大型復雜齒輪箱底架模態分析方法

任 新，徐思豪，江國和，秦振華

(1.中國船舶集團有限公司第703研究所無錫分部，江蘇無錫214151；2.中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011；3.上海海事大學，上海201306)

0 引 言

隨著現代船舶的大型化與復雜化，船用動力系統的三大部分主機、螺旋槳與齒輪箱也日漸復雜。隨著用于多機并車與分車甚至具有特殊用途齒輪箱的出現，與其相匹配的齒輪箱底架結構也趨向復雜。由于齒輪箱工作環境惡劣，工作時受到來自外部的激勵而產生振動；齒輪在嚙合過程中會產生沖擊，沖擊通過軸和軸承傳遞到齒輪箱體上而引起箱體振動；齒輪箱具有若干不同工況，工作頻率范圍寬，更有可能與結構共振頻率重合而引起共振，箱體振動極易導致齒輪的不對中，甚至引起箱體與軸系的疲勞損傷破壞，降低齒輪箱的使用壽命[3]。因此，對齒輪箱底架的動力學性能分析至關重要。

本文選取某大型復雜齒輪箱的配套底架結構作為研究對象進行模態分析，分別進行現場模態試驗與有限元模態分析，從而摸清該大型復雜齒輪箱底架的基礎動力學特性。現今較為常用的研究思路是以在一定頻率范圍內的模態試驗分析結果校核有限元模態分析結果，并對有限元模型進行適當的調整來逼近試驗結果，以此提升有限元模型的準確性，再利用完善后的有限元模型的計算結果得到研究對象更多頻率范圍內的模態參數。然而隨著研究對象的復雜化、大型化，常規的試驗模態分析與有限元模態分析都遇到了不可避免的阻礙，因而本文主要介紹一種在一般分析條件下的近似模態分析方法。

本文研究對象的基座結構分為7個部分，通過螺栓連接組合而成，左右兩舷結構各設有上下2層結構，并在左右底層支架上設有一跨接結構用以承載跨接齒輪箱，其結構布置圖如圖1所示。

圖1 復雜齒輪箱底架結構布置圖Fig.1 Structural layout of a complicated gearbox basement

1 模態分析中出現的問題

1.1 試驗模態分析

由于齒輪箱結構龐大，因而采用單輸入多輸出的力錘沖擊試驗。與激振器試驗相比，力錘試驗的激振設備簡單，不需要支撐裝置，對被測結構不產生附加質量，激振點的選擇可以更加靈活，更適合于大型結構的現場測試[1]。這也是目前模態試驗中最為常用的一種試驗方式。然而該試驗對象結構復雜，若要進行整體試驗，傳感器數量遠遠不夠；若是測點分布過于分散，則非常容易造成模態丟失。因而只能對基座單體（左舷上層底架，跨接齒輪箱底架）采用LMSTEST.Lab模態測試系統進行試驗模態分析。

由于跨接齒輪箱底架結構相對簡單，因而以跨接齒輪箱底架的試驗結果如表1所示。

試驗過程中，在較長的頻帶范圍內，錘擊能量會逐漸衰減，因此對模態分析的干擾較為強烈；而且該復雜結構質量與剛度分布特點不明，很難選擇合適的錘頭，因此需要反復試驗以得到滿意的結果。此外，結構質量與剛度過大，錘擊激勵能量相對較小，使得激發模態更為困難。可以觀察到試驗結果中存在部分MOV（模態復雜性）較小的模態，這說明個別模態有可能是噪聲模態；另一種可能是由于個別測點安裝在外伸的結構件位置，該位置相對于整體結構剛度較小，因而對頻率敏感度較大，從而造成MOV值偏小。此外，通過圖2所示的MAC值（模態置信準則），可見部分模態的MAC值也并不十分理想。由于試驗條件并不完全達到理想狀態，因而并不能直接判斷為虛假模態，還需對部分正交性不理想的試驗模態再進行考量。

表1 跨接齒輪箱底架模態試驗結果Tab.1 Outcome of operational modal analysis on bridging gearbox basement

圖2 跨接齒輪箱底架模態試驗各階模態振型MAC值Fig.2 MAC values of different modal vibration shapes in operational modal analysis on bridging gearbox basement

