具有性能預(yù)設(shè)的多機編隊目標(biāo)跟蹤控制

張 毅, 方國偉, 楊秀霞

(1.海軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院, 山東 煙臺 264001; 2.海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

當(dāng)前,無人機(unmanned aerial vehicle, UAV)編隊控制[1-3]是學(xué)者們研究的熱點問題之一。

UAV編隊常被應(yīng)用在執(zhí)行類似人員搜救、對地面和海面目標(biāo)偵查探測等一些特殊的任務(wù),目標(biāo)跟蹤就是其中一項重要的任務(wù)[4-6]。因此,一些學(xué)者將目標(biāo)跟蹤與編隊控制問題結(jié)合起來進行研究[7-9]。文獻[7,9]分別基于Leader-Follower結(jié)構(gòu)和虛擬結(jié)構(gòu)編隊,設(shè)計了Leader無人機趨近目標(biāo)的制導(dǎo)律和Follower無人機跟蹤Leader無人機的制導(dǎo)律,實現(xiàn)UAV編隊對目標(biāo)的Standoff跟蹤。文獻[10]中呈現(xiàn)了基于卡爾曼濾波器的多UAV目標(biāo)編隊控制,利用Laplacian矩陣刻畫UAV間的通信連接,并應(yīng)用卡爾曼濾波器實現(xiàn)了多UAV編隊對目標(biāo)軌跡的跟蹤。

隨著對控制要求的提高,對于編隊控制性能也有了更高的要求,不僅對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能有所要求,對瞬態(tài)性能也有一定的要求,并且很多情況下還對系統(tǒng)收斂的時間,即編隊形成時間也有一定的要求[11-13]。在這種背景下,希臘學(xué)者Bechlioulis等[14]首次提出預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control, PPC)的概念,作為一種能夠預(yù)先描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能的方法,其核心的控制思想就是在確保目標(biāo)跟蹤的誤差能夠收斂到預(yù)設(shè)的任意小的區(qū)域的同時,還能夠保證對超調(diào)量以及收斂速度的要求[15]。許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上又進行了研究,并將其應(yīng)用在一些實際的場景下[16-18]。文獻[16]將預(yù)設(shè)控制應(yīng)用到二階的多智能體Leader-Follower編隊結(jié)構(gòu)的控制中,并在一致性控制的基礎(chǔ)上,通過單獨對Leader智能體設(shè)計性能控制律,實現(xiàn)編隊整體的性能控制。文獻[17]將該理論應(yīng)用到無人車編隊的性能控制上,結(jié)合自適應(yīng)控制實現(xiàn)了編隊隊形控制,既避免了碰撞,又確保了編隊的性能。文獻[19]基于預(yù)設(shè)性能控制研究了多導(dǎo)彈編隊控制問題,通過設(shè)計預(yù)設(shè)性能編隊控制器保證了編隊的精度,并提出了具有性能預(yù)設(shè)的主動避碰策略,避免了導(dǎo)彈間的碰撞。

隨著該理論的發(fā)展,部分學(xué)者提出了有限時間性能控制(finite-time performance control, FTPC)的概念[20-22]。文獻[20]針對嚴格反饋的非線性系統(tǒng),在反步法的基礎(chǔ)上定義了有限時間性能函數(shù),實現(xiàn)了在有限時間間隔內(nèi)收斂到預(yù)設(shè)的區(qū)域中。文獻[21]針對模型參數(shù)未知的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)提出了魯棒預(yù)設(shè)性能控制,同時保證了有限時間的穩(wěn)定性和瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能。文獻[22]針對多機器人系統(tǒng),通過將有限時間與性能預(yù)設(shè)的概念融入到滑模控制器的設(shè)計中,實現(xiàn)了分布式性能約束控制。文獻[23]提出一種預(yù)設(shè)時間的多智能系統(tǒng)控制方法,不同于傳統(tǒng)的兩種有限時間控制,它在保證所有智能體的狀態(tài)能夠趨于一致的前提下,實現(xiàn)了對收斂時間的提前預(yù)設(shè)。

