考慮視場角約束的三維時間控制制導(dǎo)律

阮 聰，溫求遒，張文杰

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

隨著現(xiàn)代武器防御系統(tǒng)的快速發(fā)展，制導(dǎo)彈藥的戰(zhàn)場生存能力以及毀傷能力面臨嚴峻挑戰(zhàn)[1]。為了減小作戰(zhàn)消耗，提高制導(dǎo)彈藥的突防能力，飽和齊射攻擊的作戰(zhàn)方式越來越受到重視，而實現(xiàn)飽和攻擊的一個關(guān)鍵技術(shù)就是時間控制制導(dǎo)技術(shù)[2]。

自從飽和攻擊作戰(zhàn)方式被提出以來，國內(nèi)外研究者提出了許多不同形式的時間控制制導(dǎo)律。Jeon等人[3]針對非線性運動模型，提出了一種平面內(nèi)基于廣義比例導(dǎo)引的時間控制制導(dǎo)律。Tekin等人[4]基于前置角成型技術(shù)，提出了一種需要迭代求解菲涅爾積分的時間控制制導(dǎo)律。文獻[5]基于剩余飛行時間估計，給出了一種構(gòu)造時間控制制導(dǎo)律的通用設(shè)計方法，并應(yīng)用到考慮落角約束的時間控制制導(dǎo)律的設(shè)計中。Kim等人[6]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，提出了一種平面內(nèi)的非線性攻擊時間控制制導(dǎo)律，并推廣到三維空間中。He等人[7]考慮誤差收斂的最優(yōu)動力學(xué)，提出了一種三維最優(yōu)時間控制制導(dǎo)律，避免了平面時間控制制導(dǎo)律由于空間耦合引起的末端制導(dǎo)指令抖振問題。考慮到導(dǎo)引頭實際視場的限制，為避免由于制導(dǎo)彈藥機動引起的目標丟失問題，文獻[8]提出了平面內(nèi)滿足視場角約束的時間控制制導(dǎo)律，但是存在控制指令奇異問題。陳升富等人[9]基于滑模控制技術(shù)，提出了一種考慮視場角約束的無奇異點攻擊時間控制制導(dǎo)律。楊哲等人[10]基于多項式函數(shù)推導(dǎo)了不依賴剩余飛行時間估計的時間控制制導(dǎo)律，通過引入視場角函數(shù)反饋項實現(xiàn)視場角約束。文獻[11]針對地面固定目標，提出一種考慮視場角約束的兩階段復(fù)合時間控制制導(dǎo)律，并且分析了攻擊時間可達域。Chen等人[12]設(shè)計切換滑模面，通過終端滑模控制技術(shù)實現(xiàn)了視場角受限的切換時間控制制導(dǎo)律。上述大多數(shù)同時考慮攻擊時間和視場角約束的制導(dǎo)律都只是針對平面制導(dǎo)問題，沒有考慮到空間角度耦合問題，而針對三維空間的時間控制制導(dǎo)律又沒有考慮視場角約束。因此，現(xiàn)有的時間控制制導(dǎo)律很難直接應(yīng)用到三維飽和式攻擊場景中。

基于以上研究，針對制導(dǎo)彈藥飽和式攻擊問題，基于經(jīng)典三維比例導(dǎo)引，考慮偏航和俯仰通道的耦合，提出一種考慮空間視場角約束的三維時間控制制導(dǎo)律。

1 制導(dǎo)彈藥三維攔截模型建立

假設(shè)制導(dǎo)彈藥是一個速度恒定的可控質(zhì)點，圖1給出制導(dǎo)彈藥三維空間內(nèi)攻擊靜止目標的幾何示意圖。坐標系OXIYIZI和MXVYVZV分別為慣性坐標系和彈道坐標系，M和T分別為制導(dǎo)彈藥和靜止目標，V為制導(dǎo)彈藥速度，az和ay分別為制導(dǎo)彈藥的俯仰和偏航加速度，R為彈目相對距離，θL和φL分別為彈目視線俯仰和偏航視線角，θm和φm分別為制導(dǎo)彈藥速度在俯仰和偏航方向的前置角，σ為總的速度前置角。

圖1 三維攻擊幾何關(guān)系Fig.1 Three dimensional interception geometry

根據(jù)制導(dǎo)攔截幾何關(guān)系，三維空間內(nèi)攻擊固定目標的彈目相對運動數(shù)學(xué)模型[13]為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

cosσ=cosθmcosφm

(6)