由此可見，由于現場試驗模態分析方法自身的激勵源和測點布置的原因，以及對試驗環境的要求等限制條件，僅要得到復雜大型結構單體的準確試驗結果就非常困難，對于規模龐大的整體結構則更是難上加難。因而通過試驗模態分析，僅能得到一個單體結構在一定頻率范圍內較為準確的模態參數，并且還需其他手段對MOV和MAC值較不理想的模態進一步討論分析再做參考。

1.2 有限元模態分析

對復雜齒輪箱底架的有限元模態分析采用MSC.patran/nastran建立有限元模型。由于該底架結構為典型的板架組合結構，因而采用二維板單元，單元大小取50mm×50mm，材料為普通碳鋼，彈性模量取206 000MPa，泊松比為0.3，密度為7.85×10?9t/mm3。建模過程中對螺栓墊板連接處、倒角圓弧處等進行適當的簡化。有限元模型如圖3所示。

建模之后即可得到完整的結構剛度與質量分布，使結構底面按實際工況位置固支并用MPC單元與質量點單元模擬其上部齒輪箱設備質量，以此在軟件中進行直接模態分析。然而該結構是由大量無加強筋的板材交錯焊接裝配而成，這就使得每塊板材遠離其他構件的區域的剛度遠小于整體剛度，從而使計算結果全部都是局部模態。圖4和圖5即為直接模態分析得到的典型云圖。

圖3 復雜齒輪箱底架有限元模型（結構示意圖）Fig.3 Finite element model of a complicated gearbox basement（structural diagram）

圖4 典型直接模態分析結果云圖（Ⅰ）Fig.4 Typical result nephogram of direct modal analysis （Ⅰ）

圖5 典型直接模態分析結果云圖（Ⅱ）Fig.5 Typical result nephogram of direct modal analysis（Ⅱ）

一般情況下的復雜結構，其結構部件的耦合程度高，即各個部分的剛度與質量都會對周圍其他構件的質量與剛度產生不同程度的影響，從而使得各個部件能夠形成一個整體結構，因此能觀察到明顯的低階整體模態。然而，該齒輪箱基架的結構為大規格板材的組合結構，在各個板格中，板材與板材連接處的剛度與質量遠大于板材中部的剛度與質量，簡而言之，即板材中部區域會獨立于整個系統產生一個附屬在總系統之下獨立的子系統，由于其自解耦性，板材中部會在整體運動下產生自身額外的運動，因而板材自身的形變遠大于整體結構的形變。所以在對該齒輪箱基架的計算結果中很難觀察到整體模態的效果云圖，其主要原因就是由于板材中部的相對位移遠大于整體的形變。

此外，直接模態計算還會造成小頻段中存在大量密集模態，模態振型繁雜。由于大量低剛度部分的結構存在而造成的大量自由度，會產生大量與該齒輪箱實際工況無關的振型，極大地浪費了計算機資源，使得直接模態計算根本不能得到理想的計算結果。

2 近似的有限元模態分析方法

2.1 掃頻頻響分析原理

直接進行有限元模態分析時，由于各個自由度上的振型混雜在一起，使得得到的結果數據過于龐大而無法得到有效的利用。通過模仿試驗模態分析中的掃頻激勵法，在有限元軟件中采用特定方向下的單位力掃頻激勵的方式，得到整體結構系統在所關心的自由度上的頻響結果，從而間接地獲取固有頻率與近似的振型。

物理坐標系中的頻響函數能夠表示為模態頻響函數的線性組合，即在有限元分析中獲取的頻響結果會包含所有相關的模態參數。

頻響函數矩陣H(w)的任一個元素hjk(w)可以表示為：

而此處施加的激振力fk(ω)為單位力，因而通過提取點的響應函數Xj(ω)即得到了該點的頻響函數hjk(w)，就可以得到該測點的動力矩陣值，而若得到一個大型結構的上下兩層基面上所有結構關鍵點的頻響函數，那么就可以以此近似地得到整個結構的模態振型。

