無奇點三維攻擊時間控制滑模導引律*

常思江，吳 放，陳升富

(1. 南京理工大學 能源與動力工程學院， 江蘇 南京 210094；2. 中國電子科技集團公司第二十研究所 雷達事業部, 陜西 西安 710068)

現代戰爭條件下，為了提高導彈的毀傷與生存能力，可通過對導彈的導引律增加一些終端約束予以實現。其中，增加攻擊時間約束對導彈性能的提升具有較為顯著的效果，由此引出導彈攻擊時間控制的導引律問題。

目前，國內外文獻對于攻擊時間控制導引律的研究，采用不同的理論或技術作為基礎，如比例導引法[1-3]、Lyapunov穩定性理論[4-5]、最優控制理論[6]以及成型技術[7-8]等。近年來，現代控制理論特別是滑?？刂评碚摰陌l展為設計具有終端約束的導引律提供了一種新方法[9-12]。文獻[9]通過構造由攻擊時間誤差和視線角速率組成的滑模面，提出一種滑模攻擊時間控制導引律；文獻[10]僅將攻擊時間誤差作為滑模面，推導了一種用于攻擊時間控制的非奇異滑模導引律；文獻[11]針對多彈協同攻擊問題提出了一種滑模導引律；文獻[12]基于滑模理論設計了一個考慮視場角約束的二維攻擊時間控制導引律。

實際工程應用中，在設計攻擊時間控制導引律時必須要考慮導引頭的視場角約束[4,12-14]。一般而言，考慮視場角約束的攻擊時間控制導引律設計可以分為兩類：第一類的設計原則是始終保持導彈前置角減小，從而確保滿足視場角約束，文獻[4]即屬于第一類；文獻[12-14]則屬于第二類，該類導引律始終保持導彈前置角不超過視場角邊界值，相應地，當前置角達到邊界值時，前置角速率必須小于零。上述第一類導引律較為簡單，易于實現，但會受到初始前置角的影響，當初始前置角為零時不能實現攻擊時間控制，并且攻擊時間的可控范圍也受初始前置角大小的約束。文獻[12]通過采用滑模技術，解決了初始前置角為零時不能實現攻擊時間控制的奇點問題。

在前面提到的文獻中，除文獻[5]之外，其他文獻都是在二維平面中設計攻擊時間控制導引律。對于三維情形，通常將導彈的運動分解為兩個正交的二維平面運動，在每個二維平面內單獨設計導引律。然而，已有研究表明，直接在三維空間中設計不依賴于解耦的導引律是更為有效的方式。文獻[15]首先解決了三維純比例導引律的設計問題；文獻[16]則針對靜止和非機動目標，分析了三維純比例導引法的性能。近年來，越來越多的研究者關注三維空間中攻擊角度控制的問題[16-19]。相對而言，只有較少研究[5,20]涉及三維攻擊時間控制導引律。文獻[5]基于Lyapunov理論設計的三維攻擊時間控制導引律，在零初始前置角條件下存在奇點，并且沒有考慮導引頭視場角約束。文獻[20]基于最優控制理論和比例導引法設計的三維攻擊時間控制導引律，也未考慮導引頭視場角的限制。

綜上分析，關于三維攻擊時間控制導引律的研究，目前國內外相對較少?？紤]到滑模理論自身的優勢以及實際工程中三維問題的重要性，有必要對此開展深入研究。本文以導彈非線性模型為基礎，采用滑模理論，提出一個考慮視場角約束的無奇點三維攻擊時間控制導引律，并對穩定性、收斂性等進行了證明和分析。

1 問題描述

本文考慮導彈在三維空間攻擊靜止目標的情形，采取與文獻[5]類似的假設：①將導彈看作質點；②自動駕駛儀的動態響應比導彈快得多，故自動駕駛儀延遲可以忽略不計；③導彈速度為恒定值；④只考慮垂直于導彈速度矢量的法向加速度。

1.1 坐標系及其相互轉換

導彈M和靜止目標T的三維幾何關系如圖1所示。圖中，R為彈目距離；VM為導彈速度；aM為導彈法向加速度；φM為前置角，定義為導彈速度矢量與三維空間中導彈視線角矢量之間的夾角。

圖1 對于靜止目標的三維彈目幾何關系Fig.1 Three-dimensional engagement geometry for a stationary target

