具有符號式正解的降耦沖壓機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與分析

沈惠平 黃凱偉 鄧嘉鳴 尤晶晶 楊廷力

(1.常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心, 常州 213016; 2.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院, 南京 210037)

0 引言

目前，國內(nèi)外學(xué)者在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合、運(yùn)動學(xué)及其性能等方面的研究較多[1-4]，而有關(guān)動力學(xué)的研究相對較少。常用的動力學(xué)分析方法有動力學(xué)普遍方程[5-6]、Newton-Euler法[7-8]、Lagrange方程[9-10]、Hamilton正則方程[11]、Kane方法[12-13]等。

陳修龍等[5]利用動力學(xué)普遍方程推導(dǎo)了4-UPS+1-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型；KALANI等[6]基于虛功原理，提出一種能夠減少計(jì)算時(shí)間、提高精度的改進(jìn)型動力學(xué)普遍方程，并對6-UPS Gough-Stewart機(jī)構(gòu)進(jìn)行了正逆動力學(xué)分析；SHIAU等[7]采用Newton-Euler法對3-RPS混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模；李研彪等[8]在考慮關(guān)節(jié)摩擦效應(yīng)的情況下，采用Newton-Euler法建立了5-PSS+1-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證；LEBRET等[9]利用Lagrange方程對Stewart機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)分析和控制；THANH等[10]通過Lagrange方法解決了冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模問題；尤晶晶等[11]利用Hamilton正則方程，對并聯(lián)式六維加速度傳感器進(jìn)行了動力學(xué)研究；于影等[12]基于Kane方程，建立了6-RUS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆動力學(xué)模型，并以此實(shí)時(shí)調(diào)整對接喇叭口的位姿狀態(tài)；鹿玲等[13]采用計(jì)算效率較高的Kane方法建立了5UPS/PRPU并聯(lián)機(jī)床的動力學(xué)模型，以解決冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力協(xié)調(diào)問題。此外，工業(yè)上許多場合需要結(jié)構(gòu)簡單、少驅(qū)動源的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。沈惠平等[14-15]提出少輸入-多輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的概念及其系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，并發(fā)明了大量少輸入-多輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)及操作手(含單自由度多輸出的并聯(lián)機(jī)構(gòu))[16-18]，還研制了系列基于單輸入多輸出(1T2R、2T2R、3T1R)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的并聯(lián)振動篩樣機(jī)[19-20]。

沖壓機(jī)構(gòu)是一種高效的自動化成型設(shè)備。目前，對沖壓機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)、運(yùn)動分析和特性研究較多[21-23]，而對新型沖壓機(jī)構(gòu)的動力學(xué)分析相對較少[24-25]。文獻(xiàn)[26]提出一種單輸入雙滑塊輸出的平面沖壓機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了尺度綜合，該機(jī)構(gòu)屬于平面型單自由度兩輸出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[16]。

Newton-Euler法需對構(gòu)件逐個進(jìn)行受力分析，其分析過程較為繁瑣，但可方便計(jì)算各構(gòu)件的支反力，以便進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[27]提出基于Newton-Euler原理的序單開鏈法(簡稱：N-E序單開鏈法)，該方法將機(jī)構(gòu)拓?fù)浞纸饧捌漶詈隙圈守灤┯谶\(yùn)動學(xué)、動力學(xué)的一體化建模與求解中，其思路清晰，求解過程簡潔。

文獻(xiàn)[28-29]運(yùn)用該方法，分別對三自由度的平面并聯(lián)氣液動連桿機(jī)構(gòu)、平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)分析；由于這2種機(jī)構(gòu)的耦合度κ均為1，故只能得到其位置數(shù)值解，速度、加速度分析也較復(fù)雜，從而使動力學(xué)計(jì)算較為繁瑣，這兩種平面機(jī)構(gòu)均僅含1個子運(yùn)動鏈(Sub-kinematic chain，SKC)；尚未對該方法與其他傳統(tǒng)的動力學(xué)分析方法(Newton-Euler法、Lagrange法等)進(jìn)行動力學(xué)建模精度的比較分析，因此，難以判斷N-E序單開鏈法的求解精度。