另一方面，模態轉換是從特征值求解過程中得到的，是用物理坐標{x}通 過模態向量合集 [U]與模態坐標{p}發生關系：

進一步整理得到模態空間方程組

方程右側是模態振型的轉置乘以施加到結構上的物理力向量，因此該模態振型值即外力大小與各階模態分配的結果。此外，由于各階模態具有明顯的方向性，即結構對應的響應主要是在一個方向上而其他方向的響應很小或者沒有響應，因此可以通過限制激勵力的方向與作用點來激發出所關注的模態[2]。用該方法得到的計算結果并不意味得到了結構的所有階模態，但可以得到與關注的激勵方向和作用點下相關的固有頻率與近似的模態振型。

2.2 使用虛擬梁單元提取整體振型

由于剛度分布極不均勻的大面積板材不利于在有限元的結果云圖中觀察到振型，因此在所有結構剛度較大的板材連接處建立2節點的梁單元，該梁單元的剖面大小近似為0，因而不會對實際結構的剛度與質量矩陣產生影響，所以在此稱為虛擬梁單元。

虛擬梁的變形能夠近似等效為梁兩端節點間的相對變形，若提取出所有虛擬梁單元的變形云圖，就能夠直觀地得到系統中各個結構關鍵點之間的相對位移變化，從而得到整體振型。而對于該齒輪箱底架結構，結構關鍵點即是多塊板材公共邊的端部。由于是多個方向板材的連接位置，因此在各方向上都具有較大的剛度，所以最能體現整體的變形。

3 跨接齒輪箱底架有限元掃頻分析

結構的某一階模態，可以理解為在某一特定方向與特定作用點激勵下，在該結構的模態坐標中激發出的僅有的一種振型，該振型在模態空間中與其他所有模態正交。而頻響分析是通過任意方向與作用點的激勵力求出該結構在模態坐標系中所能激發出的所有振型的疊加結果。本文齒輪箱底架的激勵作用點位置可以近似為在齒輪箱設備的重心，在模型中施加MPC單元來模擬齒輪箱設備。因此可以在有限元模型中的齒輪箱設備重心處施加三向單位激勵，以5Hz為掃頻步長來進行無阻尼頻響分析，得到底架結構分別在3個方向上的頻響曲線（見圖6～圖9）。通過拾取最大峰值點得到近似的固有頻率，并通過虛擬梁的方式得到對應的近似模態振型。

3.1 固有頻率分析

使用上述方法對整體進行分析，并提取跨接齒輪箱底架計算結果與試驗模態分析結果進行對比，以驗證該方法的準確性。

圖6 在X方向激勵下的頻響曲線Fig.6 Frequency response curve under X-axis excitation

圖7 在Y方向激勵下的頻響曲線Fig.7 Frequency response curve under Y-axis excitation

圖8 在Z方向激勵下的頻響曲線Fig.8 Frequency response curve under Z-axis excitation

圖9 在XYZ方向激勵下的頻響曲線Fig.9 Frequency response curve under XYZ-axis excitation

由于是無阻尼頻響計算，因此可以假定出現峰值的頻率即為結構的固有頻率。根據圖6～圖8曲線的峰值（其中剔除了響應相對較小的峰值），并結合試驗結果匯總，如表2所示。

表2 中，前4行分別為在各個方向下（其中A ll為同時施加3個方向的激勵力）頻響曲線峰值所在的頻率。Test行代表與計算值相接近的試驗值。Error代表計算值與試驗值的誤差。

可以看到同時施加三向的激勵力能夠得到所有方向下的固有頻率值。另一方面，由于模態試驗的現場原因，有可能是因為激勵能量不足而造成170～235 Hz的模態沒有測出。但根據實驗值與計算值能夠相匹配的結果來看，兩者誤差較小，從固有頻率來看，有限元計算模型的準確性滿足要求。

3.2 響應振型分析

根據頻響曲線可以看到，隨著激勵方向的不同，其頻響曲線也完全不同，其共振峰越大則說明該作用點與方向下的激勵力越能夠激發出該頻率下的模態。因而從振型方面而言，頻響曲線上共振峰越大的響應變形越近似為在該頻率下的模態振型。

由圖6～圖8可以看到，在3個方向下，370 Hz都有較為明顯的共振峰，并且由圖9也可以看到，370Hz下的共振峰峰值最大，這說明在370 Hz時，同時施加

3個方向下的單位激勵力能夠較好地激發出該頻率下的模態振型。提取該情況下的響應變形，并與試驗模態所得的模態振型相比較，如圖10所示。

圖10 三向激勵下370Hz有限元計算振型Fig.10 Modal shape at 370Hz under XYZ-axisexcitation in finiteelement modal analysis