為描述導彈與靜止目標間的三維運動學關系，定義三個坐標系：參考坐標系(表示為Mxyz)、導彈彈體坐標系(表示為MxMyMzM)以及視線坐標系(表示為MxLyLzL)。坐標系之間的轉換關系如圖2所示。

(a) 參考坐標系轉換為視線坐標系(a) Transformation between reference coordinate system and line-of-sight coordinate system

(b) 視線坐標系轉換為彈體坐標系(b) Transformation between line-of-sight coordinate system and body coordinate system圖2 坐標系的轉換關系Fig.2 Transformations of coordinate systems

三種坐標系原點均為導彈質心M。彈體坐標系的xM軸指向導彈的速度矢量方向，視線坐標系的xL軸指向目標并與視線角矢量共線。參考坐標系Mxyz與視線坐標系MxLyLzL相差兩個角度，即ψL和θL；視線坐標系MxLyLzL與彈體坐標系MxMyMzM也相差兩個角度，即ψM和θM。上述坐標系之間對應的轉換矩陣分別為

(1)

(2)

其中：

1.2 控制方程組

基于上述假設和坐標系，可建立如下控制方程組：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

cosφM=cosθMcosψM

(8)

式中：ayM和azM分別表示導彈的偏航加速度和俯仰加速度；變量上的點表示關于時間的一階導數。

需要指出的是，對于視場角約束下的攻擊時間控制問題，所能實現的攻擊時間td存在一定的范圍，即I={td∈R：tdmin≤td≤tdmax}，其中，tdmin和tdmax為正常數，分別表示可實現的最小和最大攻擊時間，且tdmin>R0/VM(下標0表示初始值)。為便于研究，在第1節所列4條假設的基礎上，補充如下假設：①導彈的初始前置角滿足|φM0|<φmax(其中φmax是由導引頭視場角邊界所確定的常數)；②所需攻擊時間td選取合適，使得td∈I。

故本文研究問題可描述為：設計一種帶有攻擊時間和導引頭視場角約束的三維導引律，使得導彈在所需攻擊時間td時刻擊中目標，同時在整個制導過程(即t∈[0,td])中保持|φM(t)|≤φmax。

2 導引律設計

本節首先基于滑模理論推導出考慮視場角約束的三維攻擊時間控制導引律；然后對導引律進行修正，消除零初始前置角引起的奇點；最后對穩定性和收斂性進行證明。

2.1 導引律推導

為實現三維空間中的攻擊時間控制，以攻擊時間誤差設計滑模面s，即

s=t+tgo-td

(9)

式中：t表示當前時間，tgo表示剩余飛行時間。

本文采用式(10)估算剩余飛行時間：

(10)

式中：N為導航增益。

需要說明的是，上述剩余飛行時間估算公式是以文獻[2]中的二維估算方法為基礎，將文獻[2]所用二維比例導引律擴展為三維比例導引律，得到了形式上與文獻[2]估算公式相同的三維剩余飛行時間估算公式，只是公式中的φM采用本文式(8)計算得到。

對式(9)關于時間t求一階導數，得

(11)

對式(10)關于時間t求一階導數并代入式(11)，可得

(12)

根據式(8)，可推出

(13)

將式(13)及控制方程組(3)～(8)的相關表達式代入式(12)，經推導可得

(14)

其中：

(15)

為保證所設計導引律的Lyapunov穩定性，設計如下三維導彈加速度指令aM

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中：k1為正常數。

2.2 導引律修正

當導彈初始前置角為零(即φM0=0)時，俯仰和偏航加速度指令將在整個制導過程中始終保持為零(azM=ayM=0)，導彈將沿彈目連線飛行，無法實現對攻擊時間的有效控制。因此，需對導引律進行修正，以消除該奇點。

(21)

式中：k2為一正常數；sgn(·)為一符號函數，定義為

(22)

故導彈加速度指令可表示為

(23)

即

k2[1-sgn(|φM|)]sgn(s)

(24)

k2[1-sgn(|φM|)]sgn(s)

(25)