本文對文獻(xiàn)[26]提出的機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣雕顑?yōu)化，設(shè)計(jì)一種零耦合度、具有符號式正向運(yùn)動學(xué)的、含3個SKC的單輸入雙輸出沖壓并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對其進(jìn)行拓?fù)浞治龊螅M(jìn)行運(yùn)動分析(按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解的正序)。因耦合度κ=0，故無需設(shè)定虛擬變量，計(jì)算簡便。采用N-E序單開鏈法(按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解的逆序)對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模，求解機(jī)構(gòu)構(gòu)件的動態(tài)支反力和驅(qū)動力矩，并對比分析該方法和Lagrange法在動力學(xué)建模精度上的誤差。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和拓?fù)浞治?/h2>

1.1 研究背景

文獻(xiàn)[26]提出的單輸入雙滑塊輸出的平面八桿沖壓機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

它由一個平面Ⅱ級桿組(2-3)和一個平面Ⅲ級桿組(4-5-6-7)組成，其中，滑塊3(P1)為主沖壓頭，滑塊6(P2)為輔助推料器，其余8個關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動副(A～H)。

顯然，該機(jī)構(gòu)包含3個回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξLi=3。由整周自由度公式[30]可得

因此，該機(jī)構(gòu)僅需要一個原動件(桿1)，當(dāng)沖壓頭3沿v1方向向下沖壓時(shí)，輔助推料器6沿v2方向完成自左向右的待沖壓物料的自動推送，從而完成自動沖壓，而不需要人工送料，保證了人身安全。

根據(jù)單開鏈的約束度計(jì)算公式[30]，各回路的約束度Δi(i=1，2，3)分別為：

(1)第1回路由A-B-C-P1構(gòu)成

根據(jù)最小子運(yùn)動鏈(SKC)的劃分原則，由A-B-C-P1構(gòu)成第1個SKC，其耦合度[30]為

(2)第2回路由D-E-F-P2構(gòu)成

(3)第3回路由G-H構(gòu)成

因此，由第2、3回路構(gòu)成第2個SKC，其耦合度為

1.2 機(jī)構(gòu)降耦設(shè)計(jì)及其拓?fù)浞治?/h3>

降低機(jī)構(gòu)的耦合度可直接降低機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)分析求解的難度，為此，文獻(xiàn)[31]提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦原理及其設(shè)計(jì)方法，本文運(yùn)用其中的“基于運(yùn)動副復(fù)合方法”，將機(jī)構(gòu)第2回路中的運(yùn)動副D、E合并，得到的改進(jìn)優(yōu)化機(jī)構(gòu)如圖2所示，即可將機(jī)構(gòu)的耦合度從1降到0；降耦后，機(jī)構(gòu)各回路的約束度計(jì)算具體為：

A-B-C-P1為第1回路，即SOC1，可得

D-G-H為第2回路，即SOC2，可得

G-F-P2為第3回路，即SOC3，可得

可知，拓?fù)浣雕詈髾C(jī)構(gòu)包含3個SKC，分別為SKCi(i=1，2，3)，其耦合度均為零。因此，機(jī)構(gòu)耦合度為零，從而使得新機(jī)構(gòu)具有符號式正向運(yùn)動學(xué)，方便了動力學(xué)分析求解。

2 運(yùn)動學(xué)分析

2.1 位置正解

如圖3所示，以點(diǎn)H為原點(diǎn)、水平機(jī)架方向作為x軸，建立直角坐標(biāo)系。

設(shè)桿1為曲柄，其輸入角為φ，驅(qū)動力矩為M；各個二副桿的長度為li(i=1,4,5,7)；三副構(gòu)件2為等腰三角形，腰長(BD、DC)為l8，底邊長(BC)為l2；mi為第i個構(gòu)件質(zhì)量，Ii為第i個構(gòu)件繞其質(zhì)心Si的轉(zhuǎn)動慣量；設(shè)桿BC、DG、GH、GF與x軸正方向的夾角分別為φ1、φ2、φ3、φ4。

基于拓?fù)涮卣鞯臋C(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)建模與求解方法[33-34]，具有求解原理簡單、解題思路清晰、計(jì)算量少等優(yōu)勢；本文將該方法用于將該機(jī)構(gòu)的位置正解求解，即將該機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換為其3個SKC各自位置的正解求解。

(1)SKC1(A-B-C-P1)的求解

設(shè)A=(m，n)，則有

B=(m+l1cosφ,n+l1sinφ)
C=(m,n+l1sinφ-l2sinφ1)
D=(m+l8cos(θ+φ1),YC+l8sin(θ+φ1))
l1cosφ=l2cosφ1

