基于單擺方程的電力系統同調性量化分析

劉學華，魏繁榮

(1.國電南京自動化股份有限公司,江蘇 南京 211106；2.美國羅德島大學電氣計算機及生物醫學工程系，美國 羅德島州 金士頓 02881)

0 引言

大規模電力系統的動態安全分析需考慮預想故障、運方調整以及特高壓與新能源接入等因素的影響[1—3]。為了快速校核電網的安全穩定性[4—5]，工程上一般根據電力系統微分方程或受擾軌跡，基于故障場景將復雜高維的實際系統等值為簡單低階的小系統[6]，該過程稱為電力系統的動態等值。

動態等值一般基于發電機轉子角或母線電壓的同調特性[7]，即受擾動后對應狀態量或代數量響應運動趨勢的一致性[8]。研究中常使用2臺發電機的相對轉子角偏差衡量其同調程度[9]。電力系統受擾后發電機響應的非同調可能導致動態等值不準確，使等值系統的靜態或暫態穩定分析結果無法反映系統的真實動態特性，影響系統的安全穩定分析[10]。

當前電力系統同調性研究按對象不同分為三類：模型法、軌跡法以及混合法。模型法基于電力系統拓撲及發電機模型參數預測其時域響應的同調特性。傳統模型法多采用頻域近似或特征模式分析[11—12]，根據關鍵特征向量的相位辨識發電機同調分群[13]。但實際系統的動態特性與線性模型不完全相同，因此有研究嘗試直接根據系統參數計算機電距離，進而評估同調性[14—15]。軌跡法直接從受擾軌跡提取同調信息或信號特征，對發電機進行聚類[16]。一類研究應用人工智能直接構建發電機轉子角軌跡特征到系統同調性的映射關系，代表方法有支持向量機與人工神經網絡[17—18]；另一類研究嘗試從軌跡中提取信號特征，典型方法有奇異值分解與譜聚類[19—20]。

模型法難以處理系統動態特性隨擾動場景變化的問題，軌跡法缺乏機理分析，導致強壯性不足[21]。為此，有研究結合模型與軌跡分析暫態能量函數與電力系統同調性的關聯關系，即混合法[22—23]。文獻[24]研究了發電機同調與動態等值的關系，提出原系統理想同調與等值系統保留全部動態特性的等價性。然而，任何現有方法都無法辨識理想同調的發電機分群。因此，有必要研究電力系統同調性的量化分析方法，評估電力系統動態等值的準確性，為電力系統安全穩定分析提供支撐。文中基于單擺方程分析了電力系統受擾后的動態特性，提出理想同調情況下動態等值系統運動周期的估算方法，從估算周期與實測周期的差值中提取指，標實現電力系統同調性的量化分析，為電力系統安全穩定校核提供參考。

1 電力系統的動態等值

按照不同的參考基準，基于發電機受擾軌跡的動態等值方法可分為角度中心(center of angle，COA)等值與慣量中心(center of inertial，COI)等值。前者將所有發電機角度的代數平均值作為COA，常用于研究單臺發電機相對COA的運動特性；后者按照各機慣量大小對發電機轉子角進行加權得到COI，典型應用是電力系統暫態穩定的擴展等面積準則(extended equal area criterion，EEAC)[25]。

從數學模型角度研究等值系統的動態特性，文中選擇具有明確物理意義的COI等值。具有n臺發電機的原系統經一系列變換，受擾后的響應特性被描述為單機無窮大系統(single machine infinite bus，SMIB)。不計阻尼時，等值系統動態模型可表示為微分方程：

(1)

式中：δ為慣量等值系統的發電機角度；α，θ分別為等值系統功率特性正弦分量的幅值與相位；γ為等值系統微分方程的常數項。各參數的詳細定義可參考EEAC理論。

2 單擺方程的周期特性

2.1 典型等值受擾軌跡

電力系統受擾后的動態過程一般包含等值SMIB角度的多個往復運動擺次，如圖1所示。將等值SMIB角度的局部極大值稱為上邊界(upper boundary point，UBP)，對應地將其局部極小值稱為下邊界(lower boundary point，LBP)。