其中：

值得說明的是，導彈剩余飛行時間與其飛行過程中的距離R和前置角φM有關，而導彈加速度又影響前置角的變化速率。因此，當導彈速度VM及導航增益N確定時，攻擊時間存在一定范圍，影響該范圍的主要因素包括距離R、導引頭視場角邊界值φmax以及導彈最大過載aMmax。當導引頭視場角邊界值φmax∈(0,π/2)時，制導過程中彈目距離始終減小，此時所能控制的攻擊時間是有界的。攻擊時間范圍的上、下界可分別利用導彈的最長和最短飛行軌跡除以導彈速度得到。導彈的最長軌跡可分為三段，首先以最大過載飛行，當迅速達到視場角邊界值后，保持視場角邊界值飛行，最后以最大過載按圓周導引律飛行直至擊中目標；而導彈的最短軌跡可分為兩段，先是以最小轉彎半徑飛行，當速度指向目標后，再沿彈目連線飛行。求解兩種軌跡的具體方法參見文獻[13]，這里不再贅述。當φmax∈[π/2,π)時，制導過程中彈目距離有可能是增大的，理論上講，此時所能控制的攻擊時間無上界。

2.3 穩定性證明

為證明所設計加速度指令具有Lyapunov穩定性，構造如下關于s的Lyapunov函數

(26)

對式(26)關于時間求一階導數，并將式(14)代入，可得

(27)

將式(24)和式(25)代入式(27)，經一系列推導，可得

(28)

(29)

2.4 收斂性證明

為證明所設計導引律能夠滿足視場角約束，構造如下關于φM的Lyapunov函數

(30)

對式(30)關于時間求一階導數，并將式(24)和式(25)代入，可得

(31)

當 |φM|=φmax時, 式(31)為

(32)

定義如下關于變量α的函數

(33)

證明：當α∈(0,π)時，f(α)>0成立。

1)當α∈[π/2,π)時，f(α)>0顯然成立；

2)當α∈(0,π/2)時，對式(33)關于α求一階和二階導數，有

(34)

(35)

顯然，當α∈(0,π/2)時，f″(α)>0成立。當α∈(0,π/2)時，f′(0)=0,f′(α)>0成立。因此，α∈(0,π/2)時，f(α)>0成立。

□

利用上述證明結果，不等式

(36)

恒成立。

因此，在|φM0|<φmax條件下，式(24)和式(25)可在視場角約束下實現攻擊時間控制。

3 關于導引律的相關分析

3.1 參數k1的選取

根據前面的推導，攻擊時間誤差的變化速率可表達為

(37)

(38)

(39)

式中：下標“0”表示初始值。

3.2 與純比例導引法的關系

根據文獻[7-8]，如果攻擊時間控制導引律中所用剩余飛行時間是基于比例導引法進行估算的，其彈道軌跡終將演變為比例導引法的軌跡。為說明剩余飛行時間估算式(10)應用于本文三維導引律的合理性，有必要檢驗所提導引律與純比例導引法之間的關系。

(40)

(41)

顯然，當s收斂到零時, 所提導引律與純比例導引法具有完全相同的形式，由此表明本文所設計導引律的彈道軌跡與具有任意導航增益三維比例導引法的軌跡相同。因此，本文采用剩余飛行時間估算式(10)設計三維攻擊時間控制導引律是合理的。

3.3 與解耦三維攻擊時間控制導引律的關系

根據前述推導，本文導引律是在三維空間直接設計而無須解耦。若僅考慮俯仰平面內的二維導引問題，偏航平面內的加速度指令變為ayM=0，并且有ψM=0°,φM=θM。將ψM=0°,φM=θM代入導引律 (25)，得到俯仰平面內的加速度指令為

(42)

式中：c3=-k2[1-sgn(|θM|)]·sgn(s)。

如果在偏航平面內采用純比例導引法，即

(43)

則式(42)～(43)構成考慮視場角約束的解耦三維攻擊時間控制導引律，即俯仰平面和偏航平面的導引律均獨立設計。本文將在仿真部分對比耦合導引律(24)～(25)與解耦導引律(42)～(43)的性能。

4 數值仿真

4.1 性能驗證

仿真條件：導彈速度VM=250 m/s，導彈最大加速度為100 m/s2，導彈初始位置(0 m,0 m,0 m)，目標位置(6 000 m,6 000 m,0 m)，導引頭視場角邊界值φmax=45°，導航增益N=3，參數k1=3.5,k2=1。三個算例的初始條件和所需攻擊時間分別為：①φM0=0°,td=38 s；②φM0=40.1°,td=41 s；③φM0=40.1°,td=35 s。前置角φM0=0°和φM0=40.1°時對應的純比例導引法攻擊時間分別為33.94 s和35.67 s。仿真結果如圖3所示。