(1)

(2)SKC2(D-G-H)的求解

分別求得φ2、φ3及點(diǎn)G的位置為

(2)

(3)

G=(l7cosφ3,l7sinφ3)

(3)SKC3(G-F-P2)的求解

求得點(diǎn)F坐標(biāo)為

F=(l7cosφ3-l5cosφ4,0)

設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)時(shí)，取桿長l5=l7，則有

φ4=π-φ3

(4)

設(shè)各桿件質(zhì)心位于其幾何中心，則易得其質(zhì)心Si(i=1，2,…，7)的位置為

至此，SKCi(i=1，2，3)中各個運(yùn)動副的位置均可表示為輸入角φ的解析函數(shù)，便于后面速度、加速度的解析計(jì)算。

2.2 速度、加速度分析

因桿1、7僅繞定軸轉(zhuǎn)動，滑塊3、6僅做移動，其(角)速度、(角)加速度為

其他構(gòu)件的運(yùn)動可分解為質(zhì)心沿x、y向的分運(yùn)動，以及繞垂直于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動，即

由于降耦機(jī)構(gòu)具有符號式位置正解，因此，容易求得機(jī)構(gòu)的符號式(加)速度；運(yùn)用Matlab編程得到滑塊3速度、加速度的理論計(jì)算值，與ADAMS仿真值進(jìn)行對比，如圖4所示，表明該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型及求解過程正確。

3 基于N-E的序單開鏈法動力學(xué)分析

3.1 基本原理

本文研究的降耦優(yōu)化機(jī)構(gòu)，因其耦合度κ=0，所以，無需設(shè)立虛擬變量，即可直接求解3個SKC內(nèi)的支反力，求解容易、方便。

3.2 動力學(xué)分析

由2.2節(jié)，可依次計(jì)算出3個SKC中各構(gòu)件的慣性力fi和慣性力矩Mfi為

式中asix、asiy——第i個構(gòu)件質(zhì)心Si的x、y向加速度

Ii——第i個構(gòu)件繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

αi——第i個構(gòu)件角加速度

(1)SKC3(G-F-P2)的受力分析

桿GF、滑塊6的受力分析如圖5所示。

桿GF的力與力矩平衡方程為

(5)

對滑塊6進(jìn)行分析，有

RFX=-m6a6

(6)

由式(5)、(6)，可解出運(yùn)動副G、F上的支反力RGX、RGY及RFX、RFY。

(2)SKC2(D-G-H)的受力分析

桿GH、GD的受力分析如圖6所示。因運(yùn)動副G是復(fù)合鉸鏈，設(shè)R1GX、R1GY及R2GX、R2GY分別為桿GH、GD上運(yùn)動副G處的支反力。

桿GH、GD的力與力矩平衡方程為

(7)

運(yùn)動副G的靜力平衡方程為

(8)

由式(7)、(8)，求解一個八元一次方程組，可得SKC2內(nèi)兩桿上的未知支反力RDX、RDY。

(3)SKC1(A-B-C-P1)的受力分析

構(gòu)件2、滑塊P1及曲柄AB的受力分析，如圖7所示。

構(gòu)件2的力與力矩平衡方程為

(9)

滑塊3的力平衡方程為

RCY+m3g=m3a3

(10)

曲柄AB的力與力矩平衡方程為

(11)

由式(11)，即可求出曲柄AB的驅(qū)動力矩M。

3.3 計(jì)算實(shí)例

降耦拓?fù)鋬?yōu)化后，沖壓機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如表1所示。已知驅(qū)動副角速度ω1為1 rad/s。

表1 八桿平面沖壓機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)Tab.1 Dimensional parameters of eight-bar plane punching mechanism

由式(5)～(11)，通過Matlab編程計(jì)算，可得各運(yùn)動副的支反力變化曲線，如圖8～10所示；驅(qū)動力矩M曲線，如圖11中的紅線所示。

將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入到ADAMS中，并施加每個構(gòu)件的重力；同時(shí)，選取仿真步長0.01 s，仿真時(shí)間為10 s，求得虛擬樣機(jī)的驅(qū)動力矩M仿真曲線，如圖11中的綠線所示。