圖 1 等值SMIB的角度曲線Fig.1 Angle curve of equivalent SMIB

圖1中，δUBP，δLBP分別為UBP和LBP對應的功角；tUBP，tLBP分別為UBP和LBP對應的時間；Ta為實際等值軌跡的運動周期。

因實際振蕩中UBP與LBP的時序關系并不確定，為方便推導，參考圖1中UBP和LBP相對位置，假設δLBP<δUBP，tLBP>tUBP，且Ta=2(tLBP-tUBP)。

2.2 動態等值系統的單擺方程

式(1)為等值SMIB的微分方程。令等值角速度ω為：

ωBω=dδ/dt

(2)

式中：ωB為ω的標幺基值，取314 rad/s。則：

(3)

將式(3)代入式(1)得：

ωBωdω=-γdδ-αsin(δ-θ)dδ

(4)

以UBP為起點，針對δ從δUBP運動到δLBP過程中任一點，式(4)兩邊求積分得：

(5)

式中：ωUBP為UBP對應的角速度。

式(5)中積分展開為：

(6)

考慮到邊界點處ωUBP=ωLBP=0，將式(6)變形可得UBP與LBP之間任意ω為：

ω={2|-γ(δ-δUBP)+α[cos(δ-θ)-
cos(δUBP-θ)]|/ωB}1/2

(7)

類似于理想的單擺模型，任意位置的速度僅與位移有關，與時間無關。取任意時刻等值發電機轉子角到積分起始點的N等分：

Δδ=(δ-δUBP)/N

(8)

則第k個點等值發電機角度為：

δk=δUBP+kΔδ

(9)

為研究等值系統的動態特性，設第k段Δδ微元對應時間的微增量為：

Δtk=Δδ/ωk

(10)

式中：ωk為第k個點的角速度。

則系統從起始點UBP運行到任意位置所用的時間tΣ可表示為所有分段時間微增量的累加。

(11)

當分析點取為LBP時，tΣ反映了等值角度的軌跡從UBP到LBP所用的時間，即tLBP-tUBP，具有半周期的物理意義。令N→，則式(11)可改寫為連續積分形式，定義其為無阻尼估算周期TO。

(12)

2.3 阻尼力矩的近似校正量

將式(5)中積分上限設為ωLBP，δLBP，研究等值系統從UBP運行到LBP的過程。

(13)

式(13)等號左邊描述了等值系統在UBP和LBP處動能的變化量，考慮到邊界點處ω為0，式(13)等號右邊恒等于0，定義δ從δUBP運行到δLBP的過程中阻尼做功WD為：

WD=γ(δLBP-δUBP)-
α[cos(δLBP-θ)+cos(δUBP-θ)]

(14)

實際系統中，阻尼力矩疊加在加/減速力矩中影響任意點的角加速度，從而對等值SMIB做功，任一點的阻尼力矩大小與角速度直接相關，無法通過式(1)的微分方程求解。為了在等值SMIB動態特性分析中計及阻尼力矩影響，假設阻尼轉矩在角度位移過程中平均做功。令：

WD=wD(δ-δUBP)

(15)

相當于將WD從數值上分解為N等份，平均分配到UBP到LBP之間N個Δδ分段中，則：

wD=WD/(δLBP-δUBP)

(16)

由此，等值SMIB的微分方程在δ從δUBP運動到δLBP的過程中被修正為：

(17)

則估算計及阻尼力矩后等值SMIB的周期TD為：

(18)

理論上式(12)和式(18)均可變換為非完全的橢圓積分形式，從而化簡為初等積分。然而，實際工程計算中，根據積分軌跡或實測軌跡得到UBP與LBP的坐標后，易使用數值方法求取TO，WD，TD。

3 等值系統同調性的量化評估指標

當系統理想同調且阻尼為0時，其動態模型可等值為參數定常的SMIB，如式(1)所示。此時，無阻尼估算周期與實測周期相等，即TO=Ta。若系統阻尼力矩不為0，則式(17)可近似描述等值SMIB的動態特性，有TD≈Ta。換言之，一般地，電力系統理想同調時可以用TD近似描述其動態響應的周期特性；特殊地，阻尼為0時，TD=TO≈Ta的數值解。

定義動態等值的SMIB周期估算誤差為：

(19)

ε評估了理想同調假設下，估算周期與實際軌跡測量周期的差異，量化反映了原系統受擾軌跡的非同調特性。因此，設計基于單擺方程的電力系統同調性評估指標為：

I=min(1,|1-ε|)×100%

(20)