結(jié)合當(dāng)前對預(yù)設(shè)性能控制和UAV編隊目標(biāo)跟蹤的研究現(xiàn)狀,可以得出具有性能預(yù)設(shè)的UAV編隊目標(biāo)跟蹤控制存在的研究難點主要在于:① 在確保UAV間相位能夠預(yù)設(shè)的前提下,提出一種滿足UAV編隊目標(biāo)跟蹤與隊形描述的方法;② 如何將編隊隊形描述方法融入到具有性能預(yù)設(shè)的編隊控制方法和控制律設(shè)計中;③ 針對不同性能需求,如何設(shè)計滿足要求的性能函數(shù),并基于同一編隊控制律實現(xiàn)對不同編隊性能的控制。

本文在基于3種運動方式的編隊隊形描述方法的基礎(chǔ)上,提出一種滿足預(yù)設(shè)性能的UAV編隊目標(biāo)跟蹤算法。首先基于編隊隊形描述與目標(biāo)跟蹤策略,構(gòu)建UAV編隊誤差模型,利用一致性控制思想將編隊誤差控制轉(zhuǎn)換為編隊鄰接誤差控制,同時通過誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)將受性能約束狀態(tài)下的誤差轉(zhuǎn)換為無約束狀態(tài)的誤差,并基于此給出一致性性能預(yù)設(shè)編隊控制律。其次針對不同性能需求,分別給出兩種不同類型的性能函數(shù),以結(jié)合控制律實現(xiàn)對編隊性能的預(yù)設(shè)控制,并進行了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。最后，通過仿真證實了本文所設(shè)計的預(yù)設(shè)性能控制律能夠在兩種不同類型的性能函數(shù)約束下,實現(xiàn)對編隊性能的控制,達到目標(biāo)跟蹤性能可控的目的。

1 問題描述和預(yù)備知識

1.1 問題描述

1.1.1 模型建立

本文主要研究的是多UAV編隊目標(biāo)跟蹤問題,主要考慮UAV在定高狀態(tài)下,通過追蹤目標(biāo),并在目標(biāo)上空周圍均勻分布跟蹤或進行360°盤旋跟蹤。針對問題背景,可將三維空間問題轉(zhuǎn)換為二維平面上進行問題討論,因此本文考慮采用如下模型作為UAV系統(tǒng)的研究模型:

(1)

式中,Θ={1,2,…,N};pi=[xi,yi]T和vi=[vix,viy]T分別為UAVi的位置與速度;ui=[uix,uiy]T為控制輸入。

本文將采用一種基于3種運動方式的編隊隊形描述策略,這其中需要引入兩架虛擬UAV,記為UAVl與UAVb,定義二者的動態(tài)模型分別為

(2)

(3)

式中,pl、vl和ul分別表示UAVl的位置、速度和控制輸入;pb、vb和ub分別表示UAVb的基準(zhǔn)向量、基準(zhǔn)變化量和基準(zhǔn)控制量,需要注意的是此處的pb并非實際位置,僅表示相對位置。

1.1.2 圖論相關(guān)定義

本文以有向圖來表示UAV間以及UAV與虛擬UAV間的通信拓撲關(guān)系。定義有向圖G1=(V1,ε1),其中V1表示UAV的集合;ε1表示UAV間的通信關(guān)系集合,當(dāng)(UAVi,UAVj)∈ε1時,表示UAVi可獲取來自UAVj的信息,并稱二者是鄰接的。定義鄰接矩陣A=[ai j]∈RN×N,ai j為(UAVi,UAVj)的權(quán)值,并滿足:

(4)

定義有向圖G2=(V2,ε2),其中V2表示UAVk與UAVi的集合,k∈{l,b};ε2表示UAVi與UAVk間的通信關(guān)系集合,當(dāng)(UAVi,UAVk)∈ε2時,稱UAVi可獲取來自UAVk的信息,并定義矩陣A2=[aik]∈RN×2,aik表示(UAVi,UAVk)的權(quán)值,且

