基于ZRM-MDH模型轉換的串聯機器人運動學參數標定

喬貴方 萬 其 呂仲艷 康傳帥 孫大林 溫秀蘭

(1.南京工程學院自動化學院, 南京 211167; 2.東南大學儀器科學與工程學院, 南京 210096)

0 引言

近年來，工業機器人在高端制造領域和農業領域的應用受到國內外研究機構的關注[1-3]。為了實現高精度、低成本、柔性化的加工系統[4]，歐盟于2010—2013年資助 COMET 項目，用于研究工業機器人在機械加工方面的關鍵技術。近些年，丁漢院士團隊[1]、廖文和團隊[5]以及邾繼貴團隊[6]重點研究將工業機器人應用于航天發動機的葉片智能磨拋作業、航天工業中鉆鉚/裝配作業以及制造現場在線測量等高端制造領域。目前，工業機器人重復定位精度雖能達到0.01～0.1 mm，但其絕對定位精度仍為毫米級。利用視覺測量系統反饋實時調節工業機器人的末端位姿能夠提高作業精度，但影響機器人的運動效率[7-8]。研究表明，采用機器人標定技術能夠有效地提高工業機器人的絕對定位精度[9]。

機器人標定一般分為關節級標定、運動學參數標定與非運動學標定[10-11]。運動學參數誤差是影響機器人作業精度的主要因素，約占總誤差的80%以上[12]。運動學參數描述關節軸線之間的幾何關系，如連桿長度、連桿扭角、關節距離、關節零位等。在機器人運動或載荷變化時，運動學參數誤差保持不變，即運動學參數誤差對機器人的所有位形是常數?；谶\動學誤差模型的機器人標定過程包括建模、測量、辨識及補償4個基本步驟[13]。運動學模型應具備完整性、連續性和極小性。目前，機器人控制器中廣泛使用DH運動學模型，但當相鄰兩軸平行或接近平行時，DH模型存在奇異性[14]。為解決該問題，HAYATI等[15]提出了MDH模型，其核心是在DH模型的基礎上添加一個角度參數來描述相鄰平行軸的位置關系，但該模型在相鄰軸線垂直時也會出現奇異狀態，同樣也不具備完整性。POE模型[16]基于旋量理論的指數積表達式提出，該模型滿足完整性、連續性和極小性。但因目前機器人控制器主要基于DH模型進行正逆解運算，故基于POE模型不易于實現運動學誤差補償。按照誤差模型建立的方式，標定模型可分為基于位置誤差模型、基于距離誤差模型和基于位姿誤差模型[17-19]，其中基于位姿誤差模型更為完整，得到的機器人運動學模型精度更高，并且全面優化了機器人末端位置和姿態精度[20]。

本文提出一種基于模型轉換的串聯機器人運動學參數標定方法。該方法基于零參考模型建立機器人的位姿誤差模型，零參考模型(Zero reference model，ZRM)具有完整性和連續性，從而能夠實現高精度的運動學參數誤差辨識；為更易于實現誤差補償，將ZRM的參數誤差轉換成MDH模型的參數誤差。通過以上兩步，進一步提高工業機器人的絕對定位精度，并易于實現誤差補償。

1 串聯機器人運動學模型

1.1 機器人標定試驗系統

圖1為搭建的機器人標定試驗系統。該系統使用Leica AT960型激光跟蹤儀，其測量不確定度為±(15 μm+6 μm/m)。配套使用的測量分析軟件為Spatial Analyzer，該軟件提供了擬合幾何體、建立坐標系等功能。該系統待標定的為Staubli TX60型工業機器人，該機器人重復定位精度為±0.02 mm，額定負載為3 kg，最大負載為5 kg。激光跟蹤儀T-MAC型測量工具安裝在工業機器人末端法蘭盤上，激光跟蹤儀能夠準確測量其空間位姿。本文的測量過程均符合GB/T 12642—2013及ISO 9283工業機器人性能規范及其試驗方法標準[21]。

1.2 基于零參考模型的機器人正運動學

根據零參考模型的建立原則[22]，建立Staubli TX60型機器人各連桿坐標系如圖2所示。零參考模型中定義了兩個矢量：①單位方向矢量ui，確定各個關節軸的方向。②位置矢量bi+1，確定各個關節軸的相對位置。如圖2所示，以機器人基坐標系定義為零參考模型中的參考坐標系，從而獲得機器人零位狀態下的各個關節沿關節旋轉軸線的單位方向矢量ui=(uix,uiy,uiz)以及關節i-1和關節i之間的位置矢量bi=(bix,biy,biz)。

根據以上定義，Staubli TX60型工業機器人的零位置模型名義參數如表1所示，而機器人相鄰兩關節間旋轉變換矩陣表達式為

表1 TX60型機器人零參考模型名義參數Tab.1 ZRM nominal parameters of TX60 robot

(1)

