例談函數(shù)極限的求法

陳小燕

(海南省海口市瓊臺(tái)師范學(xué)院 571100)

一、求極限的常用方法

1.無(wú)窮小量及其性質(zhì)

性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小

性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

性質(zhì)3 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

性質(zhì)4 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.

2.利用等價(jià)無(wú)窮小

3.極限的運(yùn)算法則

如果limf(x)=A,,limg(x)=B,那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B;

說(shuō)明：只有兩個(gè)函數(shù)都有極限時(shí)才能用運(yùn)算法則，特別是用商的法則時(shí)分母的極限不能是零.

解x→1時(shí),分子、分母的極限都是零,不能直接用法則.

但分子和分母有公因子x-1，先約去為零的因子x-1,然后再求極限.

4.利用夾逼準(zhǔn)則

準(zhǔn)則：如果

說(shuō)明：此方法的關(guān)鍵是找出前后兩個(gè)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的極限相同.

5.利用重要極限

說(shuō)明在求極限過(guò)程中，要對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，使其變成重要極限的形式，再用重要極限求解.

6.洛必達(dá)法則

定理設(shè)(1)當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;

(2)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)a可以除外)f′(x),F′(x)都存在且F′(x)≠0

說(shuō)明(1)把定理中的x→a換成x→∞，把(2)換成當(dāng)|x|>N時(shí)，f(x),F(x)都可導(dǎo)且F′(x)≠0，結(jié)論仍然成立.

(2)洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用.例如要求的極限函數(shù)是冪指函數(shù)的形式u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)≠1時(shí)，通常先把函數(shù)轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)u(x)v(x)=elnu(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，再求極限.

解這是未定式00,設(shè)y=xsinx，取對(duì)數(shù)得lny=sinxlnx，又

因?yàn)閥=elny，

而limy=limelny=elimlny(x→0+)，故

(3)本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法· 當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí)'所求的極限當(dāng)然存在(或?yàn)椤?'但定理?xiàng)l件不滿足時(shí)'所求極限卻不一定不存在.

二、結(jié)論

函數(shù)極限的求法是多樣的，除了本文的這幾種方法，還有其他的求解方法，因此在解題過(guò)程中要根據(jù)函數(shù)本身的特點(diǎn)來(lái)選擇合適的方法，以簡(jiǎn)便計(jì)算.