(5)

同時從式(5)中也可注意到,aki不存在,即UAVk不具備接收來自UAVi信息的能力。需要注意的是,當(dāng)不考慮UAV間通信質(zhì)量時,ai j與aik取值為0或1。

定義G1的Laplacian矩陣L∈RN×N為

L=[li j]=D-A

(6)

1.1.3 目標(biāo)跟蹤與編隊隊形描述方法

在對方法介紹之前,首先給出一個針對UAV間信息傳輸?shù)募僭O(shè)。

假設(shè) 1對于多UAV系統(tǒng)式(1)～式(3),UAVl與UAVb至少存在一條能夠到達所有UAVi的有向信息通路,且滿足所有UAVi接收到UAVl與UAVb的信息相同。

本文基于平移運動、旋轉(zhuǎn)運動以及縮放運動,給出一種隊形描述的方法,將3種基本運動作為描述隊形的基本變量,并定義編隊隊形參數(shù)組為

S(N)=[pl(t),pb(t),C1(t),…,CN(t)]

(7)

為實現(xiàn)編隊目標(biāo)跟蹤期間的隊形保持,考慮pb=[cos(θ(t)),sin(θ(t))]T,且θ(t)=ω(t-t0),其中ω為旋轉(zhuǎn)角速度,表示目標(biāo)跟蹤期間編隊盤旋運動的角速度,t0為編隊跟蹤上目標(biāo)的時刻,即UAVl追蹤上目標(biāo)的時間。

定義 1對任意給定的UAV初始狀態(tài),若

(8)

則稱通過控制編隊參數(shù)組S(N),實現(xiàn)了對UAV編隊的控制。

基于式(7)的編隊隊形描述方法是各UAVi以UAVb為基準(zhǔn),分別進行縮放與旋轉(zhuǎn)運動,以形成期望的幾何編隊隊形,其中ri決定了跟蹤期間UAV與目標(biāo)間的間距,Ri決定了UAV與UAVl間的相位間距,確保相位的提前預(yù)設(shè)。同時UAV編隊保持與UAVl的相對位置,以保證跟蹤期間的編隊隊形,當(dāng)UAVl追蹤上目標(biāo)時,此時各UAV可保持預(yù)先設(shè)定的相位值分布在目標(biāo)周圍,實現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤。軌跡導(dǎo)引無人機UAVl追蹤目標(biāo)軌跡如圖1所示。

圖1 UAVl跟蹤目標(biāo)軌跡

定義UAVl跟蹤目標(biāo)軌跡的運動規(guī)則如下。

步驟 3重復(fù)步驟2,直至UAVl追蹤上目標(biāo),且運動軌跡與目標(biāo)軌跡重合。

結(jié)合上述目標(biāo)跟蹤模型及編隊隊形描述方法,考慮本文的控制目標(biāo)為針對多UAV系統(tǒng)式(1)～式(3),在編隊隊形參數(shù)組式(8)的控制下,通過設(shè)計一致性預(yù)設(shè)性能編隊控制律,并給出具備穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能約束的性能函數(shù),以確保編隊誤差能夠被約束在所設(shè)計的性能函數(shù)邊界內(nèi),實現(xiàn)性能預(yù)設(shè)的控制目的。

1.2 預(yù)備知識

引理1[24]在假設(shè)1存在的前提下,考慮一個非奇異M-矩陣W∈RN×N,W-1存在且非負,同時存在一個對角正定矩陣P=diag{p1,p2,…,pN},使得PW+WTP是對角且正定的,其中P=(diag(q))-1,q=[q1,q2,…,qN]T=W-11N。

考慮初值問題[25-26]:

(9)

