淺析解析幾何課程的“挑戰度

[摘要]利用“兩性一度”建設大學“金課”是教育部對大學課程的要求。本文以《解析幾何》課程中的軌跡方程知識點為出發點，淺析了如何利用全國大學生數學競賽提高課程的挑戰度的方法，對一個軌跡方程例題的教學設計進行了分析，闡述了如何在教學中提出挑戰，引導學生完成挑戰的思路。

[關鍵詞]軌跡方程兩性一度挑戰度教學設計

[中圖分類號]G64

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-3089（2021）17-0126-03

淘汰平淡無奇的“水課”，努力將課程提升至“金課”，是教育部在第十一屆中國大學教學論壇上提出的重要指導方針。而“金課”的打造，離不開課程的高階性、創新性和挑戰度。對于大學數學專業基礎課程《解析幾何》來說，也急需提升課程的含金量，提升課程的挑戰度，讓學生在學習基礎知識的過程中，不僅僅對于課本的一般內容熟練掌握，還能讓他們遇到跳一跳才能解決的問題，并且讓學生能夠主動跳一跳來解決難題。

《解析幾何》是大學數學類相關專業的專業基礎必修課，針對的是大學一年級剛剛邁人大學校門的學生。課程的主要內容是，在中學二維幾何圖形理論的基礎上，介紹利用向量的基本理論，建立空間坐標系，進而建立空間二次曲面方程，利用方程研究空間圖像的性質，為《數學分析》《高等代數》課程提供空間圖形的方程表達，是一門承上啟下的重要課程。為了解決提升課程挑戰度這個難題，其實是給任課老師出了一個有挑戰度的難題，一方面是從哪里找這樣的難題，一方面是如何調動學生的學習積極性的問題。

本文以如何建立空間點的軌跡方程為例，介紹如何在課本基礎知識上，結合全國大學生數學競賽提出提高《解析幾何》課程的挑戰度。

1.教學內容和目標

《解析幾何》的教學內容包含：（1）向量的基礎理論;（2）直線與平面;（3）曲線與曲面。其中，向量的基礎理論主要介紹建立軌跡方程的主要工具，包含向量積、數量積和混合積：之后利用向量工具，建立空間的線面方程，所以《解析幾何》的主要內容就是建立軌跡方程。

我們的教學目標設定為：

（1）通過空間軌跡方程的建立，掌握空間向量的基礎理論，理解空間直線和平面在建立空間曲面方程中的作用，掌握建立空間軌跡方程的基本方法，了解方程組消去參數的基本思路和方法。（2）通過建立空間曲面的軌跡方程，學會在已有圖形的基礎上建立坐標系的基本方法，并且與平面方程的建立方法比較，掌握建立軌跡方程的基本思路和解題的入手點，提高分析和解決問題的能力。（3）建立軌跡方程過程中，介紹其方法與《高等代數》《數學分析》等課程中的相關知識的關系，引入空間基本思維，提高空間想象能力，充分激發學生的學習積極性和主動性。

2.教學方法

將《解析幾何》中建立軌跡方程這個知識點與相關課程緊密聯系，與競賽相輔相成，用到了課本的理論又高于課本的難度，讓學生做的到能分析、會方法，這樣的課程既有挑戰度，又能完成挑戰度，是最佳狀態，我們以此為依據設計教學方法。

2.1引入時承上啟下

《解析幾何》課程的知識體系連貫，不像其他課程星羅棋布的知識點，《解析幾何》課程就是向量、平面直線、曲線曲面這一條主線，只要抓住主線就能學好課程，而軌跡方程就是最后的一個知識點，它用到了以前幾乎所有的基礎理論知識。所以“承上”就是利用軌跡方程這個最后的知識，將以前的向量數量積、向量積和混合積、直線的表達、直線平面的基本關系等相關知識點再次梳理，做到溫故知新。

軌跡方程就是建立幾何圖形的方程，而《解析幾何》中的幾何圖形又是《數學分析》的研究對象，在計算重積分中必須用到三維圖形的解析表達，同時建立軌跡方程出現方程比較復雜（出現交叉項）時，又需要用到《高等代數》中的二次型理論進行化簡，才能最終確定曲面的最簡方程。所以“啟下”就是利用軌跡方程與相關課程的聯系，讓學生掌握跨課程的知識體系，把相關課程知識點連成知識體系網。

2.2抓住重點剖析解題方法

建立軌跡方程的重點，就是建立方程組?？臻g曲面的軌跡方程只有一個，但是利用已知條件，往往不能直接得到這個目標方程，必須先建立方程組。也就是利用向量工具和直線平面的相關知識，找到軌跡上任意點滿足的方程，必要時引入參數，建立方程組后消去參數。對于這個解題方法，應該引導學生從中學建立二維平面上的橢圓的方程，過度到三維的平面和球面方程，冉過度到三維一般的軌跡方程，讓學生從中自主總結，剖析這些方程的建立過程的共同點和不同點，掌握建立軌跡方程的主要方法，提升分析和解題能力。