由圖11可知，理論計(jì)算值與仿真值的曲線相吻合，表明基于N-E序單開鏈法的動力學(xué)建模正確，N-E序單開鏈法有效。

在驅(qū)動副隨機(jī)輸入頻率信號的情況下，驅(qū)動力矩M理論值與仿真值誤差很小。因此，基于N-E的序單開鏈法具有較好的有效性。

4 基于N-E序單開鏈法的動力學(xué)建模精度

4.1 基于Lagrange方程的動力學(xué)分析

4.1.1構(gòu)件動能和勢能分析

二副桿1、7動能分別為

(12)

滑塊3、6動能分別為

(13)

作平面運(yùn)動的構(gòu)件2、4、5動能分別為

(14)

(15)

(16)

由式(12)～(16)可得，系統(tǒng)總動能為

(17)

進(jìn)一步，約定x軸所在平面為零勢能面，易得各構(gòu)件的勢能為

Ui=migYsi(i=1, 2, …, 7)

(18)

因此，系統(tǒng)總勢能為

(19)

4.1.2Lagrange動力學(xué)模型及其計(jì)算

該機(jī)構(gòu)的Lagrange函數(shù)為

L=T-U

在不考慮摩擦等其他外力作用的情況下，根據(jù)虛功原理，驅(qū)動力矩M所做的虛功之和δw=Mδφ=Qjδφ，主動力對應(yīng)的廣義力即為驅(qū)動力矩M。因此，該機(jī)構(gòu)的拉格朗日方程可表示為

(20)

將式(17)、(19)及表1中參數(shù)代入式(20)，同樣，運(yùn)用Matlab與ADAMS，分別得到驅(qū)動力矩M的理論計(jì)算值與仿真值如圖12所示。

4.2 與Lagrange建模方法分析誤差的比較

由圖11、12得到基于N-E的序單開鏈法、Lagrange法兩種不同建模方法的驅(qū)動力矩M曲線理論值，將其理論值分別與ADAMS的仿真值進(jìn)行比較，將兩種不同建模方法得到的驅(qū)動力矩M曲線的誤差，分別擬合成曲線Ⅰ(基于N-E單開鏈法理論值與ADAMS仿真值誤差)和Ⅱ(Lagrange法理論值與ADAMS仿真值誤差)，如圖13所示。

由圖13可知，曲線Ⅰ的最大正誤差、最大負(fù)誤差絕對值均明顯小于曲線Ⅱ的相應(yīng)誤差，例：曲線Ⅰ、Ⅱ的最大正誤差分別為0.460 8、0.692 8 N·mm，前者比后者小33.4%；曲線Ⅰ、Ⅱ的最大負(fù)誤差分別為-0.450 2、-0.666 6 N·mm，前者比后者小32.4%；即曲線Ⅰ的絕對誤差范圍比曲線Ⅱ的絕對誤差范圍小32.9%，表明在將ADAMS的仿真值作為標(biāo)準(zhǔn)值的情況下，曲線Ⅰ的誤差小于曲線Ⅱ的誤差，即基于N-E的序單開鏈法具有更高的計(jì)算精度。

結(jié)果表明：對本文的優(yōu)化沖壓機(jī)構(gòu)而言，采用基于N-E的序單開鏈動力學(xué)建模方法，具有較高的精度。

5 結(jié)論

(1)通過拓?fù)浣雕顑?yōu)化提出并設(shè)計(jì)一種零耦合度單輸入雙滑塊輸出的沖壓機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)在主沖頭滑塊向下沖壓時(shí)，推料滑塊能自動完成送料。給出了該機(jī)構(gòu)的符號式正向運(yùn)動學(xué)，方便了動力學(xué)計(jì)算與分析。

(2)分別采用基于N-E的序單開鏈法和Lagrange法建立該機(jī)構(gòu)的逆向動力學(xué)模型，計(jì)算得到了驅(qū)動力矩的理論值，并通過ADAMS動力學(xué)仿真驗(yàn)證了動力學(xué)模型及求解方法的正確性、有效性與普適性。

(3)將基于N-E的序單開鏈法用于具有工業(yè)應(yīng)用背景的、含多個(3個)子運(yùn)動鏈的平面多桿機(jī)構(gòu)，且與Lagrange法動力學(xué)建模引起的誤差進(jìn)行了對比，表明其建模精度較高。