通常情況下制導(dǎo)彈藥的攻角和側(cè)滑角相對較小，可以直接忽略，則導(dǎo)引頭的視場角約束可以近似等效為總的速度前置角約束[8,14]。假設(shè)σmax為導(dǎo)引頭視場范圍決定的視場角邊界值，則導(dǎo)引頭視場角約束可以描述為

|σ|≤σmax

(7)

因此，本文所研究的滿足視場角約束的三維時間控制制導(dǎo)律可以描述為設(shè)計滿足式(8)的俯仰和偏航通道加速度指令，使得制導(dǎo)彈藥在滿足視場角約束的情況下能以指定攻擊時間命中目標：

(8)

式中：td為指定攻擊時間。

2 三維時間控制制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 考慮視場角約束的時間控制制導(dǎo)律設(shè)計

為了實現(xiàn)考慮視場角約束的攻擊時間控制制導(dǎo)要求，制導(dǎo)彈藥必須同時滿足命中目標約束、視場角約束以及攻擊時間約束。

基于三維比例導(dǎo)引彈道的剩余飛行時間估計為[7]

(9)

式中：N為比例導(dǎo)引系數(shù)，一般取值在3～6之間。

考慮剩余飛行時間估計精度對制導(dǎo)律攻擊時間控制精度的影響，下面在三維比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，考慮一種新的滿足視場角約束和攻擊時間控制的偏置比例導(dǎo)引律：

(10)

式中：aby，abz分別為滿足視場角約束以及攻擊時間的偏航和俯仰加速度指令偏置項。

對式(6)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(4)～(5)，(10) 得

(11)

基于式(9)，定義攻擊時間誤差滑模面：

s=td-t-tgo

(12)

對式(12)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(11)得

(13)

由于導(dǎo)引頭視場角約束，速度前置角σ通常較小，因此，基于小角假設(shè)：

(14)

將式(14)代入式(13)中，并忽略高階小項得

(15)

結(jié)合式(15)，基于滑模控制理論，偏航和俯仰加速度指令偏置項設(shè)計為

(16)

式中：k>0為偏置項控制增益，符號函數(shù)為

結(jié)合式(10)和式(16)，考慮視場角約束的三維時間控制制導(dǎo)律為

(17)

值得注意的是，當(dāng)攻擊時間誤差s≠0時，即使制導(dǎo)彈藥指向目標(σ=0)，aby和abz均不為0，即俯仰和偏航偏置項依舊可以起到攻擊時間調(diào)節(jié)作用。考慮到比例導(dǎo)引常數(shù)一般取值為3，則制導(dǎo)律的調(diào)節(jié)參數(shù)只有一個，有利于工程中制導(dǎo)控制增益調(diào)節(jié)。

2.2 穩(wěn)定性分析

假設(shè)末制導(dǎo)初始時刻導(dǎo)引頭捕獲目標，制導(dǎo)彈藥的速度前置角滿足視場角約束，即：|σ0|≤σmax。采用式(17)所示的制導(dǎo)律能使制導(dǎo)彈藥在末制導(dǎo)過程中滿足視場角約束，并且攻擊時間誤差是收斂的。

為了證明制導(dǎo)彈藥末制導(dǎo)過程中滿足視場角約束，定義集合Ψ={σ:|σ|≤σmax}，選取李雅普諾夫函數(shù)：

(18)

對式(18)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(11)得

(19)

當(dāng)σ→0 時，φm→0 且θm→0，有

(20)

由式(20)知，σ→0不會使式(19)引起奇異問題。考慮集合Ψ邊界上的點：當(dāng)|σ|=σmax，有ab=0。則當(dāng)比例導(dǎo)引系數(shù)N>2時，以下不等式恒成立：

(21)

下面證明制導(dǎo)律能夠使剩余飛行時間誤差收斂。選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

(22)

對式(22)求導(dǎo)，并聯(lián)立式(15)～(16)得

(23)

當(dāng)增益k取值足夠大時，s會在有限時間ts收斂到0，記ts時刻彈目距離和前置角分別為Rs,σs。聯(lián)立式(1)、式(6)和式(11)有

(24)

(25)

綜上所述，所提出的制導(dǎo)律式(17)能夠使制導(dǎo)彈藥同時滿足視場角約束、命中約束以及攻擊時間約束。并且，當(dāng)末制導(dǎo)初始時刻制導(dǎo)彈藥直指目標時，該制導(dǎo)律仍能對攻擊時間起到調(diào)節(jié)作用。