I量化評估了確定分群模式后，等值SMIB角度軌跡的同調程度，I∈(0,100%]。當I為100%時，SMIB理想同調，估算周期無誤差；隨著I減小，系統同調性不斷降低。算例分析顯示，I的取值與動態等值的主導分群模式有關。當動態等值的分群模式與實際振蕩一致時，I數值較大(一般大于70%)；當多個分群模式同時作用時，I的數值一般為50%～70%；當所選分群模式非主導時，I的數值一般低于50%。

另外，結合仿真可知，阻尼力矩起積極作用時，其可抑制等值SMIB角度曲線的發散。wD作用使角速度小于0阻尼力矩時的情況，有TD>TO；反之，若阻尼力矩起負面作用，有TD

D=(TD-TO)/TO

(21)

由此，基于2個估算周期的差值可以實現等值系統阻尼力矩作用效果的定量評估。

4 算例分析

4.1 SMIB同調性分析

基于SMIB驗證文中所提周期估算方法以及阻尼特性評估指標的準確性，系統拓撲如圖 2所示。發電機采用經典二階模型，負荷假定為恒阻抗。

圖2 SMIB拓撲Fig.2 Topology of SMIB

SMIB為理想同調多機系統的動態等值，經典模型中阻尼力矩僅與發電機阻尼轉矩系數有關，該系統適用于校核TD的準確性以及指標D與系統阻尼特性的關聯關系。系統在臨界穩定狀態時，電磁功率特性在UBP和LBP附近具有很強的非線性，具體表現為邊界點處角加速度接近0，周期估算誤差較大。故障清除時間對時域響應周期特性的影響如圖 3所示。0時刻在節點2設置三相瞬時短路故障，故障持續時間分別為0.02 s，0.070 4 s，其中0.070 4 s為臨界故障清除時間。

圖3 故障清除時間對時域響應周期特性的影響Fig.3 The influence of fault clearing time on time domain response period characteristics

由圖3可知，臨界穩定時清除故障，波形振蕩周期增大。因此，使用瞬時故障與臨界故障分別校核TD，D在一般情況與極端情況的準確性。仿真中，瞬時故障設置為線路2—3首端發生三相瞬時短路，故障在0.02 s時自動消失，改變發電機阻尼轉矩系數，測量Ta，計算TO，TD，ε，D，如表 1所示。

表1 不同阻尼系數的SMIB瞬時故障后周期與阻尼估算Table 1 The period and damping estimation of SMIB after transient fault under different damping coefficients

表1中，根據式(19)可估算SMIB的TD相對Ta的誤差平均值為0.25%，且誤差均小于1%，驗證了文中方法通過UBP和LBP的信息可準確推算轉子角運動的半周期。另外，作為該系統唯一的阻尼力矩來源，發電機阻尼轉矩系數與系統阻尼成正比，文中所提定量指標D的符號與發電機阻尼轉矩系數始終保持一致，且其數值與阻尼轉矩系數具有單調關系，一定程度上展示了SMIB動態過程的阻尼特性。

臨界故障類型的地點信息與瞬時故障相同，短路自動消失時間調整為首擺不發生暫態失穩的臨界清除時間，此時電力系統首擺與次擺的動態過程具有極強的非線性，相較普通故障，其周期特性發生畸變，如圖 3所示。針對臨界故障后首個UBP和LBP，分別計算TO，TD，ε，D，如表 2所示。大量算例證實，該類情況一般代表了相應故障場景周期估算的最大誤差。

表2 不同阻尼系數的SMIB臨界故障后周期與阻尼估算Table 2 The period and damping estimation of SMIB after critical fault under different damping coefficients

由表2可知，在極端的臨界故障情況下，TD相對Ta的誤差平均值為2.11%，依然保持在較低水平。指標D與系統阻尼力矩的關系依然保持正相關。另外，阻尼為負時，TD與TO的偏差變大；阻尼為正時，TD與TO的偏差變小。負阻尼的臨界算例中第二擺發生暫態失穩，周期畸變的原因包含擾動注入能量與負阻尼力矩兩方面。正阻尼的臨界算例中后續擺次是穩定的，周期畸變的原因主要為擾動注入的能量。