式中,t∈R+;Ωy為非空開集;f:R+×Ωy→Rn。若式(9)的解y(t)的任意的右擴展都不是式(9)的解,則稱y(t)是式(9)的最大解。

引理 2[25](定理54) 考慮初值問題式(9),若f(t,y)滿足:① 對于?t∈R+,在y上是局部Lipschitz連續(xù)的;② 對每個固定的y∈Ωy在t上是分段連續(xù)的;③ 對固定的y∈Ωy在t上是局部可積的,那么在時間區(qū)間[0,tmax),tmax>0存在唯一的最大解y(t),使得對于?t∈[0,tmax),y(t)∈Ωy成立。

2 預(yù)設(shè)性能控制律設(shè)計

由式(8)可得編隊的誤差為

(10)

定義UAV編隊中的鄰接誤差為

(11)

以矩陣形式表示鄰接誤差為

(12)

由式(12)可得

(13)

式中,λ(QTQ)表示Q的奇異值,因此可將編隊誤差控制問題轉(zhuǎn)換為編隊鄰接誤差控制問題,由定義2、式(11)和式(13)可對編隊隊形的一致性控制進行重新定義如下。

本文考慮具有性能預(yù)設(shè)的編隊控制方法,其控制目的是為了使編隊鄰接誤差始終保持在預(yù)設(shè)的性能區(qū)域Dm i,m∈{p,v}內(nèi),即

(14)

圖2展示了本文所采用的兩種性能函數(shù)的示意曲線,曲線中可以看到兩種性能函數(shù)均由初始值ρ0下降到預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)誤差ρ∞內(nèi),對于兩種性能函數(shù)的具體介紹將在下文進行敘述。

圖2 兩種性能函數(shù)示意圖

對鄰接誤差epi和ev i進行關(guān)于性能函數(shù)ρm的歸一化處理,可得

(15)

則此時式(14)所示的預(yù)設(shè)性能區(qū)域Dm i可變換為

(16)

由式(14)和式(16)可發(fā)現(xiàn),誤差在對應(yīng)的性能區(qū)域內(nèi)受到取值范圍的約束,而這對于后續(xù)設(shè)計是十分不便的。因此,為消除加性能約束的誤差,采取一種誤差轉(zhuǎn)換技術(shù),將受約束的誤差轉(zhuǎn)換為不受約束的轉(zhuǎn)換誤差[27]。

(17)

即轉(zhuǎn)換后的誤差為

(18)

對εm i關(guān)于t求導(dǎo)可得

(19)

式中,

αm=diag{ρm 1(t),ρm 2(t),…,ρmN(t)}

因此,由式(19)可得轉(zhuǎn)換誤差動態(tài)方程為

(20)

基于轉(zhuǎn)換后的鄰接誤差,本文給出的一致性性能控制律為

ui(t)=-k1iεv i(t)-k2iεpi(t)-k3iev i(t)

(21)

式中,k1i,k2i,k3i>0。

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)針對性能的不同需求,提出兩種不同類型的性能函數(shù),并基于性能函數(shù)對編隊性能的約束,對式(21)在兩種性能函數(shù)下的穩(wěn)定性進行分析。

3.1 指數(shù)型性能函數(shù)

本文選取的指數(shù)函數(shù)為

(22)

(23)

式中,ki=diag{ki1,ki2,…,kiN},i∈{1,2,3}。定義非空開集Ωη為

(24)

步驟 2由引理1可知,Q為非奇異M-矩陣,又ki(i∈{1,2,3})為對角矩陣,則Qki也為非奇異M-矩陣。又由引理1可知,存在正定對角矩陣Pi=(diag(qi))-1,其中i∈{p,v,3},j∈{1,2,…,N},qi=[qi1,qi2,…,qiN]=(Qki)-11N。

選擇Lyapunov函數(shù)為

即:

(25)