3 仿真分析

針對制導(dǎo)彈藥在三維空間中攻擊固定目標的場景，進行了仿真驗證。目標位置為(5 000,5 000,0) m，制導(dǎo)彈藥初始位置為(0,0,0) m，速度為250 m/s，初始俯仰和偏航前置角分別為10°和-15°。導(dǎo)彈俯仰和偏航方向可提供的最大加速度均為8g，其中g(shù)=9.8 m/s2。制導(dǎo)律設(shè)計參數(shù)為：N=3，k=20，仿真步長選為0.01 s。為了減小符號函數(shù)在末制導(dǎo)末端引起的抖振現(xiàn)象，當(dāng)剩余飛行時間誤差小于0.2 s時，采用tanh函數(shù)來代替符號函數(shù)，其函數(shù)表達式為

其中，a為設(shè)計參數(shù)，取值為0.1。

設(shè)定制導(dǎo)時間分別為30 s和35 s，視場角約束分別為40°和45°，仿真結(jié)果如圖2所示。

以上仿真條件下，攻擊時間控制誤差不超過0.001 s，脫靶量不超過0.01 m。結(jié)合圖2(a)所示的彈道曲線表明，不同視場角約束下，制導(dǎo)彈藥均能以指定攻擊時間精確命中目標，并且指定攻擊時間越大，彈道越彎曲。圖2(b)～(c)所示的剩余飛行時間誤差曲線和視場角曲線表明，制導(dǎo)彈藥末制導(dǎo)段能滿足視場角約束，剩余飛行時間誤差逐漸收斂，并且指定攻擊時間越長，最大視場角約束越小，則制導(dǎo)彈藥以最大視場角飛行時間越長，剩余飛行時間誤差收斂越慢。結(jié)合圖2(d)～(e)所示的過載曲線，制導(dǎo)彈藥彈道主要分三段：初始階段攻擊時間誤差大，制導(dǎo)彈藥以最大過載調(diào)節(jié)彈道；隨后觸碰最大視場角約束，過載迅速減小，制導(dǎo)彈藥以最大視場角飛行；最后由于剩余飛行時間誤差收斂，制導(dǎo)律退化為三維比例導(dǎo)引，視場角和過載逐漸收斂到0，增強末端抗干擾能力。

圖2 不同約束下仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of different constraints

針對不同制導(dǎo)時間和視場角約束條件，圖3給出了分析不同偏置項控制增益k對剩余飛行時間誤差收斂速度的影響。仿真結(jié)果表明：對于不同的制導(dǎo)時間和視場角約束條件，偏置項控制增益k越大，剩余飛行時間誤差收斂速度越快；同時，隨著k的增加，剩余飛行時間誤差收斂速度的增長速率逐漸變緩。

圖3 不同增益下剩余時間誤差Fig.3 Time-to-go errors of different gains

圖4表明，采用兩種制導(dǎo)律，制導(dǎo)彈藥均能以指定攻擊時間精確命中目標，并且當(dāng)指定攻擊時間小時，兩種制導(dǎo)律彈道性能差異不大。圖4(b)～(c)表明，隨著攻擊時間增加，盡管文獻[6]中制導(dǎo)律攻擊時間誤差收斂較快，但是其最大視場角接近90°，遠遠超過導(dǎo)引頭的視場范圍，容易導(dǎo)致制導(dǎo)彈藥丟失目標。圖4(d)～(e)所示的過載曲線表明，兩種制導(dǎo)律末端過載均收斂到0，隨著指定攻擊時間增大，盡管文獻[6]快于本文所提出的制導(dǎo)律過載收斂速度，但是其過載飽和時間也明顯較長。從表1所示的控制能量對比結(jié)果可以看出，當(dāng)攻擊時間較小時，兩種制導(dǎo)律控制能量接近，但是隨著攻擊時間增加，本文所提出的制導(dǎo)律控制能量明顯小于文獻[6]中制導(dǎo)律控制能量。

表1 控制能量對比Table 1 Control effort comparison

圖4 制導(dǎo)律對比Fig.4 Comparison of guidance laws

4 結(jié) 論

針對制導(dǎo)彈藥在三維空間中的飽和式攻擊問題，基于經(jīng)典三維比例導(dǎo)引律，提出了一種考慮空間視場角約束的三維攻擊時間控制制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律由比例導(dǎo)引項和滿足空間視場角約束的攻擊時間誤差反饋附加項組成，通過理論分析和仿真對比可得出如下結(jié)論：

(1) 基于李雅普諾夫理論，本文給出了滿足視場角約束和攻擊時間誤差收斂的嚴格穩(wěn)定性證明；

(2) 本文所提出的制導(dǎo)律在不同仿真條件下，能夠滿足空間視場角約束，并且實現(xiàn)了以期望攻擊時間對固定目標的精確打擊，末端過載逐漸收斂，控制能量消耗較小。