2.3找準難點探討解決思路

因為每個題目解題過程中遇到的情況不同，可以利用比較的辦法，讓學生從簡到難，找到引入參數的必要性，從而掌握在必要的時候，自然地引入參數，得到軌跡方程組，進而消參得到軌跡方程。近年來，關于軌跡方程的大學生數學競賽的題目都具有引入參數，消去參數的特點，讓學生扎實掌握這個難點，有助于學生學好用好軌跡方程的構造方法，進而完成有挑戰度的習題的解答。并且，當學生突破了解題的難點時，他們的學習積極性和主動性將會大大提升。

3.教學設計

我們以2019年第十一屆全國大學生數學競賽初賽，數學專業組（B卷）的第一題為例，介紹如何提出挑戰度的習題，引導學生完成挑戰?！霸OL，和L2是空間中兩條不垂直的異面直線，點B是它們公垂線的中點，點A，和A2分別在L和L2上滑動，使得AB和AB垂直，證明直線AA2的軌跡是單葉雙曲面。”

3.1分析已知條件，找到課本的相似知識點

我們可以通過分析，讓學生了解，軌跡方程就是與之前學習的旋轉面方程的建立相同，標準解題步驟是利用已知條件，引入參數，建立曲面上任一點滿足的方程組，消去參數，即可得到想要的方程，最后如果得到的方程不是標準方程，可以利用《高等代數》中的二次型配方為標準形，即可判斷得到的軌跡方程是單葉雙曲面。

3.2找到難點，重點突破

觀察題設已知條件，我們需要首先假設已知的異面直線，建立坐標系，才能進行標準步驟。這個是這個題目的難點，以前學生都沒有先建立坐標系的概念。為了提高挑戰度，我們可以給學生建立兩種坐標系，第一種是利用公垂線作x軸，公垂線的中點B作原點，兩個直線與z軸的夾角相同，于是我們得到了一對對稱的異面直線。第二種是利用已知直線L1作z軸，公垂線作x軸，那么我們得到了z軸和過x軸的直線是一對異面直線。由于第一種的異面直線是對稱的，所以得到的軌跡方程關于原點對稱，是一個標準的單葉雙曲面，直接可判斷。

第二種坐標系中，由于軌跡的對稱中心B點在x軸上，所以得到的軌跡方程不是標準方程，方程中會有干擾項，那么可以引導學生利用二次型化標準型的思路，化為標準方程，給出判斷，這也是這個題目的難點。

3.3梳理解題過程，從難題中找基礎

除了上述建立坐標系和最后非標準方程標準化之外，其余解題過程都是基礎理論，學生能在掌握課本基礎知識的前提下，獨立完成求解。求解過程，其實就是基礎知識的復習和鞏固的過程。并且求解不用拘泥于答案本身，可以提出多個解法，進一步提高解題的挑戰度。

（1）利用直線L的參數方程表達直線上的一點A，那么點A等價與參數t，則兩個直線就有兩個t作為引入的參數。（2）AB和AB垂直就是向量的數量積等于零，則得到了關于參數的方程：（3）利用直線AA2的直線方程，得到軌跡上任一點一定滿足直線方程，得到AA2直線方程就是關于參數的另外兩個方程。（4）利用上述列出的三個方程，消去兩個參數t，即可得到軌跡方程。

綜上，在解題中，用到了數量積、直線方程、消去參數等基礎知識，學生在分析計算過程中，掌握建立坐標系和化非標準方程這種課本上沒有的知識，達到了提高課程挑戰度的要求。

4.反饋調查

“以學生為中心”的課程知識點設計思路，是為了讓學生學以致用，真正學到東西。我們在利用競賽題進行挑戰度設置的教學改革之后，對學生進行了調查，得到如下結果：

（1）學生首先對《解析幾何》課程的理解更加深刻了，課內的知識作基礎，競賽的題目作檢測，學生更能了解自己的學習進度和學習質量。（2）學生改變了“要我學”的學習思路，有全國大學生數學競賽作為激勵，大家都想在競賽上一展身手，學習轉變為“我要學”，提高了學習的積極性和主動性。（3）成績有提高，我們通過日常的教學管理改革，加入了在線測試及其單元測試和競賽測試不同難度的測試環節，讓課程的過程考核體現到期末總成績之中，使得學生的學習從以前的考前突擊，到現在的一直學習，讓學習成績有了比較大的提高。

5.總結

通過《解析幾何》的“兩性一度”為指導方針的教學改革，我們利用全國大學生數學競賽試題作為提高挑戰度的方法，提高教學質量，將挑戰融入課堂教學和課后測試具體環節，使得老師教學有了挑戰度，學生學習有了挑戰度，在教師和學生的共同努力下，課程的建設上了一個新臺階，學生的發現問題、分析問題、解決問題的能力有了很大提高。

參考文獻：

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作者簡介：

李光云（1981年-），男，回族，廣西桂林人，理學碩士，講師，主要研究方向：微分方程動力系統。