由仿真結果可知，圖3中三種算例的實際攻擊時間分別為37.993 9 s、 40.990 6 s、35.009 2 s，與所需攻擊時間的誤差分別為0.006 1 s、0.009 4 s、0.009 2 s，誤差可以忽略，故本文實現了攻擊時間控制，且估算的剩余飛行時間滿足控制精度要求。由圖3(a)～(e)可知，當攻擊時間誤差大于零時，導引指令通過加快前置角減小的速度來實現攻擊時間控制；當攻擊時間誤差小于零時，導引指令通過在滿足視場角約束下增大前置角，從而調節所需攻擊時間。在其他相同條件下，所需攻擊時間越大，制導過程中前置角在極值附近的時間也越長。另外，在制導過程中，導彈的加速度指令均未達到飽和(限制值取為100 m/s2)。對于初始前置角為零的情形，本文設計的三維導引律也可有效適應。

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 攻擊時間誤差(b) Impact time error

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch

(e) 三維彈道軌跡 (e) Three-dimensional trajectory圖3 不同td值對應的三維導引律仿真結果Fig.3 Three-dimensional simulation results with various td

4.2 導航增益對導引律的影響

根據式(10)，剩余飛行時間估算公式受導航增益N的影響，故導引律加速度指令的具體值也取決于導航增益值。因此，有必要研究導航增益對所提導引律性能的影響。數值仿真條件如下：初始角度θM0=20°,ψM0=20°，所需攻擊時間td=40 s，取參數k1=4,k2=2，其他同第4.1節。相同仿真條件下，N取2,3,4時對應的純比例導引法攻擊時間分別為35.33 s, 34.77 s, 34.53 s。仿真結果如圖4所示。

圖4結果表明，本文所設計導引律在不同導航增益下均有效，攻擊時間誤差小于0.01 s。導航增益N=2時，俯仰和偏航方向的加速度指令在彈道終點不能收斂到零值；當導航增益N>2時，兩個方向的終端加速度指令值可收斂到零值。這表明，所設計的攻擊時間控制導引律在實際應用時，應根據需要選取合適的導航增益值。

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 攻擊時間誤差(b) Impact time error

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch圖4 不同導航增益下的三維導引律仿真結果Fig.4 Three-dimensional simulation results with various navigation gains

4.3 與解耦導引律的仿真對比

為對比耦合導引律(24)～(25)和解耦導引律(42)～(43)，選取三個算例：算例1——θM0=20°,ψM0=0° ；算例2——θM0=20°,ψM0=20°；算例3——θM0=20°，ψM0=40°。算例1是在俯仰平面內；算例2中，俯仰和偏航平面之間具有中等程度的耦合性；算例3中，兩個平面之間具有較強的耦合性。取所需攻擊時間td=42 s，參數k1=4,k2=1，其余同第4.1節。仿真結果如表1和圖5所示。

表1 不同算例對應的控制能量Tab.1 Control energy for various examples 單位：m2/s3

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 歐拉角(b) Euler angles

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch圖5 采用不同三維導引律的算例3仿真結果Fig.5 Simulation results of various three-dimensional guidance laws for example 3

由表1可知，由于能夠自動分配加速度指令，耦合三維導引律對應的控制能耗更小，特別是隨著俯仰和偏航平面耦合程度的增強，這一優勢更為明顯。圖5給出了算例3的仿真結果。

如圖5所示，兩種三維導引律都能夠在視場角約束下實現攻擊時間控制。所設計的耦合三維導引律可自動將加速度命令分配到俯仰和偏航兩個通道中。由圖5(c)和圖5(d)可知，耦合三維導引律主要在偏航平面內進行攻擊時間控制，而解耦三維導引律主要在俯仰平面內進行攻擊時間控制。

5 結論

針對導彈攻擊時間控制的三維導引律設計開展了研究。在導彈非線性數學模型的基礎上，直接在三維空間設計出一個耦合的攻擊時間控制滑模導引律，并通過對所設計制導律進行簡單修正，解決了零初始前置角引起的奇點問題。理論分析及數值仿真結果表明：①所設計的滑模導引律能夠在三維條件下有效實現攻擊時間增大或減小的控制，并可適應不同的導航增益值；②所設計的滑模導引律能夠同時滿足視場角約束和攻擊時間控制的Lyapunov穩定性條件；③與解耦三維導引律相比，所設計的耦合三維導引律控制能耗更小。

本文的研究為視場角約束條件下的三維攻擊時間控制導引律設計提供了一個思路，可作為對當前相關研究的一點補充。