顯然式(25)為二次型形式,因此要令V>0,僅需滿足二次型矩陣正定即可,即滿足Pp>Pv。易證得,當(dāng)滿足k2>k1時,即k2i>k1i時,V>0。

對V進行求導(dǎo)可得

利用Jv,Pi(i∈{p,v,3})和ki(i∈{1,2,3})的對角性,展開PiQki可得

(26)

(27)

(28)

式中,g0,g1i,g2,g3,g4,g5i,g6為未知正常數(shù)。

由引理1可知,Qv=PvQk1+k1QTPv、Q3=P3Qk3+k3QTP3為正定的,則式(27)變換為

(29)

令

則式(29)可表達為

(30)

由于Qi(i∈{p,v,3})是正定的,易證得H是正定的,因此式(30)可表示為

(31)

由式(31)可知εp與εv是有界的,因此當(dāng)t∈[0,tmax)時,通過對式(17)進行逆運算可得

(32)

則當(dāng)em i(0)≥0,m∈{p,v}時,

(33)

當(dāng)em i(0)<0,m∈{p,v}時,

(34)

步驟 3以下利用反證法進行證明。

基于式(33)和式(34),定義Ωη的非空緊集為

(35)

對式(33)和式(34)兩邊同乘ρm可得到預(yù)設(shè)的性能區(qū)域Dm,即證得性能函數(shù)選擇為式(22)時,在控制律(21)作用下,實現(xiàn)具有預(yù)設(shè)性能的無人機編隊控制。

證畢

3.2 預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù)

以下提出一種預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù),不同于第3.1節(jié)所設(shè)計的指數(shù)型性能函數(shù),該函數(shù)能夠保證性能邊界在特定的時間內(nèi)到達預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)值,下面對預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù)進行定義。

本文給出預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù)為

(36)

式中,Tm為預(yù)設(shè)收斂的時間值;h>2為一個正實數(shù)。

對式(36)求導(dǎo)可得

(37)

以下參照定理1,給出基于性能函數(shù)(36)的編隊控制定理及其證明。

證明與定理1證明類似,分別考慮t∈[0,Tm)以及t∈[Tm,+∞)的情況。

證畢

本文基于一致性預(yù)設(shè)性能控制律,僅通過設(shè)計兩種不同類型的性能函數(shù)即可實現(xiàn)對不同性能需求的預(yù)先設(shè)定,這一點在定理1與定理2得到了充分的說明。

4 仿真驗證

為了進一步驗證本文所設(shè)計的基于兩種性能函數(shù)下的編隊目標(biāo)跟蹤性能預(yù)設(shè)控制方法的有效性,以下分別針對不同性能函數(shù)下的編隊控制進行仿真驗證。

利用4架UAV(即N=4)對本文所提出的預(yù)設(shè)控制算法進行驗證。為更好地展示算法,僅針對ω=0時的情況,即無盤旋運動進行說明。令4架UAV初始位置pi(0)分別為(-50,0)Tm、(0,60)Tm、(10,-50)Tm和(50,20)Tm;初始速度vi(0)分別為(0,-2)Tm/s、(-2,0)Tm/s、(1,-1)Tm/s和(2,-1)Tm/s;UAVl相關(guān)參數(shù)為pl(0)=(0,0)T,vl=(1,1)Tm/s;UAVb相關(guān)參數(shù)為θ(0)=0,即pb(0)=(1,0)T,vb(0)=(0,0)T,ub(0)=(0,0)T;編隊旋轉(zhuǎn)因子R中參數(shù)θ=(π,π/2,3π/2,0);縮放因子r為(10,10,10,10);目標(biāo)初始位置為(15,15)Tm,考慮目標(biāo)做勻速直線運動,速度為(-1,1)Tm/s。本文考慮UAV間通信拓撲關(guān)系如圖3所示,不考慮UAV間的通信質(zhì)量權(quán)重,即對應(yīng)的鄰接矩陣為

圖3 UAV間通信拓撲關(guān)系圖

4.1 基于指數(shù)型性能函數(shù)