可以看到，振型基本運動趨勢接近，然而變形并不完全吻合。主要是由于響應振型的激勵位置與方向和該階模態的模態力方向與位置并不完全相同，因此得到的響應振型只能作為模態振型的一種近似。不過作為研究結構在確定激勵點位置與激勵方向下的情況，使用該方法得到的響應振型更具有實際工程意義。

3.3 整體齒輪箱底架頻響分析

上述整體分析中，子結構的固有頻率與振型分析基本與試驗模態分析結果相符，由此可以推論有限元模型的準確性，同時驗證了通過掃頻頻響分析與虛擬梁來得到近似的固有頻率與固有頻率下的響應振型。

由于齒輪箱底架的研究重點為齒輪箱設備與齒輪箱底架的接觸面，因此為了便于觀察，分別選取左右舷齒輪箱底架與跨接底架最上層的某一節點提取其頻響曲線，如圖11～圖14所示。

根據頻響曲線，通過拾取峰值得到整體結構的固有頻率，并得到相對應的響應振型。圖15～圖18為前4階（45Hz，80Hz，135Hz，170Hz）的振型云圖。

4 結 語

圖11 在X方向激勵下齒輪箱底架上層頻響曲線Fig.11 Frequency response curve of upper layer of gearbox basement under X-axis excitation

圖12 在Y方向激勵下齒輪箱底架上層頻響曲線Fig.12 Frequency response curve of upper layer of gearbox basement under Y-axis excitation

圖13 在Z方向下齒輪箱底架上層頻響曲線Fig.13 Frequency response curve of upper layer of gearbox basement under Z-axis excitation

圖14 在合成力方向下齒輪箱底架上層頻響曲線Fig.14 Frequency response curve of upper layer of gearbox basement under XYZ-axisexcitation

圖15 45Hz整體結構響應云圖Fig.15 Response nephogram of whole structure at 45Hz

圖16 80Hz整體結構響應云圖Fig.16 Response nephogram of whole structureat 80Hz

圖17 135Hz整體結構響應云圖Fig.17 Response nephogram of whole structureat 135Hz

圖18 170Hz整體結構響應云圖Fig.18 Response nephogram of whole structure at 170Hz

本文探討了針對某大型復雜齒輪箱底架結構的一種模態特性分析方法。進行模態分析時面臨著一些困難，如齒輪箱底架尺寸較大，其質量與剛度分布情況復雜；試驗模態分析所需的試驗條件要求高，對于力錘的選擇與傳感器數量都有較高的要求。此外，在有限元模態分析中會存在模態密集、模態向量繁雜、模態振型云圖無法提取等問題。因此，本文提出以掃頻分析為理論基礎、以虛擬梁為間接工具的一種近似方法來求出該復雜大型結構的固有頻率與振型。

該近似方法有以下幾個特點：

1）掃頻激勵頻響分析的計算結果不能得到結構的所有階模態，但可以得到與關心的激勵方向與作用點相關的固有頻率與模態振型。

2）虛擬梁單元的剖面大小近似為0，因而不會對實際結構的剛度與質量矩陣產生影響，但能夠充分顯示出關心節點之間的相對變形。

3）根據一個在空間各個方向上有分量的激勵力對結構進行的無阻尼頻響分析所得到的頻響曲線，可以得到所有響應峰值，以此得到結構的所有固有頻率。

4）響應振型的激勵位置與方向和對應階數模態的模態力方向與作用點并不一致，因此得到的響應振型只能作為模態振型的一種近似。作為研究結構在確定激勵點位置與激勵方向下的情況，使用該方法得到的響應振型更具有實際工程意義。

5）根據該方法，最終可有效地得到復雜齒輪箱底架在任意頻率范圍內，在激勵位置已知情況下的固有頻率與近似的模態振型。

綜上，對于大型的復雜結構，在無法直接用傳統的有限元計算得到模態結果的情況下，可以通過已知的激勵位置和方向，按上述方法進行掃頻頻響分析以近似等效模態分析。該方法計算復雜性不高，并且計算結果較直接，模態分析更能體現結構在工作狀態下的模態情況，亦能對設備工作頻率的選取以及結構剛度優化提供有益的幫助。