其中

Vi=1-cosqiSi=sinqi

式中qi——關節i的角位移

而機器人相鄰連桿之間的坐標系齊次變換矩陣表達式為

(2)

因此，機器人的末端位姿在其基坐標系中位姿表達式為

(3)

2 基于ZRM的運動學參數辨識

2.1 機器人誤差模型

建立運動學誤差模型是實現機器人標定的重要步驟之一。將機器人末端定位誤差定義為實際位姿測量值TR與理論位姿值TN差值ΔT。根據式(3)，將TN對模型參數uix、uiy、uiz、b(i+1)x、b(i+1)y、b(i+1)z進行偏微分并忽略高階項，可以得到第j個位姿點的定位誤差為

(4)

其中 Δη=[ΔuixΔuiyΔuizΔb(i+1)x

Δb(i+1)yΔb(i+1)z…]T

[ΔnjΔojΔaj]=ΔRj

式中 Δη——待辨識的零參考模型參數誤差

ΔPj、ΔRj——第j個待測位姿點的位姿誤差

Prj、nrj、orj、arj——將激光跟蹤儀測量的位姿轉換到機器人基坐標系下的實際位姿

Pnj、nnj、onj、anj——基坐標系下機器人理論位姿

將式(4)寫成矩陣形式可得

(5)

式中 ΔEj——待測點位姿誤差

Hj——零參考模型雅可比矩陣

2.2 ZRM參數冗余性分析及辨識

由于誤差模型中的誤差雅可比矩陣可能存在線性相關的問題，使運動學模型中的某些參數無法辨識，同時也會導致優化算法的辨識精度較差。為避免優化算法陷入局部極小值，首先分析零參考模型的冗余參數，將冗余參數去除。矩陣奇異值分解(SVD)能夠獲得冗余參數，對辨識雅可比矩陣進行QR分解[23]，QR分解公式為

(6)

式中Q——r×r正交矩陣

O(r-c)×c——零矩陣

R——c×c上三角矩陣

理論上，在矩陣R對角線上為0的元素所對應的誤差參數無法辨識。實際處理時，可將一些數值較小的對應元素去除。通過以上處理，機器人零參考誤差模型對應的冗余參數如表2所示。

表2 零參考誤差模型冗余性分析Tab.2 Redundancy analysis of ZRM error model

基于ZRM構建的誤差模型為典型的非線性方程，對于求解非線性方程的最優問題，目前使用較為廣泛的優化算法是Levenberg-Marquardt(LM)算法，根據文獻[24]可知，LM算法收斂快速穩定，計算復雜度較小。將式(5)誤差模型改寫為

fj(Δη)=ΔEj-HjΔη

(7)

構建LM優化算法的目標函數為

(8)

LM算法的遞推公式為

(9)

其中μ是一個正數，當μ接近于0時，這個算法近似于Gauss-Newton算法；當μ很大時，這個算法近似于最速下降法。

以Staubli TX60型機器人的基坐標系為參考坐標，以坐標值(550 mm, 0 mm, 550 mm)為中心點，在邊長為1 000 mm的正方體空間內隨機選擇50個測量點，并使這50個測量點盡可能分布在整個正方體空間內。根據式(4)計算位姿誤差，辨識得到ZRM模型的參數誤差如表3所示，標定前后的機器人絕對定位精度如圖3和圖4所示。標定前TX60型機器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.146 3、0.306 4、0.416 1 mm，標定后的TX60型機器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.034、0.021、0.031 mm，標定前TX60型機器人在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.000 46、0.001 4、0.000 62 rad，標定后的TX60型機器人在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.000 62、0.000 67、0.000 79 rad。從以上結果可以看出，標定后的機器人在3個軸向上的位置精度均有較大改善，平均綜合定位誤差降低了90.63%。標定后的機器人在y軸向上的姿態精度有較大改善，并且在3個軸向上的姿態精度相對標定前更為均衡，平均綜合姿態誤差降低了25.08%。

表3 辨識出的零位置模型參數誤差Tab.3 Identified parameter error of ZRM model

3 ZRM-MDH模型轉換標定方法

如圖5、6所示，基于MDH誤差模型標定后的機器人在x、y、z軸上的平均定位誤差分別為0.041 85、0.041、0.054 6 mm，在x、y、z軸上的平均角度誤差分別為0.001 57、0.000 95、0.000 6 rad，可以看出，標定后的機器人在3個軸向上的位置精度均有較大改善，平均綜合定位誤差降低了85.09%。但基于MDH誤差模型標定后機器人姿態誤差較大。因此，基于ZRM誤差模型辨識后的模型精度高于基于MDH誤差模型。由于目前工業機器人主要采用DH模型進行建模，基于零參考模型所辨識的參數無法直接用于機器人誤差補償。因此，本文提出一種基于ZRM-MDH模型轉換的標定方法，能夠實現高精度的運動學參數辨識。

