，代數美是一種簡潔之美，圖象美是一種直觀之美，而數形結合的美又是一種和諧之美.這些數學之美在我們研究、發現的過程中更是一種心靈的升華之美.