4.2 4機11節點系統同調性分析

為了驗證文中指標分析系統同調性的有效性，選擇如圖4的經典4機11節點系統進行測試。發電機采用經典二階模型，負荷假定為恒阻抗，系統參數詳見文獻[26]。

圖 4 典型4機11節點系統拓撲Fig.4 Typical topology of 4-machine 11-bus system

初始條件下網絡參數與發電機模型嚴格按照母線8左右對稱，調節負荷1為1.374+0.111j p.u.，負荷2為1.663+0.111j p.u.，故障設置為線路9—10末端三相短路，0.07 s后故障自動消失。仿真發現，(G1,G2)相對(G3,G4)為主要的同調分群。為獲得不同同調性場景，調整G1，G2，G3動態模型參數以及線路7—8、線路8—9的長度，計算相應同調性指標I。該試驗系統中，G1與G2、G3與G4的模型參數差異越大，該分群模式下系統同調性越差；線路7—8和線路8—9長度越短，系統同調性越差。部分仿真結果如表 3所示。

表3 4機11節點系統的非同調參數調整倍數及指標ITable 3 Non-coherent parameter adjustment multiples and index I of 4-machine 11-bus system

對應參數下系統的時域仿真曲線如圖 5所示，隨著 (G1,G2)相對(G3,G4) 對應動態等值系統的同調性不斷下降，I從98.30%依次降低到45.81%。由圖 5可知，文中所提指標I能有效反映系統發電機轉子角軌跡的同調性。

圖5 4機11節點系統非同調參數調整后的受擾軌跡Fig.5 Disturbed trajectory of 4-machine 11-bus system after adjusting the non-coherent parameters

為進一步驗證文中同調性指標的有效性，選擇同調性代表性指標S1與S2驗證其有效性[17]，指標定義為：

(22)

(23)

式中：t為分析時段內任意時刻；tEND為終止時間；Δδi(t)=δi(t)-δi(0)為t時刻第i臺發電機角度相對0時刻初值的變化量。

指標S1，S2分別利用一段時間內同群任2臺發電機i,j角度變化量差值的最大值及其在研究時段內的累積量來評估系統同調性，指標越小則同調性越強。針對表 3中不同同調性場景，使用典型指標S1，S2驗證文中所提指標的有效性，結果如表 4所示。由表4中算例1—算例3可知，I能準確反映G1與G2的非同調性變化。特殊地，對于算例4與算例5，當同調分群發生改變時，I依然能用于同調性量化評估。而傳統指標S1與S2是基于多機角度的相對變化量，在分析不同算例同調性時存在一定的局限性。

表4 I的有效性驗證Table 4 Validity verification of I

4.3 指標有效性探討

同調性的定義依賴于動態等值的分群模式，仿真發現，一個分群模式同調性的降低可能意味著其他分群模式同調性的提高。傳統的同調性評估方法一般針對給定分群，計算一段時間內角度差的最大值或差分量的積分，在多機系統中缺乏對全局同調特性的評估。文中同調性指標基于確定分群的慣量等值系統，具有明確的物理意義，能夠量化分析同一分群模式下各發電機的同調程度，為動態等值的相關研究提供校驗工具，未來有希望在此基礎上提出有效的發電機同調分群辨識方法。

5 結語

文中根據電力系統單擺方程的周期特性，提出一種動態等值系統同調性的量化評估方法。當系統理想同調時，其動態行為的周期特性滿足基于單擺方程推導的定積分表達式，結果的差異性越大，系統同調性越差。基于此，文中首先從動態等值系統的角度曲線中提取UBP和LBP的信息，結合微分方程特性實現了計及阻尼力矩影響的等值系統周期估算；隨后通過估算周期與實測周期作差標幺化，提出發電機受擾軌跡同調程度的量化分析指標。在所提指標的基礎上，分析了阻尼力矩對動態特性的影響，進一步提出系統阻尼特性的定量評估方法。周期與系統阻尼的估算在SMIB中得到驗證，同調性分析在4機11節點系統得到驗證。

這種基于軌跡的電力系統同調性量化評估方法，可廣泛應用于大規模電網的動態等值校驗，幫助解決靜態或暫態穩定分析中系統降階的有效性評估問題。文中方法的局限性在于,電力系統單擺方程推導忽略了復雜模型與控制器的影響，在實際系統中隨著仿真時間或測量時段的延長，指標準確性不斷下降。因此，文中指標僅可用于研究擾動后較短時間內(首擺或前幾擺)的同調特性，不能用于系統同調性隨時間變化的研究。