基于指數(shù)型性能函數(shù)的編隊目標(biāo)跟蹤控制仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 基于指數(shù)型性能函數(shù)的編隊控制仿真結(jié)果

從上述仿真結(jié)果可得,在預(yù)設(shè)的指數(shù)型性能邊界與最大穩(wěn)態(tài)誤差的約束下,編隊各誤差均能按照設(shè)定的衰減速率lm達到預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)誤差范圍內(nèi),達到了一定的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能,實現(xiàn)了預(yù)期的控制目標(biāo)。

4.2 基于預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù)

令Tp=Tv=20 s,h=2.5;其余參數(shù)保持不變。基于預(yù)設(shè)時間型的性能函數(shù)的編隊目標(biāo)跟蹤控制仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 基于預(yù)設(shè)時間型性能函數(shù)的編隊控制仿真結(jié)果

從上述的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),通過預(yù)設(shè)時間型性能邊界約束,編隊各項誤差值能夠在預(yù)設(shè)時間內(nèi)減小到預(yù)期的穩(wěn)態(tài)誤差范圍內(nèi),同樣實現(xiàn)了預(yù)期的控制目標(biāo)。從兩種類型性能函數(shù)的仿真結(jié)果中也可以得出,指數(shù)型性能函數(shù)決定了誤差的收斂速度,預(yù)設(shè)時間型函數(shù)決定了誤差收斂到穩(wěn)態(tài)值的時間,這是二者在預(yù)設(shè)控制中所發(fā)揮作用的最大不同之處。

4.3 編隊跟蹤機動目標(biāo)

為了更進一步說明本文所提方法的有效性,以下基于指數(shù)型性能函數(shù),通過對機動目標(biāo)進行跟蹤來驗證跟蹤效果。設(shè)目標(biāo)的加速度為(0.1cos(t/4),0.1sin(t/2))m/s2,其余參數(shù)不變。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 編隊跟蹤機動目標(biāo)仿真結(jié)果

圖6(a)展示了UAV編隊跟蹤機動目標(biāo)的飛行軌跡,顯然從圖中可以觀察得到,無人機編隊具備對機動目標(biāo)跟蹤的能力;圖6(b)展示了編隊鄰接位置誤差曲線,從圖中可以觀察到當(dāng)目標(biāo)機動時,UAV編隊依舊能夠在預(yù)設(shè)的性能邊界約束下達到期望的性能要求;圖6(c)為編隊位置誤差曲線,從曲線中可以發(fā)現(xiàn),大約在28 s時,曲線出現(xiàn)了小幅抖動,此時編隊已跟蹤上了目標(biāo)。

5 結(jié) 論

在提出一種參數(shù)組控制的時變編隊隊形描述與目標(biāo)跟蹤方法的基礎(chǔ)上,本文針對具有性能預(yù)設(shè)的UAV編隊目標(biāo)跟蹤問題,提出了一種適應(yīng)不同需求的分布式性能控制方法。該方法解決了UAV編隊目標(biāo)跟蹤過程中,對于收斂時間與編隊誤差不可控的問題。不同于傳統(tǒng)方法中對于不同性能需求需要對應(yīng)不同的控制律,本文僅通過采用不同形式的性能函數(shù)即可達到對性能控制的不同,方法適用性強。

同時本文所設(shè)計的兩種性能函數(shù),分別保證了系統(tǒng)性能收斂速度呈指數(shù)形式與收斂時間可預(yù)設(shè)。所設(shè)計的一致性性能控制律,確保了編隊目標(biāo)跟蹤誤差具有較好的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,仿真結(jié)果證實了所設(shè)計的控制律的有效性。本文的研究結(jié)果還可以用于解決編隊隊形重構(gòu)等問題,方法可塑性強,工程價值較大。

本文考慮了在UAV間無時間延遲的情況下的編隊預(yù)設(shè)性能控制,下一步將考慮在時間延遲情況下的UAV編隊目標(biāo)跟蹤的性能控制。