圓點分析法(Circle point analysis，CPA)是一種通過測量工業機器人關節軸線進行標定的技術[25]，通過獲取關節軸線的方向向量計算工業機器人的運動學模型參數。ZRM直接給出在參考坐標系下關節旋轉軸線的單位方向矢量，因此，可將ZRM誤差模型計算得到的運動學誤差通過CPA方法轉換為DH模型的運動學參數誤差。根據獲得的ZRM運動學參數對機器人的各關節建立坐標系，如表4所示。

表4 基于ZRM的坐標系定義Tab.4 Definition of coordinate frame based on ZRM

根據以上建立的坐標系，計算被標定的機器人MDH參數，計算過程如下：

首先判斷相鄰關節軸線Zi-1與Zi是否近似平行，若|Zi-1-Zi|≤0.000 1，則認為相鄰關節軸線近似平行。

當相鄰關節軸線不近似平行時，則βi=0，Xi-1與Xi之間在繞Zi-1正向上的夾角為

(10)

式中Xi——關節坐標系i的X軸軸向單位矢量

Oi-1與Oi之間在Xi正向上的距離為

(11)

式中Oi——關節坐標系i原點坐標矢量

Oi-1與Oi之間在Zi-1正向上的距離為

(12)

Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角為

(13)

當相鄰關節軸線近似平行時，則di=0，Xi-1與向量lOi-1Oi間在繞Zi-1正向上的夾角為

(14)

Oi-1與Oi之間的距離為

ai=|Oi-Oi-1|

(15)

Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角為

(16)

其中Yi-1=li×Zi-1Yi=Xi×Zi

Zi-1到Zi之間繞Yi正向上的夾角為

(17)

但因零參考模型中的參考坐標系和DH模型中的基坐標系無法通過以上步驟進行統一，因此，在以上計算得到的參數誤差基礎上，添加基坐標系修正矩陣，該矩陣為

(18)

根據模型轉換后的殘余誤差，通過LM算法擬合修正矩陣的參數，該矩陣如表5所示。隨機選擇40個定位點作為測試點，分別經過基于MDH誤差模型標定，基于ZRM誤差模型標定以及基于ZRM-MDH模型轉換方法，標定結果如圖7所示。由圖7可以看出，3種方法均能夠實現高精度的運動學參數標定，其中基于MDH誤差模型標定后的機器人平均綜合定位誤差為0.081 mm，基于ZRM誤差模型標定后的機器人平均綜合定位誤差為0.052 mm，而經過ZRM-MDH模型轉換后的機器人平均綜合定位誤差為0.062 mm，相對于基于MDH誤差模型的平均綜合定位誤差降低了23.5%。

表5 基于MDH模型與基于ZRM-DH模型轉換的辨識結果對比Tab.5 Comparison of identification results of MDH model based and ZRM-DH model transformation based calibrations

為了進一步驗證結果的正確性，分別在TX60型機器人前側工作區域內的上下左右中5個方位分別選擇5個邊長為500 mm的小正方體，在每個正方體內隨機選取50個測量點，5個區域的測量點分布圖如圖8所示，計算結果如圖9所示。由圖9可以看出，基于MDH誤差模型辨識得到運動學模型在各個區域內的誤差穩定性相對較差，平均綜合定位誤差為0.132 mm，而基于ZRM-MDH模型轉換所獲得的運動學模型誤差穩定性相對較好，平均綜合定位誤差為0.099 mm，平均綜合定位誤差降低25%。因此，本文提出的基于ZRM-MDH模型轉換的機器人運動學參數辨識方法具有較好的標定效果。

4 結束語

針對串聯工業機器人運動學參數標定問題，提出了一種基于ZRM-MDH模型轉換的機器人運動學參數標定方法。該方法首先利用零參考模型對串聯工業機器人進行標定，然后基于圓點分析法將零參考模型轉換成MDH模型。在TX60型機器人前側工作區域內任意選擇50個測量點，實施運動學參數誤差標定。實驗表明，基于MDH模型標定后的機器人平均綜合定位誤差為0.081 mm，而經過ZRM-MDH模型轉換后的機器人平均綜合定位誤差為0.062 mm，TX60型機器人的平均綜合定位誤差降低了23.5%。為驗證標定方法的穩定性，在TX60型機器人前側工作區域內選擇5個區域實施運動學參數誤差標定，結果表明，基于ZRM-MDH模型轉換獲得的標定精度穩定性相對較好。本文提出的基于ZRM-MDH模型轉換的機器人運動學參數標定方法既能夠直接獲得機器人DH參數，易于實現機器人誤差補償，又能夠有效地提升機器人的標定精度。